李明

（安徽文達(dá)信息工程學(xué)院 通識(shí)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室，安徽 合肥 231201）

人口的模型解

李明

（安徽文達(dá)信息工程學(xué)院 通識(shí)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室，安徽 合肥 231201）

人口過(guò)多一直制約著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，而且已經(jīng)給社會(huì)帶來(lái)很多的問(wèn)題.計(jì)劃生育已經(jīng)使得我國(guó)人口增長(zhǎng)速度得到很好的遏制.長(zhǎng)期以來(lái)，人類的繁衍一直在進(jìn)行著.研究人類和自然的關(guān)系、人口數(shù)量的變化規(guī)律以及如何進(jìn)行控制等勢(shì)在必行.本課題對(duì)人口的各種模型進(jìn)行分析，以期得到很好的預(yù)測(cè)和控制.本課題以微分方程知識(shí)為基礎(chǔ)，建立和補(bǔ)充不同的人口模型，并且得到不同的模型解.如指數(shù)增長(zhǎng)模型、阻滯增長(zhǎng)模型、考慮年齡結(jié)構(gòu)和生育模式的模型、隨機(jī)人口模型、多集團(tuán)人口模型等等，在人口發(fā)展中它們都有自身的例子，對(duì)于人口預(yù)測(cè)和控制很有研究的必要.但是有的模型過(guò)于簡(jiǎn)單，需要修正；有的模型前人沒(méi)有深入，需要補(bǔ)充.這些模型可以為有效控制人口以強(qiáng)有力的平臺(tái)，也可以補(bǔ)充和完善人口發(fā)展方程的一些理論和證明.

阻滯增長(zhǎng)；指數(shù)增長(zhǎng)；人口模型

1 引言

人口方程的研究是古老而又嶄新的課題，近年來(lái)越來(lái)越受關(guān)注.國(guó)內(nèi)外學(xué)者一直在致力于研究人口系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題.人口方程來(lái)源于偏微分方程、數(shù)學(xué)物理方程，是Boltzmann方程的一個(gè)分支，其中的理論博大精深.

數(shù)學(xué)物理方程不僅在理論上還是應(yīng)用上發(fā)展的都很迅速，它還在擴(kuò)散、運(yùn)輸理論、混沌、流體力學(xué)等諸多領(lǐng)域得以應(yīng)用.整體看來(lái)，人口方程主要偏重于理論研究，所得的結(jié)果對(duì)我國(guó)的計(jì)劃生育政策產(chǎn)生過(guò)很大的影響.

本課題主要以理論研究為主，對(duì)于人口可能出現(xiàn)的模型加以分析，解釋各種人口參數(shù)，也為人口控制作個(gè)很好的鋪墊.

2 人口模型

2.1 指數(shù)增長(zhǎng)模型

18世紀(jì)末，馬爾薩斯在研究了百余年的人口統(tǒng)計(jì)資料后認(rèn)為，在人口自然增長(zhǎng)過(guò)程中，凈相對(duì)增長(zhǎng)率（出生率減去死亡率為凈增長(zhǎng)率）為常數(shù).

設(shè)時(shí)刻t的人口為N(t)，凈相對(duì)增長(zhǎng)率為r，在開(kāi)展人口設(shè)置的時(shí)候，最好把凈相對(duì)增長(zhǎng)率N(t)作為一個(gè)連續(xù)的變量因素考慮.根據(jù)馬爾薩斯的計(jì)算理論，在t到t+Δt時(shí)間內(nèi)人口的增長(zhǎng)量為

設(shè)t=0時(shí)人口為N0，既有N|t=0=N0

我們易求得其解為

如果r＞0，式（1）則表明人口將以指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng).特別的，當(dāng)t→∞時(shí)，將會(huì)有N(t)→∞，而地球提供給人類的空間卻是有限的.

