聶祥榮，王 珂，武玲玲

（1.貴州工程應(yīng)用技術(shù)學院 數(shù)學系，貴州 畢節(jié)551700；2.上海大學 數(shù)學系，上海200444）

0 引 言

矩陣方程組是矩陣方程（組）理論與方法研究的重要對象，對研究其他類型矩陣方程（組）具有重要的基礎(chǔ)性和方法性意義.式（1）的各種對稱解是人們關(guān)注的課題之一，如文獻［1-5］討論了式（1）的Hermitian解、雙對稱解、中心對稱解和P-對稱解等.行（列）對稱矩陣或行（列）對稱延拓矩陣［6-8］在時頻分布、信息、控制、建筑等具有軸對稱特性現(xiàn)象中起著重要作用.最近，文獻［9-11］利用奇異值分解和行對稱矩陣的等價條件討論了矩陣方程組（1）的行或列對稱（延拓）解.

四元數(shù)矩陣特征值與特征向量問題由于四元數(shù)乘法的不可交換性變得較為復雜.許多學者對四元數(shù)矩陣右（左）特征值與特征向量做了大量有益的研究工作［12-18］，其中文獻［12-13，18］利用四元數(shù)矩陣復表示矩陣的特征多項式（擬特征多項式）和重特征多項式，通過右復特征主值，描述了四元數(shù)矩陣全部右特征值的集合、給出了相應(yīng)的求解右特征值的一個特征向量的方法.研究發(fā)現(xiàn)，可以通過復矩陣方程組（1）的具有行（列）共軛對稱性的解獲得四元數(shù)矩陣屬于右特征值的全部特征向量.因此，為豐富矩陣方程組特殊解及其應(yīng)用的研究內(nèi)容，本文提出復數(shù)域上行（列）共軛對稱矩陣概念，利用復矩陣的實表示和廣義逆方法，討論復數(shù)域上矩陣方程組（1）的行（列）共軛對稱解，建立其存在行（列）共軛對稱解的充分必要條件及該類解的一般表達式，并利用所得結(jié)果給出四元數(shù)矩陣右特征值的特征向量集合.

文中用Rm×n，Cm×n和Qm×n分別表示實數(shù)域、復數(shù)域和四元數(shù)體上的全體m×n階矩陣.對于A∈Qm×n，AT，ˉA，A＊，A?和r（A）分別表示矩陣A的轉(zhuǎn)置、共軛、共軛轉(zhuǎn)置、M-P逆和秩.I表示具有相應(yīng)階數(shù)的單位矩陣，Jm=（Ji，j）∈Cm×m（除J1，m=J2，m-1=…=Jm，1=1外其余元素均為零）.記LA=I-A?A，RA=I-AA?.

定義1 一個2n行（或2n+1行）矩陣X∈C2n×p（或X∈C（2n+1）×p）稱為行共軛對稱，是指存在Y∈Cn×p（或存在Y∈Cn×p，Γ∈R1×p）使得X=

定義2 一個2p列（或列2p+1）矩陣X∈Cn×2p（或X∈Cn×（2p+1））稱為列共軛對稱是指，存在Y∈Cn×p（或存在Y∈Cn×p，?！蔙n×1）使得X=［Y ˉYJp］（或X=［Y Γ ˉYJp］）.

1 復矩陣的實表示及有關(guān)引理

設(shè)矩陣A=A1+i A2∈Cm×n，其中A1，A2∈Rm×n.分別稱矩陣

為A的行型和列型實表示矩陣.容易驗證，矩陣A的行型和列型實表示矩陣具有如下性質(zhì)

引理1［19］設(shè)A∈Cm×n，B∈Cm×k，C∈Cl×n，則下列秩等式成立

引理2［2］設(shè)A∈Cm×n，B∈Cp×q，C∈Cm×p，D∈Cn×q已知，而X∈Cn×p未知.則下列陳述等價：

1）矩陣方程組（1）可解；

2）RAC=0，DLB=0，AD=CB；

當式（1）可解時，其通解為

其中，Y是復數(shù)域C上任意具有適當階數(shù)的矩陣.

