吉智深

[摘 要]

如今一些小學數學教師在專業(yè)知識上存在著問題，具體表現為：對數學知識的理解不夠深刻，知識是零碎的堆積形不成系統等。這些問題的存在直接地影響著數學教學質量和學生的全面發(fā)展。分析小學數學教師在專業(yè)知識上存在的問題以及幫助他們學會如何提高專業(yè)知識素養(yǎng)是十分必要的。

[關鍵詞]

數學；專業(yè)知識；教學質量

我國數學新課程改革初期，一些專家和學者認為：知識不是最重要的，最重要的是能力，有了能力就可以從外界獲得知識。十多年來我國的各級各類小學數學教師培訓也只關注現代教育教學理論的學習和運用、新數學課程標準及教材的分析和解讀等。在許多人看來，小學數學課程改革存在的問題主要是理念問題、教法問題、學法問題，而不是知識問題，小學數學學科的知識都很簡單，目前以小學數學教師的學科知識水平教小學生綽綽有余。但現實是：一些教師在課堂教學中只注重教法和學法的改變，未能深刻理解小學數學知識，從而導致數學課堂教學留下一些遺憾。如何突破知識局限瓶頸，提升數學教學質量，下面筆者結合具體的教學，談談自己的認識。

一、用原理的深度分析數學知識，提高教師分析問題的能力

布魯納在《教育過程》一書中指出“決定美國史學科應該教些什么或算術學科應該給他們教些什么，這種決斷要依靠該學術領域里有著遠見卓識和非凡能力的人士的幫助才能做好。決定代數的基本觀念以交換律、分配律和結合律的原理為基礎，他必須是個能夠鑒賞并通曉數學原理的數學家……只有借助這些最優(yōu)秀的人士的力量，才能把學識和智慧的果實帶給剛開始學習的學生”。

數學原理內涵有兩個：第一，數學命題（指真命題），主要包括數學公理、定理、公式、法則等和數學推理與證明。第二，數學命題（除公理之外）都必需論證，只有論證之后，才可作為證明的重要依據。如果我們能正確運用這些原理來分析問題的話，許多模糊認識就可能清晰起來。邊小明和邊巨星兩位老師在文章《我“錯”在哪里了》談到了等式[860÷40=86][÷4=21??????2]正確性問題。[860÷40=86÷4]，[86÷4][=21??????2]，這兩個等式都是正確的，而等式[860÷40=][21??????2]為什么又不正確呢？”這還要從相等關系就是一種特殊的等價關系談起，既然相等關系是等價關系，它就滿足等價關系的三個性質之一——傳遞性。如果[860÷40]與[86÷4]相等關系， [86÷4]與[21??????2]也是相等關系，那么沒有理由說明[860÷40]與[21??????2]不相等，因為相等關系滿足傳遞性，而事實是[860÷40]與[21??????2]不相等。是不是[860÷40]與[21??????2]可能相等，可能不等，根據數學推理的邏輯起點三原則中的矛盾律： [860÷40=21??????2]不可能又是錯誤的又是正確的。教學過程中如果不講清楚其中的道理，就會給學生一個不好的影響，學生們會懷疑之前建立起的關于等式傳遞性的正確性，教師此時應該及時消除學生們的懷疑，給學生一個正確的解釋，不僅讓學生對錯在哪里有所感悟，教師也理應知道為什么會錯。那么推理的過程中到底哪里出現了問題呢？讓我們回頭看看兩個等式[860÷40=86÷4]，[86÷4=21??????2]，第一個等式沒問題，推理發(fā)生錯誤，只能說明第二式子不是等式，回到式子[86÷4=21??????2]的最初定義，式子[86÷4=21??????2]是等式[86=4×21+2]的一種記法，并不是一個等式，如果離開了被除數[86]和除數[4]，符號“[=21??????2]”就沒有意義，它的前面可能是[65÷3]，也可能是[107÷5]，[??????]，但[65÷3≠107÷5]，從另一個側面說明[86÷4=21??????2]不是一個等式，所以[860÷40=86÷4=21??????2]這種寫法是不規(guī)范的，容易讓人產生歧義，所以我們只能分別寫成：[86÷4=21??????2]，[860÷40=21??????20]。雖然[a÷b=q??????r]不是等式，但有余數除法表示為：[a÷b=q??????r]（其中[r

