林群

第一講 莊子哲學(xué)與級(jí)數(shù)（文字轉(zhuǎn)換）

一尺之錘，日取其半，那么每日取走的長(zhǎng)度，便包含無(wú)限多個(gè)數(shù)據(jù)，12，14，18，…，它們相加表示1：

12+14+18+…=1.

這是無(wú)限等式，什么意思？拿什么驗(yàn)證？數(shù)據(jù)試驗(yàn)

一直加下去，越來(lái)越接近1. 再觀察，每當(dāng)左邊多加幾項(xiàng)，右邊在小數(shù)點(diǎn)后就多加一個(gè)9，

12+14+18+…=0.999…

進(jìn)一步說(shuō)，右邊無(wú)論要加多少9，都可以做的到，只要左邊項(xiàng)數(shù)足夠多.所以，這個(gè)過(guò)程最終出現(xiàn)0.9·，從而終結(jié)到1. 這個(gè)定義方法，不再隱晦，而且露骨，過(guò)程看得清：右邊在小數(shù)點(diǎn)后怎樣在加9，怎樣變到1，凸顯了無(wú)限等式

無(wú)限多個(gè)“莊子數(shù)據(jù)”相加=1

的可視化或構(gòu)造性，達(dá)到徹底明白.

如果等式右邊不等于1，例如

1+12+14+18+…=2，

那么，當(dāng)使用比例表示

1+12+14+18+…2，

便回到右邊是1的狀態(tài). 于是重復(fù)上例

1+12+14+18+…2=0.999….

意即每當(dāng)分子多加幾項(xiàng)，比例在小數(shù)點(diǎn)后就多加一個(gè)9. 進(jìn)一步說(shuō)，比例無(wú)論要加多少9，都可以做的到，只要分子項(xiàng)數(shù)足夠多. 所以，這個(gè)過(guò)程最終出現(xiàn)0.9·，從而分子變到分母. 這個(gè)定義方法，不再隱晦，而且露骨，過(guò)程看得清：比例在小數(shù)點(diǎn)后怎樣在加9，分子怎樣變到分母，無(wú)限怎樣變到有限， 凸顯了無(wú)限等式

無(wú)限相加的分子=有限的分母

的可視化或構(gòu)造性，達(dá)到徹底明白. 所以今后就看比例，采用比例表示.

現(xiàn)在放大到一般的級(jí)數(shù). 為什么要討論級(jí)數(shù)呢？若沒(méi)有它，第0講最后的反正弦的高便得不到計(jì)算，以致半途而廢.

放大并不難：對(duì)上例只要求做文字轉(zhuǎn)換，便進(jìn)入級(jí)數(shù)狀態(tài)（包括交錯(cuò)級(jí)數(shù)）. 暫設(shè)（或猜）這級(jí)數(shù)有和. 當(dāng)使用比例表示

級(jí)數(shù)和（或和級(jí)數(shù)）=0.999…

（保證分子≤分母），意即每當(dāng)級(jí)數(shù)多加幾項(xiàng)，比例在小數(shù)點(diǎn)后就多加一個(gè)9. 從而分子（或分母）變到分母（或分子），顯示了

無(wú)限相加的級(jí)數(shù)=有限和

的可視化或構(gòu)造性，達(dá)到徹底明白. 反之，教科書(shū)教學(xué)生方法，屬于存在性，看不見(jiàn)無(wú)限怎樣變到有限，被蒙住了眼睛.

不夠明白. 所以，構(gòu)造性方法，0.9·，比起存在性方法，ε，兩者

看似等價(jià)（容易證明或一道習(xí)題）但不等效.

由過(guò)程看不清變到可視化，由屬于存在性變到構(gòu)造性. 我們建議以0.9·消除ε投下的陰影.

習(xí)題或案例 舉一反三，如果每日取走剩下長(zhǎng)度的10%，或90%，結(jié)果又如何，讓數(shù)據(jù)說(shuō)話.

級(jí)數(shù)只是微積分求高的手段，目的還要回到求面積與弧長(zhǎng). 下講先求弧長(zhǎng).

