張 潔，褚少輝

（1.河北建筑設(shè)計(jì)研究院有限公司，石家莊 050011；2.河北建研科技有限公司，石家莊 050021）

0 引言

近些年來，隨著我國交通事業(yè)的不斷發(fā)展，車輛運(yùn)行速度不斷提高，車輛載重不斷增加，高速公路和客運(yùn)專線的里程數(shù)也不斷刷新紀(jì)錄，為節(jié)約耕地和減小沉降，大量實(shí)行以橋代路的技術(shù)，導(dǎo)致橋梁數(shù)量大幅增長。車輛會(huì)對(duì)所通過的橋梁產(chǎn)生動(dòng)力沖擊作用，使橋梁發(fā)生振動(dòng)，直接影響其工作狀態(tài)和使用壽命，給人民的生命財(cái)產(chǎn)安全帶來威脅，因此車橋耦合動(dòng)力學(xué)的研究顯得越來越重要。

對(duì)于等截面均勻梁的車橋耦合動(dòng)力分析，國內(nèi)外已有大量的研究［1－4］，而對(duì)于變截面梁，國內(nèi)外只有少量的數(shù)值模擬分析，理論解幾乎沒有。非均勻梁可以提供更好和更合適的質(zhì)量和應(yīng)力分布，滿足其在建筑、機(jī)械、航空航天和其他工程創(chuàng)新應(yīng)用中的要求，它們已經(jīng)成為多項(xiàng)研究的主題［5］。本文研究高度不變、寬度按指數(shù)形式變化的矩形變截面均勻梁在移動(dòng)車輛荷載作用下的振動(dòng)響應(yīng)問題，建立系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程，給出了比較精確的理論解，并用有限差分法和ANSYS有限元法進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證。最后利用推導(dǎo)的理論解進(jìn)行參數(shù)分析。

1 振動(dòng)方程求解

現(xiàn)有一矩形變寬度截面梁，高度不變，寬度按照指數(shù)形式變化，即b（x）＝b0eδx，其中，b0為初始寬度，δ為非均勻系數(shù)，梁橫截面的高為常數(shù)h，長度為L，各截面的形心連成為一條直線，將軸設(shè)在這條直線上?，F(xiàn)有一車輛勻速駛過該橋，本節(jié)討論將車輛簡化為一個(gè)移動(dòng)常力時(shí)橋的動(dòng)力響應(yīng)情況。

設(shè)車輛以均勻速度c過橋，忽略車輛的慣性，可看作集中力F（t）（假定集中力只隨時(shí)間變化）沿橋面移動(dòng)。設(shè)初始時(shí)刻t＝0時(shí)，梁的初始位移和速度皆為零。集中荷載可利用脈沖函數(shù)表示為

式中：F為所施加的力的大??；δ（x）為脈沖函數(shù)。

考慮到這是一個(gè)均勻的變截面梁，其控制方程可寫為如下的形式

式中：E0、I0、ρ0和A0分別表示梁在x＝0處的楊氏彈性模量、截面的慣性矩、密度以及截面積ν（x，t）為梁變形函數(shù)；k（x）為截面慣性矩的變化函數(shù)b（x）＝b0eδx；m（x）為截面面積的變化函數(shù)m（x）＝eδx。在式（2）中引入無量綱的變量X＝x／L，L為梁的長度。在化簡后為計(jì)算方便，再把符號(hào)“X”寫作“x”，代入b（x）＝b0eδx，m（x）＝eδx，則式（2）可化為

