鄧京鳳

摘 要：2015年全國卷Ⅰ高考文科數(shù)學最后一題考查的問題主要有兩個方面：含參單調性及零點問題；含參不等式證明問題.2015年北京文科數(shù)學考查了考點：導數(shù)的運算；利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性；利用導數(shù)求函數(shù)的極值和最值；函數(shù)零點問題.考查了學生對導數(shù)的掌握水平.下面就從兩道例題來談談文科數(shù)學中導數(shù)題型中的大題教學.

關鍵詞：文科；導數(shù)；函數(shù)；教學

一、高考題型解析

1.[2015年全國卷I文科（21）題]設函數(shù)f（x）=e2x-alnx.（1）討論f（x）的導函數(shù)f′（x）零點的個數(shù)；（2）證明：當a>0時，f（x）≥2a+aln .

解析：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），f ′（x）=2e2x- （x>0）.當a≤0時，f ′（x）>0，f ′（x）沒有零點；當a>0時，因為e2x單調遞增，- 單調遞增，所以f′（x）在（0，+∞）單調遞增.又f ′（a）>0，當b滿足00時，f ′（x）存在唯一零點.（2）由（1）可設f ′（x）在（0，+∞）的唯一零點為x0，當x∈（0，x0）時，f ′（x）<0；當x∈（x0，+∞）時，f ′（x）>0.故f（x）在（0，x0）單調遞減，在（x0，+∞）單調遞增，所以當x=x0時，f（x）取得最小值，最小值為f（x0）由于2e2 - =0，所以f（x0）= +2ax0+aln2≥2a+aln .故當a>0時，f（x）≥2a+aln .

小結：本題主要考查了導數(shù)含參單調性及零點問題、含參不等式證明問題.此題中第（1）問求函數(shù)f（x）的導函數(shù)f ′（x）的零點個數(shù)問題，所以先求出f（x）的定義域，然后對a進行分類討論；第二問通過函數(shù)的單調性和零點以及均值不等式的應用得以證明.在高考題型中常見證明不等式問題也常常構造函數(shù)來證明不等式問題.

2.[2015年北京文科]設函數(shù)f（x）= -klnx，k>0.

（1）求f（x）的單調區(qū)間和極值；

（2）證明：若f（x）存在零點，則f（x）在區(qū)間（1， ]上僅有一個零點.

解析：（1）f ′（x）=x- = ，由f ′（x）=0解得x= .由f ′（x）<0

得單調遞減區(qū)間是（0， ），由f ′（x）>0得單調遞增區(qū)間是（ ，+∞）；故f（x）在x= 取得極小值為f（ ）= （2）由（1）知，f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的最小值f（ ）= .因為f（x）存在零點，所以 ≤0，從而k≥e.（1）當k=e時，

f（x）在區(qū)間（1， ]上單調遞減，且f（ ）=0，所以x= 是

f（x）在區(qū)間（1， ]上的唯一零點；（2）當k>e時，f（x）在區(qū)間（0， ）上單調遞減，且f（1）= >0，f（ ）= <0，所以f（x）在區(qū)間（1， ]上僅有一個零點.綜上可知，若f（x）存在零點，則

f（x）在區(qū)間（1， ]上僅有一個零點.

小結：導數(shù)的運算、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性、利用導數(shù)求函數(shù)的極值和最值、函數(shù)零點問題，考查了考生綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力以及計算能力，同時也考查了函數(shù)與方程思想、化歸與轉化思想，通過轉化導數(shù)方程求解原函數(shù)單調性及零點問題.

二、規(guī)律總結

導數(shù)題型教學歸納總結：（1）求極值、最值時，要求步驟規(guī)范，含參數(shù)時，要分類討論參數(shù)的范圍.（2）若已知函數(shù)單調性求參數(shù)范圍時，隱含恒成立思想（先求函數(shù)定義域）.（3）利用導數(shù)方法證明不等式f（x）>g（x）在區(qū)間D上恒成立的基本方法是構造函數(shù)

h（x）=f（x）-g（x），然后根據(jù)函數(shù)的單調性證明函數(shù)h（x）>0，其中一個重要技巧就是找到函數(shù)h（x）在什么地方可以等于零，這往往就是解決問題的一個突破口.

在高中文科數(shù)學教學中，研究好近幾年特別是高考命題的方向，能把高考導數(shù)考題類型把握好，對今后文科數(shù)學教學有重要的作用.對于導數(shù)問題類型的考試特別是大題甚至壓軸題都基本上是按照上面的規(guī)律總結教學，注意教學中注入不同的方法及靈活的新思維，相信在高中的導數(shù)教學中會取得突破性的進展，對于文科生拿高分也輕而易舉.

編輯 張珍珍