胡 絢，張 強(qiáng)，戴宏亮

（1.湖南大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，長沙410082；2.中國飛行試驗(yàn)研究院，西安710089）

0 引言

在葉輪機(jī)械的工作過程中，由于受轉(zhuǎn)子偏心或者上游工作級(jí)等的影響，葉輪中的流動(dòng)沿周向的分布會(huì)變得非均勻，可能使葉輪轉(zhuǎn)子受到附加的氣動(dòng)載荷，從而使其動(dòng)力學(xué)性能變得不穩(wěn)定，運(yùn)行效率降低，甚至可能發(fā)生故障[1-3]。因此，有必要對(duì)由非均勻流動(dòng)所產(chǎn)生的氣動(dòng)載荷與動(dòng)力學(xué)影響進(jìn)行研究，以指導(dǎo)葉輪機(jī)的設(shè)計(jì)與優(yōu)化、提高其工作性能。

葉輪轉(zhuǎn)子形心的偏移是引起周向非均勻流動(dòng)的原因之一，會(huì)產(chǎn)生影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的氣動(dòng)載荷——Thomas/Alford力。對(duì)于轉(zhuǎn)子偏心引起的氣動(dòng)載荷，Ehrich、Spakovszky、Martinez-Sanchez和Al-Nahwi等學(xué)者提出了不同的解析方法[2-5]，Kang等利用計(jì)算流體力學(xué)軟件進(jìn)行了仿真計(jì)算[6]，Storace、Martinez-Sanchez等 進(jìn) 行 了 試 驗(yàn) 研 究[1，7]。目 前，Thomas/Alford力的產(chǎn)生機(jī)理已研究得比較清楚，也得到了較為統(tǒng)一、明確的結(jié)論。

對(duì)于由其他原因引起的非均勻流動(dòng)，國內(nèi)外學(xué)者更多地研究了葉輪機(jī)內(nèi)部氣動(dòng)特性或整體性能的影響因素[8-11]；而有關(guān)葉輪結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方面的研究，則主要集中于討論葉片在非均勻來流作用下的動(dòng)態(tài)特性。例如，黃典貴、陳佐一等研究了非均勻來流對(duì)葉片的氣動(dòng)激振力以及動(dòng)葉的激振特性影響[12-14]。

本文為了研究流動(dòng)的周向不均勻性所引起的、作用在軸流渦輪轉(zhuǎn)子上的附加氣動(dòng)載荷，假設(shè)流動(dòng)的周向非均勻性可以用余弦函數(shù)表示，分別考慮了非均勻來流和轉(zhuǎn)子偏心的作用，也分析了偏心渦動(dòng)與非穩(wěn)態(tài)來流條件下轉(zhuǎn)子的受載情況。

1 計(jì)算模型

1.1 模型概述

采用Song與Martinez-Sanchez的雙耦合激勵(lì)盤模型[2-3]，分析壓氣機(jī)和渦輪中由轉(zhuǎn)子偏心引起的不均勻流動(dòng)，以及其產(chǎn)生的氣流激振力。該模型假設(shè)氣流是無黏性且不可壓縮的，也不考慮通道中的徑向流動(dòng)。該分析方法適用于大雷諾數(shù)的流動(dòng)情況，此時(shí)流體的黏性作用相對(duì)較小，而慣性作用相對(duì)較大。在麻省理工學(xué)院所進(jìn)行的偏心渦輪試驗(yàn)中，雙耦合激勵(lì)盤模型較為準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)了包括流動(dòng)不均勻程度以及Thomas/Alford力等試驗(yàn)結(jié)果[3]。

在計(jì)算模型中，假設(shè)流動(dòng)的周向不均勻性可以用1次諧波形式的余弦函數(shù)描述。非均勻流動(dòng)的原因?yàn)椋海?）周向近似呈余弦的流動(dòng)是存在的。例如，葉輪轉(zhuǎn)子存在偏心時(shí)，上下游的流動(dòng)在忽略高次諧波小量后就可用1次諧波形式的余弦（或正弦）函數(shù)近似描述；（2）余弦形式的不均勻流動(dòng)便于采用諧波分析方法得到解析結(jié)果；（3）1次諧波形式的非均勻流動(dòng)是軸不對(duì)稱的，因此將會(huì)產(chǎn)生附加氣動(dòng)載荷（如Thomas/Alford力）作用于轉(zhuǎn)子上，可能使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)失穩(wěn)。

