王永鐸, 劉世杰

(蘭州理工大學 理學院, 甘肅 蘭州 730050)

定義1稱模M是virtually正則的,如果M的每個有限生成子模同構于M的直和項.稱模M是完全virtually正則的,若M的任意子模是virtually正則的.稱M是半完全virtually正則的,若M的每個有限生成子模是virtually正則的.

例11)zZ是virtually正則的,但不是正則的.

下面的例子說明virtually正則模的商模和直和項不一定是virtually正則的.

例21)zZ是virtually正則的,而Z/4Z不是.

證明由文獻 [2]中的例2.7可知M是virtually半單模,則M是virtually正則的.而Z/4Z的有限生成子模2Z/4Z到Z/4Z的任意直和項都不能建立同構.

命題1設M是virtually正則模.若M=M1⊕M2是M的一個分解且有Hom(M1,M2)=0,則M2是virtually正則模.

證明對M2的任意有限生成子模K,由M是virtually正則模知K?N使得M=N⊕N′.由Hom(M1,M2)=0及文獻[5]中的引理1.9知M1是M的完全不變子模,則M∩M1=(N⊕N′)∩M1=(N∩M1)⊕(N′∩M1).由Hom(M1,N)=0(若Hom(M1,M2)≠0,則有非零同態(tài)f:M1→N?K→M2與Hom(M1,M2)=0矛盾)知N∩M1=0(如果有非零元x∈N∩M1,則M1→N∩M1→N非零),則M1≤N′,N′=M1⊕(N′∩M2),即M=N⊕M1⊕(N′∩M2)=M1⊕M2.故M2?N⊕(N′∩M2),所以N同構于M2的直和項,即M2是virtually正則模.

證明以n=2為例,其余類推可證.

? 對M的任意有限生成子模N,由T=R1?R2知TN=e1N⊕e2N,其中(e1,0),(0,e2)是T的中心正交冪等元(e1R2=e2R1=0且e1+e2=1T).eiN(i=1,2)是Mi的有限生成子模,由RiMi是virtually正則模知eiN?Ki≤⊕Mi(i=1,2).則N?K1⊕K2≤⊕M.

? 設T=R1?R2.則T-模M=e1M⊕e2M,其中(e1,0),(0,e2)是T的中心正交冪等元.顯然eiM(i=1,2)是Ri-模也是T-模.則Hom(Mi,Mj)=0(i≠j).(若有非零映射f:0≠e1m1∈Te1M→e2m2∈Te2M),則有f((1,0)·e1m1)=f(e1m1)=e2m2≠0,而(1,0)f(e1m1)=(1,0)e2m2=0).由命題1可知Mi是virtually正則模.

命題2設R是環(huán),M是左R-模.則以下幾條成立.

1) 設I是R的理想且IM=0.則M是virtually正則的R/I-模當且僅當M是virtually正則的R-模.

2) 若M是virtually正則的,則M的每個有限生成子模是M的同態(tài)像.若M的每個有限生成子模是M投射的,反之也成立.

3) (完全)virtually正則模有Morita不變性.

4) 若M是virtually正則模,W是M的有限生成子模且包含M的可嵌入到W的所有子模,則W是virtually正則模且存在K≤⊕M使得K?W,M=K⊕K′.特別的,若W是Dedekind有限的.則W≤⊕M.

證明1) 由文獻 [9]中的定理1.2.8(3)可知.

2) ? 由virtually正則模的定義可知M的每個有限生成子模N同構于M的直和項,即N是M的同態(tài)像.

? 已知對M的任意有限生成子模N,均有滿態(tài)射f:M→N→0.由N是M投射的可知f是可裂的,即N同構于M的直和項.

3) 由Morita等價保持有限生成,單態(tài)射以及直和項可知.

4) 由M是virtually正則模,W是M的有限生成子?？芍猈?K≤⊕M.又K?W,則K≤⊕W.類似地,對任意有限生成的N≤W≤M均有N?V≤⊕M.又V?N?W.則V?W,V≤⊕W.故W是virtually正則模,若W是Dedekind有限的,則W=K⊕K′?W⊕K′,K′=0,則W=K≤⊕M.

命題3設R是環(huán),M是左R-模.則以下兩條成立.

