胡志剛， 鄭秋白

（1. 河南科技學(xué)院機(jī)電學(xué)院，河南 新鄉(xiāng)453003；2. 駐馬店市宇暢路橋養(yǎng)護(hù)工程有限公司，河南 駐馬店 463000）

柱錐面交線研究

胡志剛1， 鄭秋白2

（1. 河南科技學(xué)院機(jī)電學(xué)院，河南 新鄉(xiāng)453003；2. 駐馬店市宇暢路橋養(yǎng)護(hù)工程有限公司，河南 駐馬店 463000）

論文就相交切面型回轉(zhuǎn)面中的圓柱、圓錐面交線的計(jì)算進(jìn)行詳細(xì)探討，對(duì)不同輸入?yún)?shù)下交線產(chǎn)生的結(jié)果進(jìn)行分析，為 CAD中錐柱求交的部分提供一種有效的算法基礎(chǔ)。給出了圓柱、圓錐表面交線存在的判別式，對(duì)交線在特殊位置下存在的參數(shù)條件、不同交線數(shù)量及形態(tài)特點(diǎn)進(jìn)行了解析和幾何分析，對(duì)一般位置下圓柱、圓錐面存在交線的特殊情況，即表面切點(diǎn)的計(jì)算進(jìn)行了方法討論；提供了相交圓柱、圓錐表面及其交線參數(shù)化繪圖的程序設(shè)計(jì)思路和所涉及到的一些關(guān)鍵問(wèn)題的處理方法，應(yīng)用程序以對(duì)話框輸入初始參數(shù)，能實(shí)現(xiàn)自動(dòng)繪制圓柱、圓錐面及其交線多面投影視圖、尺寸標(biāo)注及將主要尺寸、參數(shù)及交線的坐標(biāo)數(shù)據(jù)寫入數(shù)據(jù)文件。

回轉(zhuǎn)面；交線；參數(shù)方程；繪圖

在工程設(shè)計(jì)及開(kāi)發(fā) CAD/CAM應(yīng)用程序的過(guò)程中，幾何體模型設(shè)計(jì)是一個(gè)極其重要的基礎(chǔ)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)之一，構(gòu)成的幾何體表面主要有規(guī)則曲面、非規(guī)則曲面和自由曲面等類型，規(guī)則曲面中的切面型回轉(zhuǎn)曲面是工程設(shè)計(jì)中除了平曲面之外應(yīng)用最多的曲面類型，錐面和柱面又是其典型的代表[1]。幾何體表面交線的分析與表達(dá)是模型設(shè)計(jì)中比較難以處理的問(wèn)題之一，相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)曲面之間交線的構(gòu)建、實(shí)體建模中對(duì)回轉(zhuǎn)面交線的分段取舍和特點(diǎn)分析已有較多的討論，在組合兩個(gè)包含切面型回轉(zhuǎn)曲面為主要表面的基本實(shí)體模型時(shí)，如何根據(jù)其尺寸參數(shù)和相對(duì)位置參數(shù)判斷有無(wú)交線產(chǎn)生，如何準(zhǔn)確地繪制切面型回轉(zhuǎn)曲面之間的交線，交線的數(shù)目和形態(tài)如何，如何處理形成封閉交線的兩段曲線在起訖點(diǎn)的連接等問(wèn)題，成為幾何建模和視圖表達(dá)的關(guān)鍵[2-11]，相關(guān)文獻(xiàn)中涉及較少。建立基本幾何形體表面和其交線的數(shù)學(xué)定義模型時(shí)，應(yīng)分別在各自基本幾何體上建立固連的坐標(biāo)系，以一個(gè)基本幾何體及其坐標(biāo)系為主形體和主坐標(biāo)系，其余幾何體及其固連的坐標(biāo)系可以通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)等幾何變換達(dá)到任意指定位置。當(dāng)每個(gè)坐標(biāo)系和其固連的幾何體的相對(duì)位置不同，其數(shù)學(xué)描述也會(huì)不同，但結(jié)果是一致的，在文獻(xiàn)[4,9-14]中已有相應(yīng)地描述。在切面型回轉(zhuǎn)面的建模過(guò)程中，根據(jù)特殊幾何條件建模以及交線的產(chǎn)生條件、形態(tài)特點(diǎn)、演變及數(shù)目等在目前的文獻(xiàn)中雖有所分析[4,10,12,15]，但缺乏較為全面地描述。本文以切面型曲面中最常見(jiàn)的圓柱面和圓錐面為例，對(duì)其交線的數(shù)學(xué)描述、初始參數(shù)與交線的形態(tài)特點(diǎn)，產(chǎn)生交線的臨界參數(shù)及計(jì)算方法給出了特殊情況下的分析，并對(duì)一般位置下取得產(chǎn)生交線的臨界參數(shù)從方法上進(jìn)行了討論，同時(shí)開(kāi)發(fā)一個(gè)參數(shù)化建模與繪圖的應(yīng)用程序，實(shí)現(xiàn)形體與交線的正交投影視圖的繪制，對(duì)通過(guò)輸入不同參數(shù)后運(yùn)行該程序可以顯示不同的結(jié)果，對(duì)交線特點(diǎn)進(jìn)行分析對(duì)比和結(jié)果驗(yàn)證，可為基于交線形態(tài)特點(diǎn)的幾何形體的設(shè)計(jì)和創(chuàng)建提供依據(jù)。