整個(gè)分析均取葉片中徑處的流動(dòng)參數(shù)，任一流動(dòng)參數(shù)A 可以表示為其均值A(chǔ) 與非均勻小擾動(dòng)A'之和[16]

而其非均勻小擾動(dòng)可近似地用余弦函數(shù)描述

式中：A'為流動(dòng)參數(shù)A 在周向位置φ 處的非均勻小擾動(dòng)；A'max為擾動(dòng)幅值；Ω 為轉(zhuǎn)子的渦動(dòng)角速度；φA是A'max相對(duì)于動(dòng)坐標(biāo)系n 軸的相位角；A^為復(fù)數(shù)形式的擾動(dòng)幅值，包含了擾動(dòng)的幅值和相位信息；Re（）表示取復(fù)數(shù)的實(shí)部。

計(jì)算模型的坐標(biāo)系如圖1所示。

1.2 流動(dòng)的描述

由于葉頂間隙的存在，氣流流經(jīng)動(dòng)葉時(shí)，一部分氣體受到葉片引導(dǎo)而通過葉片通道，另一部分氣體通過葉頂間隙流出。對(duì)于葉片通道主流，可以用渦輪的速度三角形來描述其流動(dòng)，如圖2所示。圖中：c、w 分別為絕對(duì)速度和相對(duì)速度；U 為動(dòng)葉中徑處的線速度；α、β 分別為絕對(duì)速度角和相對(duì)速度角；x、y 表示軸向和周向。為了便于說明，圖中也對(duì)各通道截面進(jìn)行了編號(hào)。

圖1 計(jì)算模型的坐標(biāo)系

圖2 速度三角形及截面編號(hào)

對(duì)于葉頂間隙流動(dòng)，Song認(rèn)為穿過葉頂間隙后的射流與通道主流混合形成了渦流，其流動(dòng)模型如圖3所示。圖中：βm為動(dòng)葉的平均轉(zhuǎn)角；wp、ws分別為葉盆與葉背的氣流相對(duì)速度；wjet為葉頂間隙射流的相對(duì)速度分別為渦流中心的相對(duì)速度和軸向絕對(duì)速度；θ 為渦流相對(duì)速度與葉片之間的夾角。通過分析動(dòng)葉兩側(cè)的壓差，可以給出渦流中心的相對(duì)速度角[15]

圖3 葉頂間隙的流動(dòng)模型

式中：c1為葉片的升力系數(shù)。

1.3 上下游流動(dòng)的耦合

雙耦合激勵(lì)盤模型利用葉片尺度內(nèi)下游無窮遠(yuǎn)處流動(dòng)參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)來表示半徑尺度內(nèi)下游流動(dòng)的小擾動(dòng)，將2個(gè)尺度上的參數(shù)聯(lián)系在一起，也將上下游的流動(dòng)耦合在一起，其耦合關(guān)系為[16]

式中：Δ 為葉頂間隙流層的厚度；p 為壓力；φ 為流動(dòng)系數(shù)；tc為葉頂間隙；H 為葉片通道高度；上標(biāo)“+”表示葉頂間隙流；“-”表示葉片通道流；x=0+、x=+∞分別表示半徑、葉片尺度上的下游無窮遠(yuǎn)。

1.4 氣動(dòng)載荷

計(jì)算中考慮轉(zhuǎn)子上的氣動(dòng)載荷由推動(dòng)葉片運(yùn)動(dòng)的周向力和氣體作用在轉(zhuǎn)子輪轂上的壓力2部分構(gòu)成。

某個(gè)周向方位角φ 處葉片受到的周向氣動(dòng)力qy（φ）可用動(dòng)量定理計(jì)算為[16]