這個(gè)解前期可以和人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)相吻合，但是與19世紀(jì)的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)有相當(dāng)大的差異.因而這個(gè)模型只可以對(duì)人口用來(lái)做短期.預(yù)測(cè)分析表明，這種現(xiàn)象的主要原因是隨著人口的增加，自然資源、環(huán)境條件等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的限制作用作用越來(lái)越顯著.人口較少時(shí)，人口的增長(zhǎng)率基本上是常數(shù)，而當(dāng)人口增加到一定數(shù)量以后，這個(gè)增長(zhǎng)率就要隨著人口的增加而減少.因此，需要對(duì)上述指數(shù)模型關(guān)于凈相對(duì)增長(zhǎng)率是常數(shù)的基本假設(shè)進(jìn)行修改.

2.2 阻滯增長(zhǎng)模型

在這里用Nm表示自然資源和環(huán)境條件所能容許的最大人口數(shù)，并假定凈相對(duì)增長(zhǎng)率等于，即凈相對(duì)增長(zhǎng)率隨著N(t)的增加而減少，當(dāng)N(t)→Nm時(shí)，凈相對(duì)增長(zhǎng)率趨于零.這樣，指數(shù)模型中的方程就變?yōu)?/p>

仍給出與指數(shù)增長(zhǎng)模型相同的初始條件N|t=0=N0

則該方程的解為

容易看出，當(dāng)t→∞時(shí)，N(t)→Nm.

經(jīng)過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)其結(jié)果與實(shí)際情況比較吻合.

但是這個(gè)模型還是比較簡(jiǎn)單，因?yàn)樗鼈兌紱](méi)有考慮年齡結(jié)構(gòu).事實(shí)上，在人口預(yù)測(cè)中人口按年齡的分布狀況是十分重要的，因?yàn)椴煌挲g人的生育率和死亡率有著很大的差別，兩個(gè)國(guó)家或地區(qū)目前人口一樣，如果一個(gè)國(guó)家或地區(qū)年輕人的比例明顯高于另一國(guó)家或地區(qū)，那么二者人口的發(fā)展?fàn)顩r將大不一樣.

因此，對(duì)上述模型要增加一個(gè)關(guān)于年齡的變量.

2.3 考慮年齡結(jié)構(gòu)的人口模型

使人口數(shù)量和結(jié)構(gòu)變化的因素不外乎出生、死亡和遷移.為簡(jiǎn)化起見(jiàn)，只考慮自然的出生與死亡，不計(jì)遷移等社會(huì)因素的影響.

為研究任意時(shí)刻不同年齡的人口數(shù)量，引入人口的分布函數(shù)和密度函數(shù).時(shí)刻t年齡小于r的人口稱為人口分布函數(shù)，記作F(r,t)，其中t,r(≥0)均為連續(xù)變量，設(shè)F是連續(xù)、μ (r,t)p(r,t)dr可微的.時(shí)刻t的人口總數(shù)記作N(t)，最高年齡記作rm，理論推導(dǎo)時(shí)設(shè)rm→∞.于是對(duì)于非負(fù)非降函數(shù)F(r,t)，有F(0,t)=0,F(rm,t)=N(t)

p(r,t)dr表示時(shí)刻t年齡在區(qū)間[r,r+dr)內(nèi)的人數(shù).

為了得到p(r,t)滿足的方程，考察時(shí)刻t年齡在[r,r+dr)內(nèi)的人到時(shí)刻t+dt的情況.他們中活著的那一部分人的年齡變?yōu)閇r+dr1,r+dr+dr1)，這里dr1=dt.而在dt這段時(shí)間內(nèi)死亡的人數(shù)為μ(r,t)p(r,t)drdt.于是

上式可寫(xiě)作

注意到dr1=dt，就可得到

這是人口密度函數(shù)p(r,t)的一階偏微分方程，其中死亡率μ(r,t)為已知函數(shù).