1 回轉(zhuǎn)曲面交線數(shù)學(xué)模型的建立

圓柱面與圓錐面相交，坐標(biāo)系的選擇及初始參數(shù)不同，圓柱、圓錐面及其交線的數(shù)學(xué)表達(dá)式也不同，相應(yīng)的圖形結(jié)果也會(huì)不一樣；例如，圓錐定義的初始參數(shù)為底圓直徑和頂點(diǎn)到底圓的高度，定義圓錐的坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)位于底圓中心點(diǎn)，Z軸通過(guò)頂點(diǎn)，可以得到其圓錐面及交線的表達(dá)式[13,15]；也可以錐頂角為初始參數(shù)，以錐頂點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，Z軸與圓錐面軸線共軸建立坐標(biāo)系。如何選擇要根據(jù)應(yīng)用程序所達(dá)到的目標(biāo)和實(shí)際應(yīng)用而定，本設(shè)計(jì)以顯示完整的交線為主要目的，故圓錐面定義的坐標(biāo)系和初始參數(shù)設(shè)置選擇后者。

分別在圓錐面Ⅰ和圓柱面Ⅱ上建立兩個(gè)笛卡爾坐標(biāo)系，設(shè)圓錐定義坐標(biāo)系為O-XYZ，坐標(biāo)原點(diǎn)位于圓錐頂點(diǎn)O，Z軸與圓錐軸線共軸，向上為正方向；圓柱定義坐標(biāo)系為 O1-X1Y1Z1，原點(diǎn)在圓柱軸線上，Y1與圓柱軸線重合，右為正方向；當(dāng)兩者處于一般位置（即圓錐面和圓柱面軸線為異面直線）時(shí)，相當(dāng)于將圓柱面及其O1-X1Y1Z1坐標(biāo)系從與O-XYZ坐標(biāo)系重合的位置，先圍繞X1（或X）旋轉(zhuǎn)β角度，再分別沿著X、Z軸移動(dòng)Δx和Δz而得到，此時(shí)Δz一般應(yīng)為負(fù)值，X和X1方向相同，圓柱面直徑為d，圓錐面錐頂角為Φ，如圖1所示。

圖1 相交圓柱體、圓錐體、坐標(biāo)系及基本參數(shù)

圓錐面Ⅰ的方程為：

其下半圓錐面參數(shù)方程為：

其中，θ為自O(shè)-XYZ坐標(biāo)系原點(diǎn)O到圓錐面上任一點(diǎn)P在XY坐標(biāo)面上的投影連線op與X軸的夾角如圖1所示。且0≤θ≤3 60°，- ∞≤z≤0，0°＜Φ＜180°

