劉富強(qiáng)

（新疆維吾爾自治區(qū)有色地質(zhì)勘查局物探隊(duì) 烏魯木齊830011）

1 引言

確定物性分界面深度的方法主要是迭代法，即根據(jù)觀測(cè)異常給出界面深度的初值，然后在觀測(cè)異常和界面深度之間不斷進(jìn)行迭代計(jì)算，以改善反演結(jié)果。此外，還有利用統(tǒng)計(jì)分析、頻譜展開(kāi)式及多項(xiàng)式求界面深度的方法[1,2,3]。本論文研究了在迭代法中用熵正則化的方法來(lái)反演基底起伏。

熵在信息論中是對(duì)信息量的一種量度。熵越大，信息量就越大；同時(shí)反映出所描述變量或過(guò)程的隨機(jī)性也越大，越不確定。我們假設(shè)解釋模型是由一組垂直、并列的棱柱體所組成，它們的厚度是要估算的參數(shù)。熵正則化的基本思路是對(duì)離散點(diǎn)的基底深度估算的矢量進(jìn)行零階熵測(cè)度的最大化處理和一階熵測(cè)度的最小化處理，使結(jié)果變得穩(wěn)定。

2 二度體熵正則化重力反演方法的基本原理

圖1 重力異常（上面）和解釋模型（下面）示意圖

解釋模型由M個(gè)垂直的、并列的棱柱體組成，棱柱體的深度pj是要被確定的參數(shù)。

式中，Δρ0是地球表面的密度差；β是控制密度差隨深度z下降的一個(gè)參數(shù)。

通過(guò)由M個(gè)垂直并列的棱柱體的重力觀測(cè)值估計(jì)基底起伏S，這些并列棱柱體（圖1）的密度差隨深度不變或按照公式（1）的雙曲線規(guī)律衰減。這些棱柱體的厚度就是要被估計(jì)的參數(shù)，它們與重力異常gi（第i 個(gè)觀測(cè)點(diǎn)上由M個(gè)棱柱體產(chǎn)生的重力異常值）非線性相關(guān)。在密度差為常數(shù)的情況下（Telford等人，1991），其引起的重力異常為:

當(dāng)密度差隨深度按照公式（1）按雙曲線規(guī)律衰減（Rao等人，1994）時(shí)，其引起的重力異常表達(dá)式為:

我們用Ramos等人在1999年提出熵正則化方法使（4）式變成一個(gè)適定問(wèn)題。這個(gè)方法包括零階熵測(cè)度Q0(p) 的最大化和一階熵測(cè)度的最小化。

在本文的研究中，我們解決了目標(biāo)函數(shù)為式（5）的非線性最小化反演問(wèn)題，在這個(gè)目標(biāo)函數(shù)中，Q0max和Q1max是標(biāo)準(zhǔn)化常數(shù)。規(guī)范系數(shù)γ0和γ1均是正數(shù)。選擇系數(shù)γ1是為了把的值最小化。在γ0前面加上個(gè)負(fù)號(hào)使得零階熵測(cè)度產(chǎn)生最大化。

我們通過(guò)擬牛頓法[5]（Gill 等人，1981 年）使目標(biāo)函數(shù)τ( )

p式（5）最小化，并用Broyden-Fletcher-Gol?dfarb-Shanno（BFGS）公式實(shí)現(xiàn)每次迭代時(shí)的Hessian矩陣的逆的更新值。

當(dāng)滿足式（6）時(shí)，迭代停止。這里Qk1 是第k次迭代時(shí)一階熵測(cè)度的值。這一標(biāo)準(zhǔn)可以確保Q1的分布隨著迭代過(guò)程得到幾乎穩(wěn)定的值。

3 理論模型試算

如圖2所示，觀測(cè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最小值為0 m，最大值為64 m，點(diǎn)距為2 m，共33個(gè)觀測(cè)點(diǎn)。在第22至第42 個(gè)觀測(cè)點(diǎn)之間，我們?cè)谙噜徲^測(cè)點(diǎn)之間用兩個(gè)棱柱體的厚度來(lái)近似它們下部的起伏面深度，這樣我們就得到了20 個(gè)棱柱體的厚度，模型給定棱柱體的厚度為[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1]，單位為m。假設(shè)棱柱體與圍巖的密度差是已知的，且為常數(shù)(Δρ0=0.5g/cm3)，通過(guò)正演計(jì)算可以得到這些棱柱體在33個(gè)觀測(cè)點(diǎn)上產(chǎn)生的重力異常值，見(jiàn)圖3。

用擬牛頓法進(jìn)行迭代，設(shè)沉積物與基底之間的密度差Δρ0=0.5g/cm3，給定迭代初值為：[0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0,1.0,0.9,0.8,0.7,0.6,0.5,0.4,0.3,0.2,0.1]，單位為m。

圖2 連續(xù)沉積盆地的棱柱體分布圖

圖3 連續(xù)沉積盆地在觀測(cè)點(diǎn)產(chǎn)生的重力異常值

圖4 γ0=5，γ1=0.05 時(shí)，經(jīng)過(guò)4次迭代時(shí)得到的棱柱體厚度

圖5 γ0=20，γ1=0.05 時(shí)，經(jīng)過(guò)8次迭代時(shí)得到的棱柱體厚度

圖6 γ0=40，γ1=0.05 時(shí)，經(jīng)過(guò)2次迭代時(shí)得到的棱柱體厚度

首先給定γ1=0.05，然后選取不同的γ0的值來(lái)反演起伏面的深度。當(dāng)γ0=5，γ1=0.05 時(shí)，經(jīng)過(guò)4次迭代可得到圖4的反演界面；當(dāng)γ0=20，γ1=0.05 時(shí)，經(jīng)過(guò)8 次迭代可得到圖5 的反演界面；當(dāng)γ0=40 ，γ1=0.05 時(shí)，經(jīng)過(guò)2次迭代可得到圖6的反演界面。

4 結(jié)論

本文給出了用熵正則化的重力反演方法來(lái)解釋沉積盆地的起伏形狀。通過(guò)對(duì)棱柱體的厚度矢量進(jìn)行零階熵測(cè)度的最大化和一階熵測(cè)度的最小化處理，可以使目標(biāo)函數(shù)的解變得穩(wěn)定。結(jié)合模型試算的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，一般地，對(duì)于連續(xù)沉積盆地的反演，γ0＞＞γ1，這是由于一階熵測(cè)度包含了不連續(xù)或假振蕩的信息，γ1選取很小的正值可以壓制這些不連續(xù)或假振蕩的信息，使結(jié)果更趨向于連續(xù)沉積盆地類型。然而，零階熵測(cè)度和一階熵測(cè)度并不是相互獨(dú)立的，當(dāng)一階熵測(cè)度最小化時(shí)，零階熵測(cè)度也會(huì)趨于最小化，這是我們就有必要給γ0一個(gè)很小的正值（包括零）來(lái)阻止零階熵測(cè)度的最小化。

[1]曾華霖.重力場(chǎng)與重力勘探，地質(zhì)出版社，2005.

[2]曾華霖、闞筱玲、謝婷婷，等，重磁勘探反演問(wèn)題.石油工出社，1988.

[3]姚姚.地球物理反演基本理論與應(yīng)用方法，中國(guó)地質(zhì)大學(xué)出版社，2002.

[4] Ramos, F. M., H. F. Campos Velho, J. C. Carvalho, and N. J. Ferreira, Novel approaches on entropic regularization: In?verse Problems,1999.15,1139–1148.

[5] Gill, P. E.,W.Murray, and M. H.Wright, Practical optimi?zation:Academic Press.1981.