第二講 山坡求長(zhǎng)與求高：一回事

微積分專業(yè)爬山故事：坡度+坡長(zhǎng)+坡高

（后者乃爬山最關(guān)心的三要素，例如坡度（或陡度），它關(guān)系到腿部的承受力）.當(dāng)山坡是直的， 那就是三角測(cè)量： 求斜率，并用之測(cè)量斜邊長(zhǎng)及高.

人民日?qǐng)?bào)（1997，8，6）

這里有故事：樹(shù)有多高？ 直接測(cè)量：砍樹(shù)或爬樹(shù)；間接測(cè)量，利用公式：樹(shù)高=斜率底邊長(zhǎng). 所以斜率可以代替砍樹(shù)或爬樹(shù).

那么，當(dāng)山坡是曲的，

如何也用斜率來(lái)測(cè)量坡長(zhǎng)與坡高？說(shuō)來(lái)話長(zhǎng). 我們不滿足于推導(dǎo)或證明公式，從頭到尾側(cè)重于暴露思想活動(dòng)，或如何思考.

因?yàn)樽袷貏?chuàng)作路線圖，先有思想，再預(yù)測(cè)結(jié)果，然后證明，

才能胸有成竹，事半功倍，甚或帶來(lái)快速證明.

先問(wèn)如何量坡長(zhǎng)？有沒(méi)有一個(gè)計(jì)算公式？

我們熟悉的，量坡長(zhǎng)的自然且簡(jiǎn)單的方法，就是一步一步使用切線長(zhǎng)若用割線，涉及曲線上兩點(diǎn). 切線只涉及曲線一點(diǎn)的性質(zhì).來(lái)量.

細(xì)說(shuō)如下：由于山是立體圖形，先簡(jiǎn)化成兩山之間纜繩求長(zhǎng)，于是變成了平面圖.

我是近視眼，看不到這繩長(zhǎng). 這時(shí)只能化整為零，去求一小段的繩長(zhǎng).

化整為零

但每一段再小，也還是曲邊三角形，并不是直邊三角形. 所以又只能化曲為直，例如按與它“最近”或“相切”（嚴(yán)格定義以后再說(shuō)）的直角三角形來(lái)求斜邊長(zhǎng)，或切線長(zhǎng)

化曲為直

先想到，隨著分點(diǎn)加多，或細(xì)分下去，切線長(zhǎng)應(yīng)該跟曲邊三角形的小坡長(zhǎng)相接近. 當(dāng)使用比例表示，則兩者之比應(yīng)該接近于1. 進(jìn)一步想到，比例應(yīng)該在加9

切線長(zhǎng)小坡長(zhǎng)=0.999….

同理，當(dāng)分子與分母各自相加，應(yīng)該也有

所有切線長(zhǎng)相加總坡長(zhǎng)=0.999….

這里，前一個(gè)是關(guān)鍵假設(shè)（曲線可求長(zhǎng)），后一個(gè)是自然推論，有快速證明（反證法，只有兩行，留作習(xí)題）.所以說(shuō)，先想好再證明，有的放矢，加快速度.

以上是山坡求長(zhǎng)的思想活動(dòng)與快速證明.

回到上面的公式：比例取0.999…是什么意思？意即每當(dāng)分點(diǎn)多加幾個(gè)，比例就多加一個(gè)9. 進(jìn)一步說(shuō)，無(wú)論要加多少9，都可以做的到，只要分點(diǎn)足夠多. 所以，當(dāng)分點(diǎn)加多，切線條隨之加多，比例最終出現(xiàn)，從而分子變到分母，看清了無(wú)限等式

無(wú)限多條切線長(zhǎng)相加定義總坡長(zhǎng)

的過(guò)程或構(gòu)造，達(dá)到徹底明白.

習(xí)題或案例 求單位圓周長(zhǎng)

（過(guò)剩近似）

圓周長(zhǎng)n長(zhǎng)切線長(zhǎng)相加=xtanθ=0.999…，

此處切線長(zhǎng)是過(guò)剩近似（tanθ≥弧長(zhǎng)）. 但圖1的切線長(zhǎng)是不足近似（≤弧長(zhǎng)），稍有不同. 后者才有一般性（當(dāng)我們跳出圓這一特殊曲線），這時(shí)保持關(guān)鍵性假設(shè)