圓柱面Ⅱ方程為：

其參數(shù)方程為：

其中，t為圓柱面上任一點(diǎn)的半徑線在O1-X1Y1Z1坐標(biāo)系 X1Z1坐標(biāo)面上的投影與Z1軸的夾角，且0° ≤ t≤ 3 60°。

兩個(gè)坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換公式如下：

在O-XYZ坐標(biāo)系中定義的交線參數(shù)方程為：

將式(1)解出的 x1和 z1代入式(2)可得出交線在O-XYZ坐標(biāo)系中的表達(dá)式為：

其中：

是否存在表面交線要根據(jù)式(3)中z坐標(biāo)是否存在，設(shè) Δ =B2-4 AC，Δ ≥ 0 時(shí)，z有兩個(gè)不相等的實(shí)值，有交線存在，即分別對(duì)應(yīng)兩段交線上的兩個(gè)點(diǎn)，當(dāng)Δ =0 時(shí)，兩個(gè)點(diǎn)重合，即兩段交線形成的一條封閉空間曲線的分界點(diǎn)。將式(4)代入Δ= B2-4 AC 得到：

可以看出，該式是一個(gè)關(guān)于θ 的高次三角函數(shù)多項(xiàng)式，對(duì)于Δ =0 的求解，可以采用數(shù)值解法求出對(duì)應(yīng)的θ 值。對(duì)于β 處于特殊角度時(shí)可以直接求解。當(dāng)β=0時(shí)，兩切面型表面軸線垂直：

當(dāng)β=90°時(shí)，兩軸線平行或共線：

2 程序設(shè)計(jì)

用 Autolisp語(yǔ)言進(jìn)行程序設(shè)計(jì)開(kāi)發(fā)一個(gè)名為cone_cyl_intersection的參數(shù)化繪圖命令?？梢詫?shí)現(xiàn)在指定的繪圖起點(diǎn)繪制相交圓柱面、圓錐面的多面正投影視圖、尺寸標(biāo)注，還包括原始輸入尺寸、參數(shù)和產(chǎn)生交線的關(guān)鍵參數(shù)、界定不同交線形態(tài)的參數(shù)及交線數(shù)據(jù)等自動(dòng)寫入一個(gè)Excel文件中[2,16]。繪圖部分程序設(shè)計(jì)框圖如圖2所示。

圖2 三視圖繪制的程序框圖

2.1 交線的完整顯示方法

能否在視圖中完整顯示交線的投影與指定的圓錐面高度h有關(guān)，其必須大于交線上最低點(diǎn)的z坐標(biāo)的絕對(duì)值，即。在本設(shè)計(jì)中，取h等于和圓柱直徑d中的最大值。

2.2 繪制交線的坐標(biāo)變換

根據(jù)式(3)可以計(jì)算出基于圓錐面坐標(biāo)系O-XYZ的交線上點(diǎn)的坐標(biāo)，但是，要實(shí)現(xiàn)在AutoCAD構(gòu)造平面上繪制交線的多面投影視圖，必須把三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成當(dāng)前用戶坐標(biāo)系的二維坐標(biāo)。設(shè)交線上某一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x, y, z)，AutoCAD當(dāng)前用戶坐標(biāo)系為O′-X′Y′Z′，指定繪圖起始點(diǎn)（在主視圖上）的坐標(biāo)為，俯視圖與繪圖起始點(diǎn)的距離為 l，左視圖與繪圖起始點(diǎn)的距離為 m，其轉(zhuǎn)換公式分別為：

2.3 消除圓錐頂點(diǎn)上方的交線方法

在繪制交線時(shí)，在一些情況下圓柱面會(huì)同時(shí)和上、下圓錐面相交，可同時(shí)顯示分別位于錐頂點(diǎn)上、下兩個(gè)交線，但在一般的工程設(shè)計(jì)中，只采用下方的圓錐面及其交線，因此，在計(jì)算交線上點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，要對(duì)該點(diǎn)的z坐標(biāo)進(jìn)行判斷，只有z≤0時(shí)才執(zhí)行繪圖操作。