關于文章所提到的規(guī)律：在有余數除法中，如果被除數和除數都擴大（或縮?。┩瑪当?，雖然不完全商不變，但余數隨著擴大（或縮?。┩瑪当叮簿褪且?guī)律：

如果[a÷b=q（余r）]

那么[（a×n）÷（b×n）=q（余r×n），]

或[（a÷n）÷（b÷n）=q（余r÷n）.]是可以證明的，具體過程如下：

已知[a=b×q+r，（r

那么[a×n=（b×q+r）×n]

[=b×q×n+r×n]

[=（b×n）×q+r×n]

因為[r

所以[（a×n）÷（b×n）=q（余r×n）]

同理可證[（a÷n）÷（b÷n）=q（余r÷n）.]

這個規(guī)律的證明用了以下兩個性質

如果[a=b]，那么[a×n=b×n]

如果[a

這兩個性質可以自然數大小的定義來證明。

不要拋棄數學的原理，因為通過它們，我們學會了分析問題，看清了問題的本質，所以廣大教師要多用原理的深度分析數學知識，認清其正確性和合理性，這樣，才不會讓自己和學生帶著懷疑與錯誤走出課堂。

二、用關聯的角度處理數學知識，激發(fā)學生學習數學的熱情

義務教育《數學課程標準》（2011年版）總目標之一：“學生能體會到數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系，……增強發(fā)現和提出問題的能力、發(fā)現和解決問題的能力?！睌祵W知識之間的關聯可以幫助學生把數學看成一個整體而不是一些復雜的、不相關聯的概念、規(guī)定、步驟和過程。數學與其他學科之間的關聯為學生提供了欣賞數學力量和概括性的機會。數學與生活之間的關聯能夠幫助學生認識到數學的價值，同時激勵他們學習新的數學知識。

朱長青老師的《回到思維原點》和黃良春老師的《由“回到思維原點”引發(fā)的思考》兩篇文章都討論了同一個問題：為什么先算乘除，后算加減？兩位老師對“規(guī)定來源于具體實際問題”有不同的理解。朱老師認為：“運算順序的產生并非來自于哪種實際問題數量的多與少”。黃老師則認為“對于小學數學而言，很多規(guī)定都來源于具體實際問題，這是不爭的事實”。筆者同意黃老師的觀點，史寧中教授多次強調：為了說明規(guī)定的合理性，就必須回到現實世界。他在《基本概念和運算法則》一書中用了講故事的形式說明運算次序兩個基本法則的合理性。

第一個例子：[（3+2）×4=5×4=20]

這個式子的實際背景問題是：操場上有4排同學，每一排有3名女同學2名男同學，問操場上有多少名同學？

同學總數=每排同學數[×]排數，同學總數是一個大故事，式子中的括號中表達了是一個小故事：每排的同學數。大故事包含一個小故事，所以要先完成小故事（先算括號），再完成大故事。

第二個例子：[3+2×4=3+8=11]

這個式子的實際背景問題是：操場上原來有3名同學，又來了一隊同學，這隊同學每排有2名同學，共有4排，問現在操場上有多少名同學？

如果把乘法理解為加法的簡便運算，用[3+2×4=3+4+4=3+8=11]來解釋先算乘除，后算加減，但這樣的解釋無法抽象出共性。第二個式子的背景講了一個大故事：同學總數，大故事要包含了兩個并列的小故事：一是原來的同學數，二是后來的同學數，同學總數=原來的同學數[+]后來的同學數，先計算乘法是為了完成一個小故事：后來的同學數，要完成大故事，要把后來的同學數加上原來的同學數，也就是：先乘法，再加法。

作家莫言在諾貝爾文學獎頒獎演講中，用了一種最為平實的方式——講故事，敘述了自己成為“講故事的人”的歷程，簡簡單單，卻透徹心扉，同樣，史寧中教授也用講述故事的形式，講清現實世界中為什么先算乘除，后算加減的道理，道理也簡簡單單，讓人印象深刻。