1) 若M是virtually正則的,Z(M)是有限生成戴德金有限的,則M=W⊕L,其中W是奇異virtually正則模,L是非奇異virtually正則模.

2) 若Soc(M)是有限生成模,則M是有限生成的virtually正則模當且僅當M?W⊕L,其中W是有限生成半單模,L是有限生成的virtually正則模且Soc(L)=0.

證明1) 對任意N≤M,若有單射f:N→Z(M),則N?Imf≤Z(M).由Imf是奇異的可知N是奇異的,則N≤Z(M).由命題2中4)可知M=Z(M)⊕L.其中L是M的非奇異子模,Z(M)是virtually正則的.若W?Z(M),則M?W⊕L,Hom(W,L)=0.由命題1知L是virtually正則模.

2) ? 對任意N≤M,若有單射f:N→Soc(M),則N?Imf≤Soc(M).由Imf是半單的可知N是半單的,則N≤Soc(M).由Soc(M)是有限生成的半單模知Soc(M)的每個其次分量是有限生成的.根據(jù)文獻[2]中的命題2.5知Soc(M)是戴德金有限的.由命題2中4)可知M=Soc(M)⊕L且Hom(Soc(M),L)=0.由命題1與有限生成模的直和項是有限生成的知L是有限生成的virtually正則模且Soc(L)=0(若Soc(L)≠0,則有極小子模K≤L≤M,因此K是M的極小子模,這與M=Soc(M)⊕L矛盾).

命題4諾特模M是virtually正則的當且僅當M是virtually半單的.

證明? 由文獻[10]中的命題1.5知，諾特模的每個子模是有限生成的,又因為M是virtually正則的,所以M的每個子模同構于M的直和項,即M是virtually半單的.

? 由定義可知.

命題5設M是模.則下列兩條等價：

1)M是virtually正則模.

2) 對于每個有限生成子模N≤M,均有M的冪等自同態(tài)f使得f(M)?N.

證明由文獻[11]中的推論5.8知，M的每個直和項是M的冪等自同態(tài)像,M的每個冪等自同態(tài)像是M的直和項,根據(jù)virtually正則模的定義即證.

命題6有限直內(nèi)射模M是virtually正則模當且僅當M是正則的.

證明根據(jù)定義可知正則模顯然是virtually正則模.由M是virtually正則模知,對M的任意有限生成子模N均同構于M的直和項.因為M是有限直內(nèi)射模,所以N是M的直和項,即M是正則的.

推論3滿足C2條件的模M是virtually正則模當且僅當M是正則的.

定義2稱環(huán)R是左virtually正則環(huán),如果RR是virtually正則模.稱環(huán)R是左強virtually正則環(huán),如果RR的每個有限生成子模是virtually正則模.

注1左強virtually正則環(huán)是左virtually正則環(huán),但是左virtually正則環(huán)不一定是左強virtually正則環(huán).

定理1設R為環(huán).則下列條件等價：

1)R是左強virtually正則環(huán).

2) 每個有限生成的自由左R-模是左半完全virtually正則的.

3) 每個自由左R-模是左半完全virtually正則的.

4) 每個投射左R-模是左半完全virtually正則的.

3)?4) 對任意投射左R-模的有限生成子模P,由投射模是自由模的直和項知P必是某個自由模的子模,又每個自由左R-模是左半完全virtually正則的,則P是virtually正則的,即每個投射左R-模是左半完全virtually正則的.

4)?1) 由環(huán)R作為左R-模是投射?？芍?RR是左半完全virtually正則的,即R是左強virtually正則環(huán).

推論4環(huán)R是左virtually正則的當且僅當每個(有限生成)自由左R-模是virtually正則的.

證明? 由R作為左R-模是自由模可知R作為左R-模是virtually正則的,即環(huán)R是左virtually正則的.

命題71) 設環(huán)R與S是Morita等價的.則R是左強virtually正則環(huán)當且僅當S是左強virtually正則環(huán).

2) 左virtually正則環(huán)關于有限直積是封閉的.

證明1) 因為投射模,有限生成子模,virtually正則模均具有Morita不變性,則由推論4可證.

2) 推論2中取Ri=R,Mi=R(1≤i≤n)可知.