(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川 成都60066)

張秀英，李樹勇，趙 亮，杜啟鳳

眾所周知，時(shí)滯無處不在，時(shí)滯的出現(xiàn)將導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定和振蕩，同時(shí)，神經(jīng)信號(hào)的傳輸也是一個(gè)受隨機(jī)因素影響的充滿噪音的過程，因此，含時(shí)滯隨機(jī)Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型解的穩(wěn)定性分析是學(xué)者們關(guān)注的熱點(diǎn)．各種分析方法被引入，如不等式技巧［1］、半鞍收斂定理［2-5］、Lyapunov 泛函法［6-9］、Razumikin 方法［10］、線性矩陣不等式［11］等判別穩(wěn)定性的一些條件被建立． 半鞍收斂定理作為研究時(shí)滯隨機(jī)系統(tǒng)矩穩(wěn)定的有力工具，自Steve 等［2］將其引入時(shí)滯隨機(jī)微分系統(tǒng)穩(wěn)定性研究，給出含有界時(shí)滯的隨機(jī)Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型解幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定的充分條件以來，發(fā)揮了很好的作用，許多穩(wěn)定性結(jié)論利用這一思想而建立．基于此，本文中將運(yùn)用半鞍收斂定理研究含離散和分布時(shí)滯的隨機(jī)Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性． 通過構(gòu)造一個(gè)恰當(dāng)?shù)腖yapunov 泛函并使用不等式分析技巧，給出該系統(tǒng)平凡解均方指數(shù)穩(wěn)定和幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定的一個(gè)新的充分條件．

1 準(zhǔn)備知識(shí)

本文考慮如下一類含分布時(shí)滯的隨機(jī)Hopfiled 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng):

其中，i∈Λ={1，2，…，n}表示第i 個(gè)神經(jīng)元;x(t)=(x1(t)，…，xn(t))T，xi(t)表示第i 個(gè)神經(jīng)元在t 時(shí)刻的狀態(tài);C=diag{c1，…，cn}，ci＞0 表示在與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不連通并且無外部附加電壓差的情況下，第i 個(gè)神經(jīng)元恢復(fù)孤立靜息狀態(tài)下的速率．A=(aij)n×n，B=(bij)n×n和D =(dij)n×n表示神經(jīng)元相互連結(jié)的權(quán)矩陣．h(x(t))=(h1(x1(t))，…，hn(xn(t)))T∈Rn，g(x(t-τ))=(g1(x1(t -τ1))，…，gn(xn(t -τn)))T∈Rn，f(x(t))=(f1(x1(t))，…，fn(xn(t)))T∈Rn，其中hi，gi和fi表示外部激活函數(shù)．k(t)=(kij(t))n×m，這里kij(t)是時(shí)滯核函數(shù)．初值ξ(t)=(ξ1(t)，…，ξn(t))T，ξi(t)是定義在(-∞，0］上的有界連續(xù)函數(shù)，且(θ)|，τj是常數(shù)，且是噪音強(qiáng)度矩陣． w(t)=(w1(t)，…，wm(t))T是定義在完備概率空間(Ω，F(xiàn)，P)上的m-維Brownian 運(yùn)動(dòng)，其自然域{Ft}t≥0建立在{w(s):0≤s≤t}上．

記Rn上的Euclidean 范數(shù)為|?|，E(?)代表數(shù)學(xué)期望算子．

對(duì)系統(tǒng)(1)或(2)，假設(shè):

(H1) fj，gj，hj和σij是Lipschitz 連續(xù)的，Lipschitz 常數(shù)分別為βj＞0，αj＞0 ，γj＞0 和Lij＞0，且fj(0)=gj(0)=hj(0)=σij(0)=0 且fj有界，其中i，j∈Λ．

(H2) kij(t)是定義在［0，+∞)上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)，且滿足:

在上述假設(shè)下，當(dāng)t≥0 時(shí)，系統(tǒng)(1)或(2)有唯一的全局解［12］，用x(t，ξ)或x(t)表示．在假設(shè)(H1)下，系統(tǒng)(1)或(2)有零平凡解．

定義1 系統(tǒng)(1)或(2)的平凡解是幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定的，如果對(duì)任意解x(t)，滿足:

定義2 對(duì)系統(tǒng)(1)或(2)，如果存在正常數(shù)λ 和K 以及任意初始值ξ，使得

即有

成立，則稱系統(tǒng)(1)或(2)是均方指數(shù)穩(wěn)定的，λ 叫做系統(tǒng)(1)或(2)的解的2 階Lyapunov 指數(shù)．

引理1 (半鞍收斂定理)［12］(Th．3．9，P．14)．設(shè)A(t)和U(t)是t≥0 上的兩個(gè)連續(xù)適應(yīng)增隨機(jī)過程，且?guī)缀醣厝挥蠥(0)=U(0)=0．又設(shè)M(t)是一個(gè)實(shí)值連續(xù)局部棋，且?guī)缀醣厝挥蠱(0)=0．設(shè)ξ 是一個(gè)非負(fù)F0可測隨機(jī)變量且滿足Eξ ＜∞．對(duì)t≥0，設(shè)

若X(t)非負(fù)，則

這里B?D，a．s．意味著P(B∩Dc)=0．特別地，若，則對(duì)幾乎所有的ω∈Ω，有

引理2 對(duì)具有適當(dāng)維數(shù)的任意向量x，y 及任意對(duì)稱正定矩陣H ＞0，有:

2 主要結(jié)果

定理 對(duì)系統(tǒng)(1)或(2)，如果存在正定對(duì)角陣P=diag{p1，…，pn}，Q=DP-1DT=(qij)n×n，對(duì)所有i∈Λ={1，2，…，n}，滿足:

則系統(tǒng)(1)或(2)是幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定的和均方指數(shù)穩(wěn)定的．

證明:由條件(H3)，存在μ ＞0，使得:

由It?s 微分，得:

由引理2，有

所以，

從0 到t 積分，可得

又因?yàn)椋?/p>

所以，

由假設(shè)(H1)和(H2)可知，

因此，V(0，x(0))有界，且(5)式右邊是非負(fù)半鞅．由引理2．1 可知，

又

因此，

即

對(duì)(5)式兩端同時(shí)取期望，得

即

證畢．

3 應(yīng)用舉例

本節(jié)通過一個(gè)例子，闡明結(jié)果的有效性．

例 考慮如下二維含分布時(shí)滯的隨機(jī)Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)

這里h1(v)=h2(v)=arctanv，f1(v)=f2(v)=(ev-e-v)/(ev+e-v)，kij(t)=e-t，i，j =1，2．A =(aij)2×2，a11=1，a12=2，a21=3，a22=1;C=(cij)2×2，c11=14，c12=0，c21=0，c22=9;D=(dij)2×2，d11= -3，d12=1，d21=2，d22= -2;L=(lij)2×2，l11=4 ，l12=1，l21=1，l22=1．這樣= -3/8．

取P=(pij)2×2，p11=1，p12=0，p21=0，p22=1，γi=βi=1(i=1，2)．從而Q=(qij)2×2=DP-1DT，其中q11=-1/2，q12=0，q21=0，q22=1．取經(jīng)計(jì)算，知

因此本文定理所需條件成立，進(jìn)而由本文定理，系統(tǒng)(6)的解是均方指數(shù)穩(wěn)定的．

通過數(shù)值模擬，得到系統(tǒng)(6)的解x(t)=(x1(t)，x2(t))T變化趨勢圖(圖1)，可看到該系統(tǒng)的解是均方穩(wěn)定的．這與本方法所得結(jié)論吻合．

圖1 系統(tǒng)（6）解的變化趨勢Fig．1 The change trend of solution of the system （6）

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