2.4 參數(shù)角θ步長(zhǎng)Δθ的取值

在實(shí)際繪圖時(shí)，因?yàn)閦是一個(gè)多值函數(shù)式，因此一條封閉的交線是分兩次繪制完成的，由于 Δθ不可能連續(xù)取值，造成交線起訖點(diǎn)不重合。雖然Δθ的取值越小，交線圖形的分辨率越高，曲線越光滑，起訖點(diǎn)間隙變小，但命令執(zhí)行的時(shí)間也越長(zhǎng)，本設(shè)計(jì)取Δθ= 2°，當(dāng)繪制交線接近起、訖端點(diǎn)時(shí)，程序自動(dòng)取Δθ=0.1°，最后用直線連接起、訖端點(diǎn)。

3 參數(shù)初始化與回轉(zhuǎn)面交線形態(tài)討論

從式(5)、(6)和(7)中Δ值可以判斷兩切面型回轉(zhuǎn)曲面的交線位置及形態(tài)，特別是，當(dāng) Δ=0時(shí)，從求解的cosθ的值可以判斷交線的數(shù)量和交線存在的θ值域，cosθ為單值時(shí)，存在一條不包含錐頂點(diǎn)的封閉交線；cosθ為二值時(shí)，存在兩條不包含錐頂點(diǎn)的封閉交線；Δ>0不隨θ改變時(shí)，交線是兩條包含錐頂點(diǎn)的封閉交線。由于兩切面型回轉(zhuǎn)面軸線處于一般位置時(shí)，Δ=0是關(guān)于cosθ的高次方程，只能通過(guò)數(shù)值計(jì)算的方法求解，故下面只對(duì)式(5)、(6)對(duì)應(yīng)的特殊狀況進(jìn)行交線的分析，對(duì)一般位置給出分析方法和進(jìn)行幾何及實(shí)例分析。加載命令定義程序，并執(zhí)行程序命令后，根據(jù)輸入的參數(shù)不同，圖形將反映出各種相對(duì)位置關(guān)系和對(duì)應(yīng)的交線形狀[4]，以此對(duì)幾何和解析分析兩方面進(jìn)行程序結(jié)果的驗(yàn)證。

3.1 相交特殊情況

包括圓錐、圓柱面軸線共軸，平行與正交等。

3.1.1 共軸或軸線平行

圖3 軸線平行時(shí)的交線

3.1.2 軸線正交

此時(shí)， β =0°。根據(jù)式(6)，當(dāng)Δ≥0時(shí)存在交線，特別是，當(dāng) Δ = 0時(shí)，有：

以下從幾何角度分析其交線情況：

圖4 軸線正交時(shí)的交線

圖5 圓柱面過(guò)錐頂點(diǎn)的交線

圖6 圓柱面切于圓錐面素線的兩條交線

圖7 圓柱面切于圓錐面素線時(shí)的豎8字形交線

圖8 圓柱面切于圓錐面素線時(shí)的橫8字形交線

3.2 相交一般情況

兩軸線以一般角度相交或者是異面直線時(shí)，可以無(wú)交線或者交于一條或兩條封閉的交線。當(dāng)兩個(gè)回轉(zhuǎn)面公切于一個(gè)平面，并處于切平面異側(cè)時(shí)為外切，處于同側(cè)時(shí)為內(nèi)切。確定兩個(gè)曲面內(nèi)、外切點(diǎn)受圓柱面直徑d、圓錐頂角Φ、x方向位移Δx 、z方向位移 Δ z 以及兩軸線夾角等多個(gè)參數(shù)的影響，設(shè)前3個(gè)參數(shù)不變，當(dāng)兩曲面相切時(shí)，若給出Δx 的值時(shí)，β的數(shù)值也就確定了，且內(nèi)、外切點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的θ 也將確定，此時(shí)設(shè)內(nèi)、外切點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的β=βet，當(dāng)時(shí)，0≤β＜βet或π-βet＜β≤π時(shí)則無(wú)交線；當(dāng)時(shí)，βet＜β＜π-βet時(shí)有兩條封閉的交線，特別是，當(dāng)β=βet或 β=π-βet時(shí)，兩條封閉交線有一個(gè)共點(diǎn)。計(jì)算βet可以通過(guò)求解一般位置下圓柱和圓錐表面的共切平面得到。以下是幾種常見(jiàn)的交線實(shí)例：