方程（2）有兩個(gè)定解條件：初始密度函數(shù)記作p(r,0)=p0(r)；單位時(shí)間出生的嬰兒數(shù)記作p(0,t)=f(t)，稱嬰兒出生率.p0(r)可有人口調(diào)查資料得到，是已知函數(shù)；f(t)則對(duì)預(yù)測(cè)和控制人口起著重要的作用，后面將對(duì)它進(jìn)一步分析.將方程（2）及定解條件寫(xiě)作

這個(gè)連續(xù)型人口發(fā)展方程描述了人口的演變過(guò)程，從這個(gè)方程確定出密度函數(shù)p(r,t)以后，立即可以得到各個(gè)年齡的人口數(shù)，即人口分布函數(shù)

方程（3）的求解過(guò)程很難，只給出了一種特殊情況下體現(xiàn)出來(lái)的結(jié)果，社會(huì)發(fā)展如果安定還有就是發(fā)展?fàn)顟B(tài)不太長(zhǎng)的時(shí)候，死亡率和時(shí)間的關(guān)系不大.于是和近似的假設(shè)μ (r,t)=μ(r).這時(shí)（3）的解為

這個(gè)解可以粗略的描述人口發(fā)展?fàn)顟B(tài)，可是它還沒(méi)有足夠考慮人口的生育模式，還要做進(jìn)一步的推究.

2.4 考慮生育模式的人口模型

在方程（3）或解（4）中p0(r)和μ(r)可從人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到，μ(r,t)也可由μ(r,0)不完全統(tǒng)計(jì)，能夠預(yù)測(cè)以及控制人口的整體狀態(tài)，在這個(gè)過(guò)程匯總要關(guān)注和開(kāi)展控制手段調(diào)節(jié)出生率f(t)，下面對(duì)f(t)作進(jìn)一步分解.

記女性性別比函數(shù)為k(r,t)，即時(shí)刻t年齡在[r,r+dr)的女性人數(shù)為k(r,t)p(r,t)dr，統(tǒng)計(jì)這些女性在單位時(shí)間內(nèi)平均每人的生育數(shù)量，并記作b(r,t)，設(shè)育齡區(qū)間為[r1,r2]，則

由（7）式得到的結(jié)果是，β(t)是時(shí)刻t的單位時(shí)間內(nèi)能有效的平均到每個(gè)育齡女性的生育數(shù).如果全體育齡女性在育齡期都保持穩(wěn)定的生育數(shù)，同時(shí)也表示平均每個(gè)可生育女性一生總的生育數(shù)量，也就是我們所說(shuō)總和生育β(t).所以β (t)稱為總和生育率（簡(jiǎn)稱生育率）或生育胎次.

從（5），（6）兩式及b(r,t)的含義立即得到，年齡是女性生育的重要因素，是我們所說(shuō)的生育模式h(r,t).如果環(huán)境穩(wěn)定我們可以感覺(jué)與t關(guān)系不大，即h(r,t)=h(r).我們可以統(tǒng)計(jì)在那些年齡階段的生育年齡的整體變化情況，最好要結(jié)合人口的統(tǒng)計(jì)資料.在開(kāi)展理論分析，運(yùn)用借用概率論的Γ分布分析方法可以得到有效.

可以看出，提高晚婚，增加晚育.

人口發(fā)展方程（3）以及單位時(shí)間出生的嬰兒數(shù)f(t)之間的關(guān)系來(lái)建立表達(dá)式，開(kāi)展了連續(xù)發(fā)展模型的構(gòu)建.在模型中死亡率函數(shù)μ(r,t)性別比函數(shù)k(r,t)，和初始密度函數(shù)p0(r)有所提高，函數(shù)要通過(guò)人數(shù)的統(tǒng)計(jì)資料來(lái)得到，或通過(guò)資料來(lái)開(kāi)展預(yù)估，要不斷控制人口發(fā)展過(guò)程.有效的控制生育率的發(fā)展，所以要控制生育的早晚以及疏密.計(jì)劃生育就是通過(guò)這兩種模式開(kāi)展的.在上面的模型中，密度函數(shù)以及分布函數(shù)是對(duì)人口的完整描述，在開(kāi)展運(yùn)行的時(shí)候還是有很多的問(wèn)題存在.而生育率β(t)和生育模式h(r,t)則是可以用于控制人口發(fā)展過(guò)程的兩種手段.β(t)可以控制生育的多少，h(r,t)可以控制生育的早晚和疏密.我國(guó)的計(jì)劃生育政策正是通過(guò)這兩種手段實(shí)施的.