將方程的解分離變量，寫作模態(tài)函數(shù)的線性組合

把式（4）代入式（3），利用模態(tài)函數(shù)的正交性，在方程兩邊同時(shí)乘以φi，并從0到1積分

根據(jù)主質(zhì)量與主剛度的定義，有

β＝，則式（5）化簡為

根據(jù)杜哈梅積分求出其解

其中：m0＝ρ0A0L，表示以x＝0處截面為截面的矩形等截面梁的質(zhì)量。

對(duì)于高度為常數(shù)、寬度按照指數(shù)形式變化的變截面均勻梁，式（3）可以表示為

上述方程的解為如下形式

式中：

常數(shù)c1、c2、c3、c4由系統(tǒng)的邊界條件確定。

自此，有關(guān)描述變截面梁彎曲振動(dòng)響應(yīng)的所有公式均已求出。本節(jié)公式適合寬度按指數(shù)變化的等高度變截面均勻梁，集中力的形式可以多樣，只要其只隨時(shí)間變化且可以積分，邊界條件可以多樣。下面將以兩端簡支為例子，探討橋梁的彎曲振動(dòng)響應(yīng)。

2 兩端簡支梁彎曲振動(dòng)響應(yīng)

2.1 理論解

兩端簡支梁的邊界條件為：簡支端處的撓度和彎矩等于零，即

代入式（12），得到關(guān)于c1、c2、c3、c4的一個(gè)四元一次齊次線性方程組

以上方程組有非零解的充要條件是系數(shù)矩陣A的行列式｜A｜＝0，此時(shí)方程組有無窮多解，為方便起見，可取其一組解。

將c1、c2、c3、c4代入式（12）即可得到模態(tài)函數(shù)。

已經(jīng)求得φ（x），按照式（10）求解q（t），式中的ω、m0、M、F均為常數(shù)，可提到積分符號(hào)的外面。由式（7）可求得M，結(jié)果如下：

積分部分計(jì)算結(jié)果具有如下的形式：

R1和R2可以分別求出，本文不做推導(dǎo)。由相關(guān)文獻(xiàn)［6－7］可知，第一階振型對(duì)結(jié)構(gòu)影響最大，第二階對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)影響很小，本文只研究第一階振型。根據(jù)前文推導(dǎo)，得到系統(tǒng)響應(yīng)方程：

假設(shè)有如下的已知條件：梁長為20 m，高度為0.5 m，寬度按照指數(shù)形式變化b（x）＝b0eδx，δ＝0.1，始端截面寬度b0＝2 m，彈性模量E＝100 MPa，密度ρ＝2.5×103kg／m3，車勻速駛過c＝4m／s，忽略車輛的慣性，看作是集中力F＝ρgb0hL／100＝4 900N。現(xiàn)在做出跨中撓度時(shí)程曲線（時(shí)間歸一化）如圖1所示。

圖1 c＝4m／s、δ＝0.1兩端簡支梁跨中撓度時(shí)程曲線（理論解）

由圖1可以看出，車速為4m／s時(shí)，變截面梁在車通過橋面過程中，撓度逐漸增大，即將離開橋面時(shí)跨中撓度達(dá)到最大。

2.2 有限差分法數(shù)值驗(yàn)證

由上文分析可知，系統(tǒng)的振動(dòng)可以由式（3）表示，即

為便于比較，將上式化為x和τ的函數(shù)，以下為Maple中的結(jié)果

式中的Dirac（x－τ）即為式（3）中的δ（xct／L），將已知條件代入以上方程，已知條件為

式（21）為

初始條件寫為如下形式

有限差分法根據(jù)所取項(xiàng)數(shù)的不同，其結(jié)果的精確程度會(huì)有差別，經(jīng)調(diào)試，可以取前70項(xiàng)。同樣做出跨中撓度時(shí)程曲線，圖2為理論解與有限差分法數(shù)值解的對(duì)比。

