孫麗娟

【考點介紹】

1.導數(shù)與函數(shù)單調性、極值、最值的直接應用.

2.交點與根的分布.

3.不等式證明：（1）作差證明不等式；（2）變形構造函數(shù)證明不等式；（3）替換構造不等式證明不等式.

4.不等式恒成立求字母范圍（“兩分法”）：（1）恒成立之最值的直接應用；（2）恒成立之分離參數(shù)；（3）恒成立之討論字母范圍.

5.導數(shù)與函數(shù)性質的綜合運用.

6.導數(shù)與三角函數(shù)結合.

【常用結論記憶】

1.sin x

2.ex>x+1，x>0.

3.x>ln（x+1），x>0.

4.ln x0.

【例題講解】

（一）導數(shù)與函數(shù)單調性、極值、最值的直接應用

（最值間接應用）已知二次函數(shù)g（x）對？坌x∈R都滿足g（x-1）+g（1-x）=x2-2x-1，且g（1）=-1，設函數(shù)f（x）=g（x+ ）+mln x+ （m∈R，x>0）.

（1）求g（x）的表達式.

（2）當m=e時，求曲線f（x）在點（e，f（x））處的切線方程及函數(shù)f（x）的單調區(qū)間.

（3）若？堝x∈R+，使f（x）<0成立，求實數(shù)m的取值范圍.

（4）若x∈（0，+∞），f（x）≤0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

（5）設1

（6）若對任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求實數(shù)m的取值范圍.

（二）交點與根的分布

（交點個數(shù)與根的分布）已知x=3是函數(shù)f（x）=aln（1+x）+x2-10x的一個極值點.

（1）求a.

（2）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間.

（3）若直線y=b與函數(shù)y=f（x）的圖象有3個交點，求b的取值范圍.

（4）已知函數(shù)g（x）=f（x）-16ln（1+x）- x3+（m2+9）x有三個互不相同的零點0、x1、x2，且x1f（1）恒成立，求m的取值范圍.

（三）不等式的證明（作差法、變形構造函數(shù)法、替換構造函

數(shù)法）

（最值、作差、變形構造函數(shù)、替換構造函數(shù)）已知函數(shù)f（x）=

ln（x+1）-x.

（1）求函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間.

（2）若x>-1，求證：1- ≤ln（x+1）≤x.

（3）已知函數(shù)g（x）=（a+1）f（x-1）+ax2+x，設a<-1，如果對任意x1，x2∈（0，+∞），g（x1）-g（x2）≥4x1-x2，求a的取值范圍.

（4）證明：1+ + +…+ >ln（n+1）> + +…+ + .

（四）不等式恒成立求字母范圍

1.（直接法）已知函數(shù)f（x）=x+ +b（x≠0），其中a，b∈R.

（1）若曲線y=f（x）在點P（2，f（2））處切線方程為y=3x+1，求函數(shù)f（x）的解析式.

（2）討論函數(shù)f（x）的單調性.

（3）若對于任意的a∈[ ，2]，不等式f（x）≤10在[ ，1]上恒成立，求b的取值范圍.

2.（分離常數(shù)，二階導數(shù)）已知函數(shù)f（x）=ex- -ax-1（其中a∈R，

e為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）當a=0時，求曲線y=f（x）在（0，f（0））處的切線方程.

（2）當x≥1時，若關于x的不等式f（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

（3）當x≥0時，若關于x的不等式f（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

3.（分離常數(shù)）已知函數(shù)f（x）= （x>0）.

（1）試判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調性并證明你的結論.

（2）若f（x）≥ 恒成立，求整數(shù)k的最大值.

（3）求證：（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]>e2n-3.

4.（分離常數(shù)，取對數(shù)）已知函數(shù)f（x）=ln2（1+x）- .

（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間.

（2）若不等式（1+ ）n+a≤e對任意的n∈N*都成立（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），求a的最大值.

5.（分離參數(shù)，分類討論）已知函數(shù)f（x）= + 在點（1，

f（1））處的切線方程為x+2y-3=0.

（1）求a，b的值.

（2）如果當x>0，且x≠1時，f（x）> + ，求k的取值范圍.

（五）導數(shù)與函數(shù)的綜合應用

已知函數(shù)g（x）=ax2-2ax+1+b（a≠0，b<1），在區(qū)間[2，3]上有最大值4，最小值1，設f（x）= .

（1）求a，b的值.

（2）不等式f（2x）-k·2x≥0在x∈[-1，1]上恒成立，求實數(shù)k的范圍.

（3）方程f（2x-1）+k（ -3）=0有三個不同的實數(shù)解，求實數(shù)k的范圍.

（六）導數(shù)與三角函數(shù)結合

已知函數(shù)f（x）=x，函數(shù)g（x）=λf（x）+sin x是區(qū)間[-1，1]上的減函數(shù).

（1）求λ的最大值.

（2）若g（x）

（3）討論關于x的方程 =x2-2ex+m的根的個數(shù).

編輯 韓 曉