劉保乾

（西藏自治區(qū)組織編制信息管理中心，西藏拉薩850000）

磨光集及其應(yīng)用

劉保乾

（西藏自治區(qū)組織編制信息管理中心，西藏拉薩850000）

提出了磨光集的概念，并詳述了計(jì)算磨光集的算法和程序；討論了磨光集在發(fā)現(xiàn)不等式、三角形不等式分拆證明及在量級(jí)研究中的應(yīng)用；給出了關(guān)于R，r和s的三角形不等式的試探性分拆程序.

磨光集；Bottema軟件；agl2012程序；不等式自動(dòng)發(fā)現(xiàn)

0 引言

文獻(xiàn)[1]利用隨機(jī)數(shù)驗(yàn)證程序編寫了不等式磨光程序，即通過對(duì)一個(gè)給定的非負(fù)表達(dá)式集進(jìn)行打磨，最終達(dá)到加強(qiáng)不等式的目的.由于隨機(jī)數(shù)驗(yàn)證程序多數(shù)情況下得不到最佳系數(shù)的精確值，故文獻(xiàn)[1]中的不等式磨光器有局限性.本文通過對(duì)優(yōu)秀機(jī)器證明軟件Bottema有關(guān)確定最佳值的命令進(jìn)行修改，使不等式自動(dòng)發(fā)現(xiàn)與判定程序agl2012能夠以程序方式調(diào)用Bottema軟件，并得到最佳值，從而實(shí)現(xiàn)最佳不等式的自動(dòng)發(fā)現(xiàn).在文獻(xiàn)[1]的基礎(chǔ)上，提出了磨光集的概念，并編寫了磨光集計(jì)算程序，專題討論了磨光集的若干應(yīng)用.

1 調(diào)用Bottema軟件編程

Bottema軟件是一款十分優(yōu)秀的機(jī)器證明軟件.Bottema軟件的作用不僅僅在于它強(qiáng)大的功能，而且還在于它影響了一個(gè)研究群體----包括本文作者以及文獻(xiàn)[2]和文獻(xiàn)[3]等作者在內(nèi)（暫且不算那些校院內(nèi)專門從事機(jī)器證明研究的眾多碩士和博士），都是通過Bottema軟件的輻射和引領(lǐng)邁入機(jī)器證明之門的.在此對(duì)Bottema軟件的影響力進(jìn)行專門強(qiáng)調(diào)，不僅不多余而且十分必要，這有助于機(jī)器證明的進(jìn)一步研究，有助于Bottema軟件應(yīng)用潛力的挖掘.

以前人們對(duì)Bottema軟件的應(yīng)用，大多停留在較低的層次上，即僅僅使用了Bottema的基本功能，即以輸入指令、等待響應(yīng)的人機(jī)交互方式使用軟件，而且軟件也

沒有形成標(biāo)準(zhǔn)的有輸入?yún)?shù)和輸出參數(shù)的功能模塊.對(duì)此，筆者曾在中國不等式研究小組網(wǎng)站上建議讓有關(guān)命令設(shè)置返回值，以便于應(yīng)用程序直接調(diào)用，以獲得更高級(jí)的應(yīng)用形式.雖然目前Bottema軟件的版本已經(jīng)做了一些改進(jìn)（如判定命令xprove增加了返回值true或false），但在形成標(biāo)準(zhǔn)化模塊方面仍顯不足.在agl2012程序的應(yīng)用層面上，由于對(duì)Bottema軟件的一些功能應(yīng)用要求十分迫切，在此情況下，筆者對(duì)Bottema軟件的源程序進(jìn)行了研讀，形成了Bottema軟件的一個(gè)修改版本，現(xiàn)暫命名為Bottemap，以解決實(shí)際問題.Bottemap主要做了如下修改工作：

（1）過濾了有關(guān)打印命令，從而使應(yīng)用程序不再出現(xiàn)Bottema軟件的詳細(xì)提示信息，使運(yùn)算界面更簡潔，并提高了運(yùn)算速度；

（2）在目前的版本中，由于Bottema軟件判定三角形不等式的prove命令不是總能夠返回true或false，故用agl2012的代數(shù)化命令aptoxp將所有有關(guān)表達(dá)式代數(shù)化，統(tǒng)一用Bottema軟件的xprove命令作為證明器，因?yàn)樵诜祷刂捣矫妫瑇prove命令比prove命令更完善一些.