當然，除了數學與生活之間的聯系之外，還有數學知識之間、數學與其他學科之間的聯系。比如前面提到的有余除法與減法的關系，于芳老師在《正視沖突——反復對比——實現遷移》一文中，正是利用有余除法與減法的關系，借助于“表內除法”與“有余數除法”之間的聯系，讓學生真正理解了有余數的除法。再比如：音樂和數學的聯系很密切，在音樂理論、音樂作曲、音樂合成、電子音樂制作等等方面，都離不開數學。

我們要重視知識之間的關聯，發(fā)展數學知識的關聯，促進學生的數學學習，讓數學成為一個具有挑戰(zhàn)性的、學生愿意參與的和令人興奮的學習領域。

三、用高數的高度看待數學知識，避免課堂教學尷尬的發(fā)生

小學數學教師不但要深刻地理解小學數學知識，而且要知道這些知識和高等數學之間的聯系，確保在課堂教學中不犯或者少犯錯誤，避免課堂教學尷尬的發(fā)生。

陳永明老師在《[π]是除出來的嗎？》講這樣一個事情：陳老師在一所小學聽課，老師講到圓周率[π]是一個無限不循環(huán)小數：3.1415927[??????]，一名學生舉手問：這個“[??????]”是怎樣得出來的？這位老師不假思索地回答：這個“[??????]”當然是除出來的！陳老師指出：這位老師講錯了，兩個整數相除，如果除不盡，可以出現“[??????]”但是這個結果一定是循環(huán)小數。而[π]是一個無理數，[π]不可能是兩個整數相除的結果。陳永明老師在文章《[π]還是個超越數》中進一步指出：[π]可不是某個整系數整式方程的解，它也不可能由整數通過加、減、乘、除、乘方、開方得到，它是用“超越”了代數的運算——極限得到的，因此它是超越數。

可能有的老師會想：“我的課堂上，學生不一定會提出這樣的問題?！钡豢煞裾J的是在小學的課堂上我們事實上也面臨著類似的挑戰(zhàn)與機遇，只是問題的表現形式可能有所不同。一位實習生告訴我他遇到的尷尬，他在教學《分數化小數》時，通過歸納得出規(guī)律：如果分母中除了含有2、5以外不含有其他的質因數，這個分數就能化成有限小數。一位學生反問：“這是為什么呢？”這位實習生不知道原因，用“剛才不是通過歸納得到了這個規(guī)律了嗎？”搪塞過去。等我把其中的理由講給他聽以后，他遺憾地說：“如果當時知道這個原因有多好！”

十年來，小學數學課程改革爭議比較多的內容之一就是隨機事件發(fā)生的可能性大小的定量描述。為什么有很多爭議呢？主要原因是這一部分內容對小學階段的學生來說有難度，還有一個隱性原因是教師缺乏對統計與概率學科知識的深刻理解，導致教師無法向學生解釋實驗所得到的數據，課堂上遇到許多尷尬。比如：A老師在教學“游戲的公平性”課始，設計了情境沖突：這里有一個布袋，里面有3個紅球和1個黃球。我們進行游戲，一共摸20次球，這個游戲規(guī)則是如果摸到的紅球多，就算女生贏，如果摸到的黃球多，就算男生贏。男生認為不公平，因為黃球只有1個，紅球3個，黃球個數比紅球少。教師不顧男生的反對，堅持做這樣一個游戲，統計結果是紅球摸到了9次，黃球摸到了11次，男生贏了。A老師本來想通過這次游戲突出這樣做是不公平的，結果男生組“意外地”贏了這場游戲，尷尬與無奈寫滿了執(zhí)教老師的臉。為什么有這樣的尷尬，因為這位老師沒有理解統計與概率中的大數法則，大數法則是指在隨機試驗中，每次出現的結果不同，但是大量重復試驗出現的結果的平均值卻幾乎總是接近于某個確定的值。其原因是，在大量的觀察試驗中，個別的、偶然的因素影響而產生的差異將會相互抵消，從而使現象的必然規(guī)律性顯示出來。大數法則中強調試驗次數的大量性，在很少的幾次試驗中，規(guī)律不一定顯現出來，比如：8次擲硬幣試驗中結果未必是4次正面和4次反面。雖然2011版的數學課程標準把可能性大小的定量描述移至第三學段，但這些尷尬卻時時提醒我們：要教好一個知識點，教師就必須知道與此相關的高等數學，這樣，才能避免課堂教學尷尬的發(fā)生。

