隨著數(shù)學課程改革的推進與深入，數(shù)學課堂設計探究活動備受推崇.但教學實踐中發(fā)現(xiàn)，數(shù)學探究活動設計存在諸多“異化”現(xiàn)象：有的活動設計缺乏明確的主題，只是為活動而活動，有的活動設計沒能反映當前學習內(nèi)容的本質(zhì)，缺少“數(shù)學味”，而有的活動設計只是停留在操作層面，活動中缺乏學生思維的深度參與等，導致課堂探究活動流于形式.

詹姆斯·希伯特和托馬斯·P·卡彭特說過：“在數(shù)學教育理論與實踐中被最廣泛接受的一個想法就是學生應該要理解數(shù)學”.理解是探究的目標，在數(shù)學探究活動中重視理解，有利于探究活動目標明確，有利于學生對數(shù)學知識內(nèi)涵的深度挖掘，有利于學生掌握數(shù)學知識間的關聯(lián)，形成良好的認知結(jié)構，最終使得學習者能夠超越既定的信息，創(chuàng)造性地將知識運用在不同的情境中.

1 理解與數(shù)學探究活動

希伯特和卡彭特認為：“一個數(shù)學的概念或方法或事實被理解了，那么它就會成為個人內(nèi)部網(wǎng)絡的一部分……，理解的程度是由聯(lián)系的數(shù)目和強度來確定的.”哈佛大學柏金斯教授認為：“理解一個主題就意味著能夠利用這個主題進行彈性實作——解釋、證實、推斷、聯(lián)系和以一種超越知識與常規(guī)技能的方式進行應用.”上述兩種對“理解”的理解具有代表性，前者是指理解的表征觀，側(cè)重對知識的認知，指向?qū)W習者內(nèi)部，強調(diào)的是聯(lián)系，形成認知結(jié)構，后者是指理解的實作觀，側(cè)重對知識的遷移、應用與創(chuàng)新等，指向?qū)W習者外部，形成實作能力.理解既具有內(nèi)隱性，經(jīng)歷從簡單到復雜，從具體到抽象的過程，理解又具有外顯性，需要學習者通過參與理解性實作而顯現(xiàn).

探究活動可分為自由探究和定向探究，自由探究是指學生的探究活動基本上是自己獨立完成的，極少得到教師的指導和幫助，而定向探究是指學生的探究活動是在教師的指導和幫助下完成的，包括教師提供具體教學事例和程序，由學生自己尋找答案的探究.由于學生普遍缺乏探究經(jīng)驗，加之教學內(nèi)容和時間的限制，立足于課堂的數(shù)學探究活動應以定向探究為主.因此，所謂數(shù)學探究活動，就是在數(shù)學教學中設計一些具有探索研究本質(zhì)的數(shù)學學習活動，在教師的幫助和指導下，學生圍繞一定的問題或材料，自主尋求答案、建構意義的活動過程.

2 促進理解的數(shù)學探究活動設計策略

2.1 提供合適的材料，是實現(xiàn)理解性探究活動的重要保障

從認知的角度看，學習材料可被視為一種信息載體，合理的學習材料能較好地吸引學生自主參與，有利于學習過程中的動態(tài)生成，是學生思維活動的源泉.

如在《方程的根與函數(shù)零點》教學中，為得出函數(shù)零點存在性定理，可設計如下材料引導學生探究.圖1

如圖1，某地從0點到12點的氣溫變化圖的一部分，假設氣溫是連續(xù)變化的，請將圖形補充成完整的函數(shù)圖象.這段時間內(nèi)，是否一定有某時刻的氣溫為0度？為什么？

上述的圖形連接問題起點低，直觀性強，簡單而內(nèi)涵豐富，且結(jié)論開放，符合高中學生喜歡動手的特點，適合不同層次學生進行探究.通過對畫圖結(jié)果的比較與分析，函數(shù)零點存在性定理已呼之欲出了.

2.2 把握學生探究活動的起點，是實現(xiàn)理解性探究活動的前提條件

認知理論認為，理解是新信息與原有知識經(jīng)驗相互作用的過程，要使新舊知識能夠相互發(fā)生作用、建立聯(lián)系，前提就是要幫助學生準備好已有的認知結(jié)構.教師應根據(jù)學生的認知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗，切實把握好學生探究活動的起點.

例如在“任意角三角函數(shù)概念”的探究教學中，有教師在引入階段就采用下位概念“銳角三角函數(shù)”先行的策略，通過類比或猜想，將“銳角三角函數(shù)”推廣至“任意角三角函數(shù)”.但從教學實踐看，學生耗費了大量的時間，銜接過渡卻不流暢、不自然.事實上，初中學習的三角主要研究的是銳角三角函數(shù)值的計算，關注的是“解決直角三角形的邊角關系問題”，并不是真正意義上的函數(shù)分析.而“任意角三角函數(shù)的概念”是“函數(shù)概念”的下位概念，因此應考慮更本源性的引入背景，可以在“函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學模型”的思想指導下，以“如何建立圓周運動的數(shù)學模型”為探究活動起點，在建立函數(shù)模型的過程中水到渠成地引入任意角三角函數(shù)的概念.

2.3 營造獨立探究的機會，是實現(xiàn)理解性探究活動的重要基礎

數(shù)學學習最基本的特點之一就是獨立思考，當學生獨立探究時，必然有一個深入思考的過程，只有當學生通過探究思考建立起自己的數(shù)學理解力時，才能真正學好數(shù)學.