式中：λ 為葉頂間隙流量與葉片通道總流量之比；m˙2r為通過動(dòng)葉的總流量。表達(dá)式的第1、2部分分別為葉頂間隙流和葉片通道流所產(chǎn)生的周向力。

將周向力和輪轂上的壓力向轉(zhuǎn)子形心進(jìn)行簡(jiǎn)化，可以求得氣動(dòng)載荷的合力。如果通過渦輪盤的氣流是周向非均勻的，轉(zhuǎn)子受到的周向力或壓力也會(huì)是非均勻的，那么轉(zhuǎn)子形心上的合力就不為零，產(chǎn)生了本文所討論的附加氣動(dòng)載荷。

2 算例與分析

以Martinez-Sanchez的軸流試驗(yàn)渦輪作為分析對(duì)象，該渦輪采用密度更大的Freon-12氣體作為工作介質(zhì)以減小氣體黏性的影響。其設(shè)計(jì)流動(dòng)系數(shù)為0.58，反力度為0.2，效率為0.79，轉(zhuǎn)速為3440r/min，葉頂間隙與葉片高度之比t/H=0.02。

2.1 轉(zhuǎn)子葉柵前流動(dòng)非均勻的情況

由上述分析可知，通過轉(zhuǎn)子葉柵的周向非均勻流動(dòng)是產(chǎn)生附加氣動(dòng)載荷的直接原因。假設(shè)轉(zhuǎn)子葉柵進(jìn)口流動(dòng)存在非均勻性，分析不同流動(dòng)參數(shù)非均勻性的影響。

假設(shè)轉(zhuǎn)子葉柵前的軸向速度擾動(dòng)c'x2r沿周向不均勻，其無量綱為

無量綱周向力擾動(dòng)為

無量綱的轉(zhuǎn)子輪轂壓力擾動(dòng)為

式中：φ=cx/U，為流動(dòng)系數(shù)。令C'x2r呈余弦分布，其幅值為0.01，最大值位于0°，所引起的周向力擾動(dòng)Q'y和壓力擾動(dòng)P'r的周向分布如圖4所示。

圖4 C'x2r、C'y2r 和P'2r 所引起的載荷分布

若認(rèn)為cx3≈cx2r，那么氣體流經(jīng)轉(zhuǎn)子葉片通道后的周向速度為

可見，在cx2r越大的位置cy3也較大，根據(jù)式（5），該位置的周向力qy隨之增大。從圖4中可見，Q'ymax與C'x2max的相位角相同。且在cx2r較大的位置，氣體作功更多，根據(jù)伯努利方程可知，該位置的壓降更多，P'rmax與C'x2max的相位角相差180°。

c'x2r、c'y2r和p'2r所引起的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)載荷如圖5所示。從圖5中可見，因周向力與壓力的不均勻分布，轉(zhuǎn)子受到的附加載荷fX、fY分別為附加載荷在X、Y 方向的分量。分析非均勻周向速度cy2r的作用和引起的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)載荷，根據(jù)式（6）設(shè)幅值為0.01，最大值位于0°。圖4（b）給出了非均勻cy2r產(chǎn)生的Q'y和P'r，結(jié)果顯示Q'y、P'r和C'y2r在相同位置取得最大值。

轉(zhuǎn)子葉柵前非均勻壓力p2r產(chǎn)生的Q'y和P'r如圖4（c）所示。無量綱壓力擾動(dòng)P'2r幅值為0.01，最大值位于0°，表明p2r的不均勻性對(duì)周向力沒有影響，只改變轉(zhuǎn)子輪轂上壓力的分布，且輪轂壓力和p2r的最大值所在方位相同。非均勻p2r引起的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)載荷如圖5（c）所示。

圖5 C'x2r、C'y2r 和P'2r 所引起的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)載荷

2.2 靜子葉柵前流動(dòng)非均勻的情況

靜子葉柵前流動(dòng)即渦輪級(jí)的進(jìn)口來流，非均勻性會(huì)導(dǎo)致轉(zhuǎn)子葉柵的流動(dòng)不均勻，從而產(chǎn)生附加載荷作用在轉(zhuǎn)子上。