任何人都無法教給別人他自己都不懂的東西，我們要多看看關于數論、統計與概率等高等數學方面的書籍，它會幫助我們高屋建瓴地理解小學數學知識，提升課堂教學質量。

四、用應用的廣度理解數學知識，提升小學數學教師的素養(yǎng)

著名教育家蘇霍姆林斯基在《給教師的建議》指出“教師教育素養(yǎng)的第一要素，就是要熟知學科內容并且綽綽有余?！彼€指出“如果數學教師只能勉強對付當天要教的一段教材，這個班上的學生中是出不了數學人才的”。

我們都知道公歷四年一閏，百年少一閏，四百年又加一閏，但其中的緣由不是每一位老師都知道的。高飛老師在《“規(guī)定性知識”還可以這樣教》一文所給的閱讀材料不夠具體，如果要真正理解其中的原因，還要用連分數的相關知識來解釋。

地球繞著太陽一周所需的時間是365天5小時48分46秒，也就是

[365+524+4824×60+4624×60×60=3651046343200]（天）

應用輾轉相除化為簡單連分數，得

[365+14+17+11+13+15+164]

通常把上面的連分數寫作：[365+14+17+11+13+15+164]。

它的分數部分依次截段得到分數[1046343200]的漸進分數：

[14]

[14+17=729]

[14+17+11=833]

[14+17+11+13=31128]

[14+17+11+13+15=163673]

[??????]

用365加上這些漸進分數所得的天數，一個比一個更接近于地球繞太陽運行一周所需的實際時間。

第一個漸進分數是[14]，說明可以每隔四年加一天，這就是四年一閏的由來，當然這還是很不精確的。

第二、第三個漸進分數分別是[729]與[833]，說明如果每29年加7天就相對精確些，而每33年加8天就又精確些，于是每99年里只加24天（每100年少加7天），這正是百年少一閏的由來。

第一個漸進分數是[31128]，說明如果更精確一些的話，可以每128年里只加31天，于是在128年中，頭三個33年各加8天，后29年加7天。在四百年內，有三個128年和四個4年，所以四百年應加97天（[31×3+1×4]）。而根據四年一閏，百年少一閏的規(guī)定，四百年只應加96天，于是又規(guī)定每四百年又加一天（[96+1]），這就是四百年又加一閏的由來。

雖然這些知識不可能講給學生聽，講了也聽不懂，但作為教師要知道為什么要這樣規(guī)定，雖然學生這時不知道其中的緣由，但他有一天學到該知識的時候，肯定會感嘆數學應用的廣泛與神奇。

“給人一杯水，自己要有一桶水。”廣大教師要突破知識局限的瓶頸，加深對數學知識的理解，只有教師對數學知識有了深層的理解，才能有助于教師引導學生對數學知識的深入思考，才能正確及時處理課堂上遇到的“意外”、才能引導學生用數學原理分析數學知識、用關聯的角度看待數學知識，這樣的課堂教學才是高質量的課堂教學。

[參 考 文 獻]

[1]邊小明，邊巨星.我“錯”在哪兒了——從“商不變性質”引發(fā)的“后攝抑制”說開去[J].教學與管理，2014（6）.

[2]朱長青.回到思維原點——“乘法和加、減法的兩步混合運算”教學新視野[J].中小學數學（小學版），2010（3）.

[3]黃良春.由“回到思維原點”引發(fā)的思考[J].中小學數學（小學版），2010（6）.

[4]史寧中.基本概念和運算法則[M].北京：高等教育出版社，2013（5）.

[5]于芳.正視沖突 反復對比 實現遷移——“有余數的除法”教學思考[J].小學數學教師，2014（6）.

[6]陳永明.π是除出來的嗎？[J].小學數學教師，2014（2）.

[7]單壿.初等數論[M].南京：南京大學出版社，2000（7）.

（責任編輯：李雪虹）