圖2 c＝4m／s、δ＝0.1跨中撓度時(shí)程曲線理論解與有限差分解對(duì)比

由圖2可以看出，理論解與有限差分解幾乎重合，兩者計(jì)算結(jié)果一致。

2.3 ANSYS有限元法數(shù)值驗(yàn)證

利用大型有限元軟件ANSYS，模擬跨中撓度時(shí)程曲線［8－9］，初始條件與前文假定一致，命令流如下：

編寫ANSYS命令流如下：

用ANSYS自帶時(shí)間歷程后處理功能畫出曲線，如圖3所示。

圖3 c＝4m／s、δ＝t／s跨中撓度時(shí)程曲線（ANSYS解）

由圖3看出ANSYS模擬曲線走勢與理論解基本一致。

3 參數(shù)分析

前文分析可知，本文方法得到的理論解是可靠的，現(xiàn)在利用理論解分析梁的非均勻系數(shù)和車速變化對(duì)時(shí)程曲線的影響。

1）速度c不變，非均勻系數(shù)δ變化的情況如圖4所示。

隨著非均勻系數(shù)的增大，跨中撓度最大值逐漸減小，但是曲線走勢基本一致，最大撓度均出現(xiàn)在相同的時(shí)間節(jié)點(diǎn)。

圖4 c＝4m／s對(duì)應(yīng)不同δ的跨中撓度時(shí)程曲線

圖5 δ＝0.1時(shí)對(duì)應(yīng)不同速度c跨中撓度時(shí)程曲線

2）非均勻系數(shù)δ不變，速度c變化的情況，時(shí)程曲線如圖5所示。

增大勻速移動(dòng)的速度，跨中撓度最大值先增大后減小，且振動(dòng)情況有變化，可將速度c＝0.1 m／s的移動(dòng)常力近似看作靜力作用。當(dāng)速度較小時(shí)，最大撓度出現(xiàn)在中點(diǎn)時(shí)刻附近，隨著速度增大，最大撓度出現(xiàn)的時(shí)間后延，當(dāng)速度超過5m／s后，最大撓度在車輛駛離橋梁時(shí)出現(xiàn)。

4 結(jié)論

1）研究了等高度矩形變截面梁在移動(dòng)車輛作用下的響應(yīng)問題，較詳細(xì)地給出了系統(tǒng)的振動(dòng)控制方程和模態(tài)函數(shù)的推導(dǎo)計(jì)算過程，得出了理論解答，并用有限差分法和ANSYS有限元法進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證，得到了較好的結(jié)果。

2）討論了非均勻系數(shù)、車輛行駛速度c等參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)的影響。

速度c保持不變，當(dāng)非均勻系數(shù)δ逐漸增大時(shí)，跨中撓度的最大值逐漸減小，但是最大撓度均出現(xiàn)在相同的時(shí)間節(jié)點(diǎn)；非均勻系數(shù)δ保持不變，當(dāng)車輛荷載行駛速度逐漸增大時(shí)，梁的跨中撓度最大值先增大后減小，且跨中撓度最大值出現(xiàn)的時(shí)間逐漸后延。當(dāng)車輛以較小的速度（本文算例速度＜2m／s）通過橋梁時(shí)，跨中撓度最大值出現(xiàn)在中點(diǎn)時(shí)刻附近，當(dāng)車輛以較大速度（本文算例速度＞5m／s）駛過橋梁，當(dāng)車輛駛離橋梁后，跨中撓度才出現(xiàn)最大值。

［1］ 張鈞博.公路橋梁的車橋耦合振動(dòng)研究［D］.成都：西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院，2007.

［2］ 郭歡，劉健康，于洋，等.皮帶通廊橋架地震反應(yīng)分析［J］.華北地震科學(xué)，2013，31（2）：62－66.

［3］ 陳少凡，陳洋洋，姜慧，等.高墩抗震梁橋單墩模型地震時(shí)程響應(yīng)分析［J］.華南地震，2013，33（4）：47－53.

［4］ 邢克勇，江松，姚升康，等.PHC管樁單樁振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)與數(shù)值模擬對(duì)比分析［J］.華北地震科學(xué)，2014，32（1）：33－37.

［5］ Mehmet C E，Metin A，Vedat T.Vibration of a variable cross－section beam［J］.Mechanics Research Communications，2007，34：78－84.

［6］ 李國豪.橋梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與振動(dòng)（第二版）［M］.北京：中國鐵道出版社，2003.

［7］ 劉延柱.振動(dòng)力學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，1998.

［8］ 王新敏.ANSYS工程結(jié)構(gòu)數(shù)值分析［M］.北京：人民交通出版社，2007.

［9］ 宋一凡.公路橋梁結(jié)構(gòu)計(jì)算理論［M］.北京：人民交通出版社，2000.