設(shè)軸向速度擾動(dòng)C'x1的幅值為0.01，最大值位于0°。結(jié)合速度三角形以及連續(xù)方程、動(dòng)量方程可以得到截面1與2r之間的流動(dòng)關(guān)系[16]，能夠解得Q'y和P'r的周向分布，如圖6所示。從圖中可見，Q'y和P'r的分布規(guī)律與圖4（a）相似，所以，C'x1和C'x2r的作用是相似的，所引起的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)載荷都如圖5（a）所示。

不均勻來流壓力p1對(duì)流動(dòng)的影響也與p2r相似，產(chǎn)生的附加載荷如圖5（b）所示。

至于來流周向速度cy1，由于計(jì)算模型假設(shè)葉片能夠完美地引導(dǎo)氣流，因此，靜葉出口的周向速度為

按照伯努利方程，靜葉出口的壓力為

將（8）寫成擾動(dòng)形式，并忽略高階小量

由式（10）、（12）可知，如果渦輪級(jí)來流的平均周向速度cˉy1=0，來流周向速度擾動(dòng)cˉy1是不會(huì)影響cˉy2s和p'2s的，也即在雙耦合激勵(lì)盤模型的假設(shè)條件下，來流周向速度的非均勻性并不會(huì)引起不均勻的下游流動(dòng)，當(dāng)然也不會(huì)引發(fā)附加載荷，這是由計(jì)算模型的局限性所決定的。

圖6 c'X1所引起的載荷分布

2.3 轉(zhuǎn)子靜態(tài)偏心的影響

機(jī)匣變形或者轉(zhuǎn)子渦動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)子形心會(huì)偏離機(jī)匣形心，使得轉(zhuǎn)子葉片的葉頂間隙沿周向分布不均勻，從而產(chǎn)生附加載荷作用于轉(zhuǎn)子。實(shí)際上，轉(zhuǎn)子偏心導(dǎo)致氣流通道發(fā)生了變化，使流動(dòng)不均勻才產(chǎn)生了附加載荷，是由轉(zhuǎn)子偏心所引起的非均勻流動(dòng)。

如果轉(zhuǎn)子未發(fā)生渦動(dòng)，僅發(fā)生靜態(tài)偏心，那么流動(dòng)將是穩(wěn)態(tài)的。該流動(dòng)以及氣動(dòng)載荷已經(jīng)被多位學(xué)者分析得比較清楚[15-16]，下文描述會(huì)涉及到文獻(xiàn)[16]中的部分計(jì)算過程，以保證分析過程的連續(xù)性和完整性。

圖7 靜態(tài)偏心所引起的載荷分布

轉(zhuǎn)子靜態(tài)偏心產(chǎn)生的附加載荷如圖8所示。fX是徑向回復(fù)力，fY會(huì)加速轉(zhuǎn)子正向渦動(dòng)，是與轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性相關(guān)的切向力。氣動(dòng)載荷系數(shù)為和αY=fY/

氣動(dòng)載荷與偏心距之間的線性關(guān)系如圖9所示。本文的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)值基本吻合。

圖8 轉(zhuǎn)子偏心所引起的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)載荷

圖9 氣動(dòng)載荷系數(shù)與偏心距的關(guān)系

理論分析和試驗(yàn)表明，轉(zhuǎn)子的偏心除了會(huì)使下游產(chǎn)生非均勻來流，還會(huì)影響上游流動(dòng)，使其變得不均勻，而且離轉(zhuǎn)子葉柵越遠(yuǎn)，轉(zhuǎn)子偏心的影響就越小。偏心轉(zhuǎn)子的附加載荷fe由均勻流動(dòng)通過偏心轉(zhuǎn)子通道時(shí)產(chǎn)生的附加載荷fu和偏心引起的上游非均勻流動(dòng)通過無偏心轉(zhuǎn)子通道時(shí)產(chǎn)生的附加載荷fnonu構(gòu)成。由于雙耦合激勵(lì)盤模型是線性的，所以2部分載荷的疊加就等于轉(zhuǎn)子偏心所產(chǎn)生的總載荷