下面討論人口指數(shù)：

在上面的模型中，密度函數(shù)p(r,t)或分布函數(shù)F(r,t)固然是人口發(fā)展過(guò)程最完整的描述，但是使用起來(lái)并不方便.在人口統(tǒng)計(jì)學(xué)中，常用一些所謂人口指數(shù)來(lái)簡(jiǎn)明扼要的表示一個(gè)國(guó)家或地區(qū)的人口特征.下面是一些人口指數(shù)的定義以及它們與p(r,t)等數(shù)量之間的關(guān)系.

（3）平均的壽命 它表示時(shí)刻t出生的人無(wú)論活到什么時(shí)候，死亡率都按時(shí)刻t的μ(r,t)計(jì)算，這些人的平均存活時(shí)間，記作S(t).

實(shí)際上是預(yù)估壽命.通常說(shuō)目前平均壽命已經(jīng)達(dá)到多少歲，是指今年出生嬰兒的預(yù)估壽命，即S(0).根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料得到當(dāng)前的死亡率μ(r,0)后就可以計(jì)算出S(0)了.

如果在一個(gè)國(guó)家平均的年齡比較大這個(gè)國(guó)家的健康指數(shù)就越大；尤其是相鄰兩個(gè)國(guó)家開(kāi)展比較，如果一個(gè)人在有限的時(shí)間創(chuàng)造出來(lái)是生產(chǎn)率比較高，工作時(shí)間比較長(zhǎng)，那么這個(gè)國(guó)家的老齡化指數(shù)就比較小.

現(xiàn)在統(tǒng)計(jì)我們的人口數(shù)量，要有效的控制生育率、通過(guò)降低人口增長(zhǎng)速度，控制老齡化指數(shù)不要太高.

（5）勞動(dòng)力供養(yǎng)指數(shù)

在男性和女性有勞動(dòng)能力的年齡區(qū)間統(tǒng)計(jì)上面，要先了解全體人民的勞動(dòng)能力，還有每個(gè)勞動(dòng)力的供養(yǎng)人數(shù).

其中[l1,l2]和[l'1,l'2]分別是男性和女性有勞動(dòng)能力的年齡區(qū)間，L(t)是全體人口中有勞動(dòng)能力的人數(shù)，所以依賴性指數(shù)ρ(t)表示平均每個(gè)勞動(dòng)者要供養(yǎng)的人數(shù).

可見(jiàn)，如果給出了既定的生育率、死亡率等相關(guān)數(shù)據(jù)以后，對(duì)人口開(kāi)展預(yù)測(cè)，可以確定模型的情況.從實(shí)際情況考慮，一個(gè)人關(guān)于出生和死亡限制不是很低是有很大的隨機(jī)性，預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性也很低.這就需要建立隨機(jī)人口模型.

2.5 隨機(jī)人口模型

我們可以用確定性模型描述人口的發(fā)展，對(duì)于特定的國(guó)家和地區(qū)來(lái)考慮，所以數(shù)量是很龐大，運(yùn)用總數(shù)計(jì)算出來(lái)的平均生育率、死亡率去代替出生、死亡的概率有很大的不準(zhǔn)確性，開(kāi)展人口的連續(xù)變量的處理方式.但如果我們有一個(gè)村莊來(lái)作為研究，數(shù)量減少，但要運(yùn)用離散隨機(jī)的變量看待時(shí)刻t的人口用隨機(jī)變量X(t)表示，X(t)只取整數(shù)值.記Pn(t)為X(t)=n的概率.n=0,1,2,….對(duì)出生和死亡率進(jìn)行概論研究，找尋Pn(t)的變化規(guī)律，得到人口X(t)的期望以及方差，在隨機(jī)情況下不斷的描述人口的總體發(fā)展?fàn)顩r.