圖9 Δx=35, Δz=40, β=15°時(shí)的交線三視圖

取較大數(shù)值時(shí)，交線是一條不包圍錐頂點(diǎn)的封閉曲線或者無(wú)交線，取較小值時(shí)，交線是兩條包圍錐頂點(diǎn)的封閉曲線，如圖 10所示，初始參數(shù)為：d=100，Φ=45°,Δ x= 10,Δz= 75,β=25°。

圖10 Δx=10, Δz=75, β=25°時(shí)的交線三視圖

圖11 Δx=-10, Δz=150, β=150°時(shí)的交線三視圖

通過(guò)詳細(xì)分析交線狀態(tài)創(chuàng)建圓柱、圓錐相交的形態(tài)圖譜，并對(duì)每種形態(tài)圖找到對(duì)應(yīng)出初始輸入尺寸和參數(shù)，以便設(shè)計(jì)和繪圖時(shí)有針對(duì)性的應(yīng)用[17]。

4 結(jié) 論

通過(guò)對(duì)交線產(chǎn)生、交線的分段點(diǎn)、數(shù)目及與錐頂點(diǎn)的位置關(guān)系相關(guān)的臨界參數(shù)的分析，可以在建模中明確回轉(zhuǎn)體的相對(duì)位置及表面交線的形態(tài)，準(zhǔn)確地構(gòu)造切面型回轉(zhuǎn)體為基本形體的建模奠定基礎(chǔ)，同時(shí)可以在應(yīng)用程序中初始化參數(shù)數(shù)據(jù)，為應(yīng)用程序的功能擴(kuò)展提供依據(jù)。本文是以圓錐面及其固連的坐標(biāo)系 O-XYZ為參照來(lái)定義圓柱面及其固連坐標(biāo)系O1-X1Y1Z1的位置，其一般位置可以通過(guò)將圓柱及其固連坐標(biāo)系圍繞X軸旋轉(zhuǎn)一定角度，并分別沿著Z軸和X軸移動(dòng)一定距離而實(shí)現(xiàn)，因此不需要使其再圍繞Y和Z軸旋轉(zhuǎn)及沿著Y軸平移的變換，從而簡(jiǎn)化了坐標(biāo)點(diǎn)的計(jì)算量和程序設(shè)計(jì)。

[1] Bertoline G R, Wiebe E N, Miller C L. Fundamentals of graphics communication [M]. Boston: WCB/McGraw-Hill, 1998: 225-283.

[2] 胡志剛, 鄭秋白. 相交圓柱表面展開(kāi)參數(shù)化繪圖命令的Lisp二次開(kāi)發(fā)[J]. 河南科技學(xué)院學(xué)報(bào), 2014, 42(5): 66-71.

[3] Krishnan S, Manocha D. An effcient surface intersection algorithm based on lower dimensional formulation [J]. ACM Transactions on Graphics, 1997, 16(1): 74-106.

[4] Miller J R. Geometric approaches to nonplanar quadric surface intersection curves [J]. ACM Transactions on Graphics, 1987, 6(4): 274-307.

[5] 谷艷華, 侯洪生, 楊得軍, 等. 軸線相交的柱錐曲面交于平面曲線的理論探索[J]. 工程圖學(xué)學(xué)報(bào), 2006, 27(4): 125-129.

[6] Miller J R. Analysis of quadric-surface-based solid models [J]. IEEE Computer Graphics & Applications, 1988, 8(1): 28-42.

[7] Chionh E W, Goldman R N, Miller J R. Using multivariate resultants to find the intersection of three quadric surfaces [J]. ACM Transactions on Graphics, 1991, 10(4): 378-400.