（3）在Bottema軟件中，用aa表示銳角三角形，為了解決銳角三角形不等式用xprove命令的判定工作，可用aptoxp將約束條件同步代數(shù)化，如用aptoxp（cmp（a^2+b^2-c^2））>=0代替條件參數(shù)aa，以使用xprove命令的統(tǒng)一格式.

（4）Bottema軟件的優(yōu)越功能之一是能夠確定最佳參數(shù)或系數(shù)（通常是給出關(guān)于最佳結(jié)果的一個(gè)方程式），其主要命令是findmax（三角形）和xmax（代數(shù)）.但這些最優(yōu)化命令均按照便于閱讀的形式輸出，沒有返回值.經(jīng)分析Bottema軟件源程序知，最佳值的最終計(jì)算結(jié)果在f3參數(shù)中，這樣將程序中的print f3（打印輸出）改為return f3，這樣就可以實(shí)現(xiàn)由程序方式得到Bottema的計(jì)算結(jié)果，這為拓展應(yīng)用創(chuàng)造了條件.

agl2012程序主要應(yīng)用了Bottema軟件的兩個(gè)功能：一是正性判定功能.由于agl2012程序自動(dòng)發(fā)現(xiàn)的結(jié)果是用隨機(jī)數(shù)驗(yàn)證程序測試的，最終要經(jīng)過證明器判定.在最終結(jié)果判定方面，Bottema軟件是優(yōu)先考慮的證明器之一.二是確定最佳系數(shù)功能.由于修改后的Bottemap程序可以直接返回計(jì)算結(jié)果（雖然只是一個(gè)關(guān)于結(jié)果的方程式），這為自動(dòng)發(fā)現(xiàn)最佳不等式創(chuàng)造了條件.

由于3次以上的方程精確根往往不容易得到，故在用agl2012程序調(diào)用由Bottema軟件計(jì)算的最佳值時(shí)，常限制在3次方程以下.為了得到惟一的符合條件的解，可結(jié)合隨機(jī)數(shù)驗(yàn)證程序進(jìn)行編程，即如果方程是一次的，則直接求解；如果是二次的，則分兩種情況：若一正一負(fù)，直接求正根；若兩個(gè)正，此時(shí)可調(diào)用隨機(jī)數(shù)驗(yàn)證程序otf直接測試取哪個(gè)根時(shí)不等式成立.

2 最簡集和磨光集

2.1 過濾掉等價(jià)的表達(dá)式

如果一些表達(dá)式，是通過對(duì)另一些表達(dá)式乘非零常數(shù)得到的，則稱這些表達(dá)式是彼此等價(jià)的.如s2-16Rr+5r2，2s2-32Rr+10r2，是彼此等價(jià)的.又如，x2+y2+z2-xy-xz-yz，（y+z-2x）2+（z+x-2y）2+（x+y-2z）2，

（y-z）2+（z-x）2+（x-y）2，也是彼此等價(jià)的.

在不等式自動(dòng)發(fā)現(xiàn)結(jié)果集中，常常有一些結(jié)果是等價(jià)或重復(fù)的，此時(shí)需要將其中等價(jià)的元素過濾掉，為此需要編寫過濾程序ngldj.ngldj的主要語句是：

其中g(shù)lxs的作用是過濾掉一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式數(shù)據(jù)集中每個(gè)元素諸項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù).

例1有數(shù)據(jù)集

試過濾掉D中的等價(jià)元素.

解在讀入agl2012程序的Maple環(huán)境中，鍵入命令ngldj（D），立即輸出：

2.2 最簡集

兩個(gè)彼此不等價(jià)的半正定表達(dá)式f和g，如果存在正數(shù)k，使不等式f≥kg成立，則稱g能夠把f拆開.

