盧克英，竇霽虹，仲文林，李鵬

（西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西 西安710127）

關(guān)于具有二次相關(guān)性收獲率的捕食與被捕食系統(tǒng)極限環(huán)的存在性分析

盧克英，竇霽虹，仲文林，李鵬

（西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西 西安710127）

討論了一類兩種群具有二次相關(guān)性收獲率的捕食與被捕食系統(tǒng)，利用常微分定性方法和分支理論，得到了系統(tǒng)平衡點(diǎn)處的性態(tài)和極限環(huán)的存在性條件，并用Matlab軟件對其進(jìn)行數(shù)值模擬，推廣了相關(guān)文獻(xiàn)中兩種群捕食模型定性分析的相應(yīng)結(jié)論.

Poincare切性曲線法；平衡點(diǎn)；Hopf分支；極限環(huán)

1 引言

具有收獲率的捕食與被捕食兩種群模型的一般形式為：

其中h和k是常數(shù).當(dāng)h和k都為正數(shù)時(shí)，表示對食餌、捕食者兩種群的收獲或捕撈；當(dāng)h和k都為負(fù)數(shù)時(shí)，表示對食餌、捕食者兩種群的投放；當(dāng)hk＜0時(shí)，表示對食餌、捕食者兩種群中一種群的收獲，另一種群的投放.

對于模型（1），文獻(xiàn)［1-3］僅僅討論了對食餌種群或者是捕食種群具有常收獲率的模型，即h＞0，k=0或h=0，k＞0的特殊情形的定性分析，在此基礎(chǔ)上，討論如下模型：

其中，a0表示食餌種群的內(nèi)稟增長率，a1x表示食餌種群的密度制約項(xiàng)，a2y表示對食餌的捕食率，h0表示對食餌的捕撈，a0，a2，h0均大于零，a1的符號不定，b0表示捕食種群的增長率，b1y為密度制約項(xiàng)，b2x表示捕食食餌促進(jìn)自身增長的能力，k0表示對捕食種群的捕撈，b0，b1，b2，k0均大于零.

2 模型解的基本性質(zhì)

這節(jié)主要考慮模型（4）的解的非負(fù)性.

定理2.1模型（4）中滿足初始條件的所有解對t＞0都是有定義的，且是非負(fù)的.

3 模型平衡點(diǎn)分析

考慮到實(shí)際生態(tài)意義，本節(jié)討論模型（4）的非負(fù)平衡點(diǎn)及其性態(tài).

定理3.1若2cc2＞-c3成立，則

定理3.2若滿足2cc2＞-c3且2c2＞c1，則模型（4）的正平衡點(diǎn)O1（x1，y1）是不穩(wěn)定的焦結(jié)點(diǎn).

4 極限環(huán)的存在性

定理4.1在D=｛（x，y）|x＞0，y＞0｝內(nèi)

定理4.3當(dāng)c＜0且0＜2c2-c1?1時(shí)，模型（4）在O1（x1，y1）外的極限環(huán)至多有一個(gè).若存在，必穩(wěn)定.

附近至少存在一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán).

推論4.2是文獻(xiàn)［6］兩種群捕食模型定性分析中的定理3的變形，從而定理4.2推廣了文獻(xiàn)［6］相應(yīng)的結(jié)論.

5 數(shù)值模擬

由于正平衡點(diǎn)理論研究的復(fù)雜性，本文利用計(jì)算機(jī)對其進(jìn)行數(shù)值模擬.

對模型（2）中的參數(shù)賦值，選取參數(shù)組如下：

等價(jià)于模型（4）中參數(shù)的值為：

通過這些賦值，得到模型（4）的唯一正平衡點(diǎn)為O1（0.25，8.8）.

根據(jù)前面的分析，將賦值的參數(shù)代入相應(yīng)的公式及結(jié)果，驗(yàn)證了模型（4）的Hopf分支定理?xiàng)l件的成立.

選取模型初值為（0.1，9.5），應(yīng)用Matlab數(shù)學(xué)軟件，得到如下的結(jié)果：從圖1可以清晰的看到食餌與捕食者的數(shù)量圍繞平衡點(diǎn)上下振動，并且有明顯的周期.從圖2可知此模型具有極限環(huán)，并且圖1模擬的結(jié)果與圖2吻合.

圖1 x（t），y（t）的波形圖

圖2 x（t），y（t）的相圖

6 結(jié)束語

本文主要討論了模型（4）具有二次相關(guān)性收獲率的捕食與被捕食模型的定性分析，得出在滿足定理4.2和定理4.3的條件下，模型（4）產(chǎn)生一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)，表明食餌和捕食種群最終會處于穩(wěn)定的振蕩狀態(tài).

本文僅僅考慮了具有二次相關(guān)性收獲率的捕食模型，對于食餌與捕食者具有互不相關(guān)的收獲率的情形正在進(jìn)一步的討論中.

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Existence of limit cycle of a predatory-prey system with the harvesting rates of quadratic correlation

Lu Keying，Dou Jihong，Zhong Wenlin，Li Peng

（Department of Mathematics，Northwest University，Xi′an710127，China）

A predatory-prey system with the harvesting rates of quadratic correlation is discussed.Using the qualitative methods of ordinary differential and bifurcation theory to get the conclusions about the state of system equilibrium point，conditions for the existence of limit cycles and carries on the numerical simulation through the software.This paper is a generalization of the related literature about analysis of two species predatory-prey model qualitative.

Poincare cut curve method，equilibrium point，Hopf bifurcation，limit cycle

O175.12

A

1008-5513（2015）04-0414-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.04.010

2014-12-22.

陜西省教育廳自然科學(xué)專項(xiàng)基金（206030001）；研究生自主創(chuàng)新資助項(xiàng)目（YZZ14083）.

盧克英（1990-），碩士生，研究方向：常微分方程定性與穩(wěn)定性.

2010 MSC:34D05，34D20