[8] 張曉東, 王園宇, 郝鵬飛, 等. 交線及其展開(kāi)曲線的方程構(gòu)建方法的研究[J]. 機(jī)械設(shè)計(jì)與研究, 2008, 24(2): 21-24.

[9] 谷艷華, 于湘慧, 侯洪生, 等. 關(guān)于軸線相交的兩圓錐相貫時(shí)最右點(diǎn)的解析分析[J]. 東北師大學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2006, 38(4): 26-30.

[10] 劉 敏, 林 犀, 馮 涓. 柱錐斜交相貫線解析性質(zhì)分析與特殊點(diǎn)圖解方法[J]. 圖學(xué)學(xué)報(bào), 2014, 35(5): 682-689.

[11] 谷艷華, 侯洪生, 張秀芝. 圓柱和圓錐相交時(shí)左側(cè)相貫線上最右點(diǎn)的解析證明與圖解[J]. 工程圖學(xué)學(xué)報(bào), 2010, 31(4): 146-150.

[12] Kahl F. Critical configurations for projective reconstruction from multiple views [J]. International Journal of Computer Vision, 2007, 71(1): 5-47.

[13] 侯愛(ài)民. 偏斜交圓柱圓錐表面展開(kāi)圖計(jì)算機(jī)繪制數(shù)模原理[J]. 機(jī)械管理開(kāi)發(fā), 2011, 121(3): 197-198.

[14] 高麗華. 相交圓柱與圓錐表面展開(kāi)圖的計(jì)算機(jī)繪制[J].機(jī)械設(shè)計(jì)與制造工程, 2001, 30(5): 45-46.

[15] 張玉蘭, 智艾娣. 圓柱圓錐正交相貫的數(shù)學(xué)模型及其交線畫法[J]. 數(shù)學(xué)實(shí)踐與認(rèn)識(shí), 2009, 39(22): 185-189.

[16] 胡志剛. 大型橢圓形封頭放樣圖參數(shù)化繪圖的Lisp實(shí)現(xiàn)[J]. 河南科技學(xué)院學(xué)報(bào), 2013, 40(5): 53-57.

[17] 儲(chǔ) 珺, 高滿屯. 用形態(tài)圖方法建立圓柱與圓錐相貫圖譜[J]. 機(jī)械科學(xué)與技術(shù), 2003, 22(1): 63-65.

Research on Intersections of Cone and Cylinder

Hu Zhigang1, Zheng Qiubai2
(1. School of Mechanical and Electrical Engineering, Henan Institute of Science and Technology, Xinxiang Henan 453003, China; 2. ZhuMadian Yuchang Road and Bridge Maintenance Corporation Ltd, Zhumadian Henan 463000, China)

This paper aims is to discuss the intersections determination of two plane tangent convolutes, a cylinder and a cone, and to analyze different intersection results under different parameters entry, so as to deliver a kind of effective mathematical basis for CAD intersection construction. For a cylinder and a cone, the existence-judgment equation of intersection lines is given. It is also analyzed that intersection existence conditions, numbers and shape properties in both parametric formulas and geometry at special spatial positions, while the method discussion was made of getting exact tangent point of two surfaces at normal spatial position. The structural diagram is delivered of parametric drawing program of multiview, some processing methods coping with several key problems of drawing intersection curve are listed, too. Different intersection lines resulting in connection with corresponding parameters entry are analyzed. The implementation has the functions of multiview drawing, dimensioning and writing main parameters and coordinate data to a data file for intersection lines.

surface of revolution; intersection line; parametric equations; drawing

TP 391.7

A

2095-302X(2015)05-0671-07

2015-04-01；定稿日期：2015-06-10

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51375149)

胡志剛(1962-)，男，江西進(jìn)賢人，副教授，學(xué)士。主要研究方向?yàn)闄C(jī)械設(shè)計(jì)、CAD及工程圖學(xué)。E-mail：huzhg62@sina.com