設(shè)有半正定表達(dá)式構(gòu)成的集合A，且A中的元素互不等價(jià)，用ai表示A的元素，n表示A中元素的個(gè)數(shù).如果A中的某個(gè)元素ai不能被異于自身的其它元素拆開，則稱ai為A的最簡式.所有A的最簡式全體構(gòu)成A的最簡集.現(xiàn)討論求最簡集的算法：考察測試式ei=ai-kaj（1≤i，j≤n，i≠j），對(duì)某個(gè)具體的i，當(dāng)1≤j≤n時(shí)，如果存在正數(shù)k使ei≥0成立，則將ai拋棄，否則將ai存入結(jié)果變量J中，直到i取遍不超過n的所有自然數(shù)，這樣得到的集合J就是A的最簡集，記為Z（A）.據(jù)此算法就可以編寫確定一個(gè)集合最簡集的程序ljdl.

例2在ΔABC中，確定數(shù)據(jù)集

的最簡集，其中wa，wb，wc表示三角形內(nèi)角平分線.

解對(duì)數(shù)據(jù)集T中的每兩個(gè)元素ti，tj（i，j＝1，2，3），驗(yàn)證是否存在正數(shù)k，使不等式ti-ktj>0，如果k存在，則ti即T的非最簡式，經(jīng)測試知，ti（i＝1，2，3）皆非最簡式，故Z（T）為空集.

例3在agl2012環(huán)境下，鍵入命令

很快輸出J集合的最簡集：

由量級(jí)（參閱文獻(xiàn)[4]）的定義可知，如果兩個(gè)表達(dá)式不能互相拆開，則這兩個(gè)表達(dá)式的量級(jí)是彼此獨(dú)立的.由此可知，最簡集中的元素之間的量級(jí)一定是彼此獨(dú)立的.而一個(gè)數(shù)據(jù)集中各元素的量級(jí)如果相等，則這個(gè)數(shù)據(jù)集的最簡集必是空集.

2.3 磨光集

以下敘述的算法類似于文獻(xiàn)[1]中的磨光器算法，但也有所變化.

在上面討論最簡集時(shí)，對(duì)于集合A和（1）式，如果正數(shù)k存在，則將ai拋棄了，其實(shí)，對(duì)于不等式

來說，可以借助Bottema軟件計(jì)算最佳kmax.用反證法結(jié)合量級(jí)的定義易證，E（ai-kmaxaj）是一個(gè)異于E（ai）和E（aj）的新量級(jí).由此可得到不同于最簡集的另一種算法：在不等式（1）中，對(duì)某個(gè)具體的i，當(dāng)1≤j≤n時(shí)，如果正數(shù)k存在，則計(jì)算最佳k，并將aikmaxaj存入結(jié)量變果A1中，否則將ai存入A1中，直到i取遍不超過n的所有自然數(shù)，稱這個(gè)過程為對(duì)集合A進(jìn)行了一次打磨.很顯然，還可以對(duì)A1繼續(xù)進(jìn)行打磨，如此循環(huán)，直到得到的集合中的元素?cái)?shù)目不再發(fā)生變化為止.稱最后得到的集合為集合A的磨光集，記為G（A）.顯然對(duì)磨光集進(jìn)行一次打磨將得到其自身.

在不等式（1）中，如果最佳系數(shù)kmax是一個(gè)高次方程的根，此時(shí)ai-kmaxaj將無法精確表示，在實(shí)際研究中，這種情況要舍棄，如此得到的磨光集稱為集合A的不完全磨光集.在實(shí)際編程中，當(dāng)用Bottemap軟件的xmax命令計(jì)算出最佳系數(shù)所在的方程后，判斷是否為2次以下，以得到精確表達(dá)式，這樣就可編寫出計(jì)算不完全磨光集的程序（簡稱為磨光器）.由于磨光集的實(shí)際計(jì)算很費(fèi)時(shí)，為了減少數(shù)據(jù)量，下面給出一個(gè)簡化算法，即在不等式（1）中，保證aj總在Z（A）中取值，ai總在A-Z（A）中取值，從而得到磨光器botkmgq.磨光器botkmgq的算法包括兩部分，即BOTK和BOTKMGQ.