以下是等差數(shù)列求和公式的探究活動設計：

問題1：等差數(shù)列的基本量有哪些？

問題2：等差數(shù)列的前n項和會與哪些基本量有關？

問題3：如何用這些基本量來表示前n項和？

在學生解決了前兩問之后，讓學生獨立探究問題3，根據(jù)具體情況，教師作適當啟發(fā)、引導.如提示可以先從特殊數(shù)列入手，但不作具體的方法指導.這樣的設計是開放的，在目標指引下，途徑、方法由學生自主選擇，課堂上可能會出現(xiàn)一些節(jié)外生枝，但因為方法和思路都是學生自己探究得到的，學生真正成了發(fā)現(xiàn)者與研究者.

2.4 探究導向建立新舊知識的聯(lián)系，是實現(xiàn)理解性探究活動的關鍵所在

理解就是把新舊知識掛鉤，把新知識點吸納、融合到我們已有的知識系統(tǒng)之中.評判學生是否真正理解了新知識，關鍵就是看新知識是不是成了學生“自己的可用知識”，是不是與已有知識連在了一起.

以下是引導學生形成直線與平面垂直定義的探究活動問題系列.

問題1：在“線面平行”的位置關系中，我們將“線面平行”關系轉(zhuǎn)化成什么要素之間的關系來研究的？體現(xiàn)了怎樣的思想？（轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)直線的位置關系，體現(xiàn)了“平面化”和“降維”的思想）圖2

問題2：“線面垂直”關系可轉(zhuǎn)化成什么要素之間的關系呢？（同樣可轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)直線的位置關系）

問題3：如圖2，在陽光下觀察直立于地面的旗桿AB及它在地面的影子BC，它們的位置關系是怎樣的？隨著太陽的移動，它們的位置關系會發(fā)生改變嗎？旗桿AB所在直線與地面內(nèi)任意一條不過點B的直線B′C′呢？請試著給直線與平面垂直下定義.

上述探究活動中，問題1、2指引了研究方向，同時滲透了類比、化歸、降維的思想.問題3為定義得出做好了鋪墊.通過新舊知識聯(lián)系，促使學生理解概念所蘊涵的思想方法，加深對概念的理解.

2.5 探究導向知識的多元表征，是實現(xiàn)理解性探究活動的有效法寶

數(shù)學知識表征往往有多種方式，如有通過語義理解而獲得知識的本質(zhì)屬性的語義表征，有通過各種樣例來歸納和認識事物本質(zhì)特征的樣例表征，有通過實物、模型、圖象或圖畫等來認識和理解數(shù)學的形象表征等，通過內(nèi)化多元表征并與已有的內(nèi)在表征發(fā)生相互作用，促進學生對數(shù)學的多角度理解.

如關于函數(shù)單調(diào)性定義形成的教學設計，新課引入后，可以設置下列三個探究活動，引導學生完成形式化定義的形成過程，形成單調(diào)性定義的圖形、語言與符號表征，促進學生對函數(shù)單調(diào)性概念的建構與理解.

探究1：觀察函數(shù)y=x與y=x2的圖象，分別指出這兩個函數(shù)圖像在哪個區(qū)間上是上升的，哪個區(qū)間是下降的？

意圖：基于學生的數(shù)學常識，以學生熟悉的函數(shù)圖象為切入點，通過觀察思考形成單調(diào)性的圖形表征.

探究2：你能用數(shù)學語言把函數(shù)“上升”或“下降”的特征描述出來嗎？

意圖：引導學生從函數(shù)變量的角度探究數(shù)量變化特征（這里可借助信息技術），形成單調(diào)性的語言表征.

探究3.以y=x2為例，在區(qū)間（0，+∞）上，如何對“函數(shù)值y隨著x的增大而增大的特征”給以具體地定量刻畫呢？

意圖：引導學生將自然語言抽象為嚴謹、準確的數(shù)學符號語言，給出增（減）函數(shù)的符號表征.

上述三個探究問題層層遞進，學生經(jīng)歷了將直觀圖象轉(zhuǎn)化成嚴謹刻畫的過程，借助單調(diào)性定義的不同表征，幫助學生深刻理解單調(diào)性概念.

2.6 采用數(shù)學變式探究，是實現(xiàn)理解性探究活動的重要舉措

如果說建立多元表征是幫助學生建立更多的數(shù)量的聯(lián)結(jié)，那么對數(shù)學變式的探究有助于強化聯(lián)結(jié)強度.

例如，在復習“三角函數(shù)圖象的變換”時，給出以下問題：

將函數(shù)y=sinx的圖象向右平移π3個單位，所得圖象對應的解析式為 .

根據(jù)學生在解題中的出錯情況，給出如下問題變式，引導學生開展探究活動.

變式1：將函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移π3個單位，所得圖象對應的解析式為 .

變式2：要得到函數(shù)y=sin（2x-π3）的圖象，可由函數(shù)y=sin（2x-π4）的圖象向 平移 個單位得到.

變式3：函數(shù)y=cosx2的圖象，可以由y=sin（x2+π6）的圖象向 平移 個單位得到.

變式4：函數(shù)y=cosx2的圖象，可以由y=2sin（2x+π6）的圖象經(jīng)過怎樣變換而得到？

通過以上問題變式的探究，使學生在思考、比較、歸納的過程中，理清知識的來龍去脈，自主發(fā)現(xiàn)和理解三角函數(shù)圖象變換規(guī)律.總之，

促進理解的數(shù)學探究活動設計的目的旨在將發(fā)展學生的理解作為探究活動的核心目標，將“理解”貫穿在整個探究活動中.教師的一個重要任務就是設計一些有效的課堂探究活動任務，使教材中一些較難理解的知識轉(zhuǎn)化為通過探究讓學生易于理解的知識.研究促進理解的數(shù)學探究活動設計策略，是有效實施數(shù)學探究教學，促進數(shù)學教師專業(yè)發(fā)展的良好途徑.

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