2 矩陣方程組（1）的行共軛對稱解

定理1 A∈Cm×2n，B∈Cp×q，C∈Cm×p，D∈

C2n×q已知，而X∈C2n×p未知.記

則下列陳述等價：

1）矩陣方程組（1）存在行共軛對稱解；

在上述情況下，式（1）的行共軛對稱解的一般表達式為一般表達式為式（2）.設(shè)其中是式（1）的行共軛對稱解.記則將X代入式（1），注意到［I i I］CσEp，可得

即

將引理2應(yīng)用于實矩陣方程組（4）可得2）成立，且

式中：Z是實數(shù)域R上任意具有適當階數(shù)的矩陣.從而X可表為式（2）.

當未知矩陣X為2n+1行時，令列陳述等價：

1）矩陣方程組（1）存在行共軛對稱解；

在上述情況下，式（1）的行共軛對稱解的一般表達式為

式中：Z是實數(shù)域R上任意具有適當階數(shù)的矩陣.

備注 定理1（定理2）中等價條件2）和3）均為實形式.易驗證Sn和Wn均是酋矩陣，即式（1）的行共軛對稱解可分別通過行酋變換Sn（Wn）與實矩陣等價.

3 矩陣方程組（1）的列共軛對稱解

由于矩陣方程組（1）等價于

所以式1對未知矩陣X存在列共軛對稱解X=［Y ˉYJp］（或X=［Y Γ ˉYJp］）等價于式（6）對XT存在行共軛對稱解XT.將定理1（或定理2）應(yīng)用于關(guān)于XT的式（6），并對所得矩陣等式、秩等式和XT的表達式兩邊轉(zhuǎn)置，注意復矩陣實表示的性質(zhì)，可得矩陣方程組（1）的兩種列共軛對稱解.

定理3 設(shè)A∈Cm×n，B∈C2p×q，C∈Cm×2p，D∈Cn×2p已知，而X∈Cn×2p未知.則下列陳述等價：

1）矩陣方程組（1）存在列共軛對稱解；

式中：Z是實數(shù)域R上任意具有適當階數(shù)的矩陣.

定理4 設(shè)A∈Cm×n，B∈C（2p+1）×q，C∈式中：Z是實數(shù)域R上任意具有適當階數(shù)的矩陣.

證明 由引理1易知，2）與3）等價.因此只需證明1）與2）等價，且式（1）的行共軛對稱解的Cm×（2p+1），D∈Cn×q，而X∈Cn×（2p+1）未知.則下列

陳述等價：

1）矩陣方程組（1）存在列共軛對稱解；

在上述情況下，式（1）的行共軛對稱解的一般表達式為

式中：Z是實數(shù)域R上任意具有適當階數(shù)的矩陣.

4 四元數(shù)矩陣的右特征向量

根據(jù)文獻［12-13，18］，A∈Qn×n的右特征值集合為｛qαq-1|0≠q∈Q，α是Aφ的復特征值｝.利用定理1的特殊情形AX=C的行共軛對稱解，可得四元數(shù)矩陣右特征值的特征向量集合：

定理5 設(shè)A=A1+A2j∈Qn×n，A1，A2∈Cn×n，λ=λ1+λ2j∈Q（其中λ1，λ2∈C）是A的右特征值，則A的屬于λ的特征向量集合為

根據(jù)定理1，存在Z0∈R4n×1，使得所以

為

所以x=i是A的右復特征值，從而λ=（1+k）i·（1+k）-1=j是A的右特征值.由λ1=0，λ2=1得

所以

是A的右特征值λ=j的全部特征向量，其中，zj∈R，t=1，2，…，8，且或者z2≠0，或者z4≠0，或者z1≠-z7，或者z3≠-z5.

備注 如果考慮文獻［13］定義3.5.4中的左特征值λ（滿足ξA=λξ，ζ≠0），類似地利用定理2的特殊情形XB=D的列共軛對稱解，可得四元數(shù)矩陣屬于該類左特征值的特征向量集合.

［1］Khatri C G，Mitra S K.Hermitian and nonnegative definite solutions of linear matrix equations［J］.J.SIAM J.Appl.Math.，1976，31：579-585.