2.4 非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)的影響

上述分析都假設(shè)流動(dòng)是穩(wěn)態(tài)的，下面分析轉(zhuǎn)子的渦動(dòng)和非穩(wěn)態(tài)的來流對(duì)轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)載荷的影響。

對(duì)于轉(zhuǎn)子發(fā)生偏心渦動(dòng)時(shí)受到的附加載荷，Song已經(jīng)進(jìn)行了分析闡述，本文給出了與Song一致的計(jì)算結(jié)果[16]，如圖10所示。圖中αn和αt的定義與αX和αY相同，只是對(duì)應(yīng)的是動(dòng)坐標(biāo)系nO't。從圖中可見，無論是正向渦動(dòng)還是反向渦動(dòng)，2個(gè)氣動(dòng)載荷系數(shù)的符號(hào)都沒有變化，表明附加載荷在動(dòng)坐標(biāo)系中方向不變。另外，αn對(duì)渦動(dòng)角速度并不敏感，而αt隨Ω 的增大而減小。

圖10 轉(zhuǎn)子偏心時(shí)氣動(dòng)載荷系數(shù)與渦動(dòng)角速度的關(guān)系

對(duì)于多級(jí)渦輪，當(dāng)上游的渦輪級(jí)發(fā)生偏心渦動(dòng)時(shí)，其出口的流動(dòng)是旋轉(zhuǎn)變化的，則下1級(jí)渦輪的進(jìn)口流動(dòng)會(huì)變?yōu)榉欠€(wěn)態(tài)。假設(shè)渦輪級(jí)的來流軸向速度是與時(shí)間相關(guān)的變量，令其擾動(dòng)的表達(dá)式為

式中：Ω 為c'x1旋轉(zhuǎn)變化的角速度，也即cx1發(fā)生周期變化，同時(shí)假設(shè)動(dòng)坐標(biāo)系nO't 與c'x1同步旋轉(zhuǎn)。

非均勻來流所產(chǎn)生的附加載荷與旋轉(zhuǎn)角速度之間的關(guān)系曲線如圖11所示。首先，在動(dòng)坐標(biāo)系nO't中，αn和αt的符號(hào)不會(huì)變化，說明載荷的方向不變，fn指向cx1最大值所在方位（即n 軸正方向），而由fn向自轉(zhuǎn)角速度ω 方向轉(zhuǎn)動(dòng)90°就是ft的指向（也即t 軸正方向），fn和ft之間的方向關(guān)系與圖5（a）一致。其次，αn和αt都隨著渦動(dòng)角速度的增大而增大，且成線性關(guān)系。

圖11 來流非均勻時(shí)氣動(dòng)載荷系數(shù)與旋轉(zhuǎn)角速度的關(guān)系

3 結(jié)論

本文運(yùn)用雙耦合激勵(lì)盤模型，分析了軸流渦輪中1次諧波形式的非均勻流動(dòng)對(duì)轉(zhuǎn)子所受載荷的影響，研究了轉(zhuǎn)子所受附加氣動(dòng)載荷的產(chǎn)生機(jī)理，得到的主要結(jié)論如下：

（1）1次諧波形式的非均勻流動(dòng)使得渦輪轉(zhuǎn)子所受氣動(dòng)載荷不再平衡，從而出現(xiàn)附加載荷，而且不同的流動(dòng)參數(shù)所產(chǎn)生的附加載荷有所不同；

（2）發(fā)生在轉(zhuǎn)、靜子葉柵前的非均勻流動(dòng)對(duì)附加載荷的影響是相似的；

（3）轉(zhuǎn)子偏心會(huì)引起非均勻流動(dòng)，計(jì)算模型能夠比較準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)子靜態(tài)偏心時(shí)的氣動(dòng)載荷分布和附加載荷大小；

（4）在同步旋轉(zhuǎn)的動(dòng)坐標(biāo)系中，渦動(dòng)角速度或者來流旋轉(zhuǎn)角速度并不影響附加載荷的方向，而只改變附加載荷的大小。

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