一般的，如果X(t)=n，對(duì)人口在t到t+Δt的出生和死亡做些很小的假設(shè)（Δt很?。?如果說(shuō)出生一人的概率假設(shè)與Δt成正比，記作bnΔt，出生二人及二人以上的概率為o(Δt)；死亡一人的概率也假定與Δt成正比，記作dnΔt，死亡二人及二人以上的概率為o(Δt)；出生與死亡假定是相互獨(dú)立的隨機(jī)事件；進(jìn)一步假設(shè)bn均與dn成正比，不妨記bn=λn,dn=μn，λ和μ分別是單位時(shí)間內(nèi)n=1時(shí)一個(gè)人出生和死亡的概率.

為了得到pn(t)的方程，開(kāi)展隨機(jī)事件X(t+Δt)=n的考察.將它分解為以下一些互不相容的事件之和，在假設(shè)中，可以得到這些事件的概率：

X(t)=n-1，且Δt內(nèi)出生1人，概率為pn-1(t)bn-1(t)Δt；X(t) =n+1，且Δt內(nèi)死亡1人，概率為pn+1(t)dn+1(t)Δt；X(t)=n，在Δt內(nèi)無(wú)人出生或死亡，概率為pn(t)(1-bnΔt-dnΔt)；X(t)=n-k(k≥2),Δt內(nèi)出生k人，或X(t)=n+k(k≥2)，Δt內(nèi)死亡k人，或X(t) =n，Δt內(nèi)出生且死亡k人(k≥2)，這些事件的概率均為o(Δt).

由全概公式有

由此可得關(guān)于pn(t)的微分方程

特別的方程可為

若初始時(shí)刻（t=0）人口為確定數(shù)量n0，則pn(t)的初始條件為

（9）式對(duì)于不同的n是一組遞推方程，在（10）下的求解過(guò)程非常復(fù)雜，且沒(méi)有簡(jiǎn)單的結(jié)果.通常人們對(duì)其解并不關(guān)心，感興趣的只是X(t)的期望簡(jiǎn)記作E(t)和方差D(t).

可求得E(t)=n0ert,r=λ-μ.這個(gè)結(jié)果和指數(shù)模型形式上完全一致.

D(t)大小表示了人口X(t)在期望值E(t)附近的波動(dòng)范圍.（11）式說(shuō)明這個(gè)范圍不僅隨著時(shí)間的延續(xù)和凈增長(zhǎng)概率r=λ-μ的增加而變大，而且即使當(dāng)r不變時(shí)，它也隨著λ和μ的上升而增長(zhǎng).即，當(dāng)出生和死亡頻繁出現(xiàn)時(shí)，人口的波動(dòng)范圍變大.

3 結(jié)果分析

以上這些模型，可以反映人口發(fā)展的一些狀態(tài).前面4種模型，都是確定性的，后文可以構(gòu)建其他模型，有了它們可以給人口預(yù)測(cè)和控制提供一個(gè)理論支持.最后一個(gè)模型是隨機(jī)性的，這與實(shí)際人口相一致，不過(guò)通過(guò)數(shù)學(xué)手段研究，也要有理想化的要求，諸如以上很多種假設(shè)，最終它的解回到確定性上，后文可以建立更復(fù)雜的隨機(jī)人口模型.

〔1〕沈建紅，等.數(shù)學(xué)建模[M].清華大學(xué)出版社，2011.

〔2〕姜啟源，等.數(shù)學(xué)建模[M].高等教育出版社，2011.

〔3〕李明.非線性依賴年齡的人口動(dòng)態(tài)最優(yōu)收獲[J].阜陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2006,4（23）：61-64..

〔4〕李明.定常人口的最優(yōu)控制[J].中國(guó)校外教育，2013（9）: 44-45.

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A

1673-260X（2015）09-0001-03

安徽文達(dá)信息工程學(xué)院資助（XZR2014B02）