［2］Wang Qingwen，Yu Juan.On the generalized bi（skew-）symmetric solutions of a linear matrix equation and its procrust problems［J］.J.Applied Mathematics and Computation，2013，219：9872-9884.

［3］Wang Qingwen.Bisymmetric and centrosymmetric solutions to systems of real quaternion matrix equations［J］.J.Comput.Math.Appl.，2005，49：641-650.

［4］Li Y T，Wu W J.Symmetric and skew-antisymmetric solutions to systems of real quaternion matrix equations［J］.J.Comput.Math.Appl.，2008，55（6）：1142-1147.

［5］Zhang Qin，Wang Qingwen.The（P，Q）-（skew）symmetric extremal rank solutions to a system of quaternion matrix equations［J］.J.Applied Mathematics and Computation，2011，217：9286-9296.

［6］袁暉坪.行（列）對稱矩陣的奇異值分解［J］.中北大學學報（自然科學版），2009，30（2）：100-104.Yuan Huiping.Singular value decomposition of row（column）symmetric matrix［J］.Journal of North Univeristy of China（Natural Science Edition），2009，30（2）：100-104.（in Chinese）

［7］鄒紅星，王殿軍，戴瓊海，等.延拓矩陣的奇異值分解［J］.科學通報，2000，45（14）：1560-1562.Zou Hongxing，Wang Dianjun，Dai Qionghai，et al.SVD for extended matrix［J］.Chinese Science Bulletin，2000，45（14）：1560-1562.（in Chinese）

［8］鄒紅星，王殿軍，戴瓊海，等.行（或列）對稱矩陣的QR分解［J］.中國科學（A輯），2002，32（9）：842-849.Zou Hongxing，Wang Dianjun，Dai Qionghai，et al.QR factorization for row or column symmetric matrix［J］.Science of China（Series A），2002，32（9）：842-849.（in Chinese）

［9］吳強，吳霞.列延拓矩陣方程組的最佳逼近解［J］.暨南大學學報（自然科學版），2013，34（3）：267-269.Wu Qiang，Wu Xia.The optimal approximations of the equations of column extended matrix［J］.Journal of Jinan University（Natural Science），2013，34（3）：267-269.（in Chinese）

［10］吳強.行延拓矩陣的矩陣方程組的最佳逼近解［J］.科技通報，2012，28（2）：13-17.Wu Qiang.The optimal approximation solution to the matrix equations of line extended matrix［J］.Bulletin of Science and Technology，2012，28（2）：13-17.（in Chinese）

［11］劉桂香.AX=B的行（反）對稱與列（反）對稱解［J］.揚州職業(yè)大學學報，2013，17（2）：25-28.Liu Guixiang.On the solutions to row（skew）symmetric and column（skew）symmetric for AX=B［J］.Journal of Yangzhou Polytechnic College，2013，17（2）：25-28.（in Chinese）

［12］李文亮.四元數(shù)矩陣［M］.長沙：國防科技大學出版社，2002.

［13］莊瓦金.體上矩陣理論導引［M］.北京：科學出版社，2006.

［14］Zhang Fuzhen.Quaternions and matrices of quaternions［J］.Linear Algebra Appl.，1997，251：21-57.

［15］Farid F O，Wang Qingwen，Zhang Fuzhen.On the eigenvalues of quaternion matrices［J］.Linear and Multilinear Algebra，2011，59（4）：451-473.

［16］Huang Liping，Wasin So.On left eigenvalues of a quaternionic matrix.Linear Algebra and its Applications［J］，2001，323：105-116.

［17］Andrew B.Right eigenvalues for quaternionic matrices：a topological approach［J］.Linear Algebra and its Applications，1999，286：303-309.

［18］陳龍玄.四元數(shù)矩陣的特征值和特征向量［J］.煙臺大學學報（自然科學與工程版），1993（3）：1-8.Chen Longxuan.The characteristic value and its vector of quaternion matrix［J］.Journal of Yantai University（Natural Science and Engineering），1993（3）：1-8.（in Chinese）

［19］Wang Qingwen，Li Chengkun.Ranks and the leastnorm of the general solution to a system of quaternion matrix equations［J］.J.Linear Algebra Appl.，2009，430：1626-1640.