算法BOTK：

B1.輸入一個(gè)沒有等價(jià)元素的數(shù)據(jù)集expr；

B2.計(jì)算expr的最簡集Z（exp r），并置入集合變量exa中；從expr中取掉exa，并放入變量exb中；

B3.用exb中的元素exb[i]和exa中的元素exa[j]建立不等式exb[i]-kexa[j]≥0，調(diào)用Bottema確定最佳值命令計(jì)算最佳k所在的方程，如果方程是一次式，則解出k，從而得到半正定式exb[i]-kexa[j]，將這個(gè)表達(dá)式收集在temp變量中，直到下標(biāo)i跑遍exb中的所有元素、下標(biāo)j跑遍中exa的所有元素為止.

B4.將temp與最簡集合并Z（exp r），即執(zhí)行語句temp:=temp union exa；

B5.輸出temp.

算法BOTKMGQ：

L1.輸入一個(gè)沒有等價(jià)元素的數(shù)據(jù)集ex，并將這個(gè)數(shù)據(jù)集置入變量tempb中；

L2.計(jì)算botk（tempb），并將計(jì)算結(jié)果置入變量tempa中；

L3.過濾tempa中的等價(jià)元素，即作賦值運(yùn)算tempa:=hjxs（tempa），并比較tempa和tempb集合；

L3.1如果tempa和tempb相同，則輸出tempa，停機(jī)；

L3.2如果tempa和tempb不相同，則計(jì)算botk（tempa），并將計(jì)算結(jié)果置入變量tempb中，轉(zhuǎn)向L2.

注1在BOTKMGQ算法中，過濾掉tempa中的等價(jià)元素是十分必要的，否則將會(huì)造成磨光集中的元素丟失.

例4設(shè)x，y，z≥0，LD＝{（x+y+z）3-3（x+y+z）（xy+zx+yz），（x+y+z）3-27xyz，3（x+y+z）（x2+y2+z2）-（x+y+z）3}，試求G（LD）.

則有G（LD）=G（LDD），用Bottema軟件驗(yàn)證知，有最佳不等式

化簡系數(shù)，得

例5試說明數(shù)據(jù)集

的磨光集不可精確表示出來.

解用Bottema軟件驗(yàn)證知，不等式LD[1]≥kLD[2]中的最佳k為方程

的一個(gè)實(shí)根，而這個(gè)方程的根不可精確表示，故LD的磨光集不可精確表示出來.

當(dāng)集合中的元素較多時(shí)，計(jì)算磨光集十分費(fèi)時(shí)，甚至不可能計(jì)算，此時(shí)可以考慮將集合分割為若干子集，再計(jì)算子集的磨光集.設(shè)A=A1∪A2…∪An，計(jì)算

T和G（A）是怎樣的關(guān)系很有趣.以（2）式為依據(jù)，可編寫分塊計(jì)算（部分）磨光集的程序botkmgqcut.

即使采用了分塊策略，也常常計(jì)算時(shí)間超長，而得不到最終磨光集，此時(shí)可考慮設(shè)置一些中間變量（如tempa）為全局變量，以傳出中間計(jì)算結(jié)果，這樣做，至少從發(fā)現(xiàn)新不等式的角度也是可取的.

注2由例5知，磨光集通常是不可以精確表示出來的，故平時(shí)研究所得的通常是某個(gè)集合的不完全磨光集，在不致誤解的情況下，也為了方便，通?；\統(tǒng)的稱為磨光集，而省略了“不完全”三個(gè)字.

3 磨光集的應(yīng)用

3.1 發(fā)現(xiàn)不等式

例6鍵入命令：

則輸出優(yōu)美不等式

3.2 發(fā)現(xiàn)恒等式

由于磨光集中的元素均是最簡式，故磨光集中的不等式也是（相對(duì)于數(shù)據(jù)集）最佳不等式，當(dāng)然在磨光集中也會(huì)出現(xiàn)最佳不等式的另一種形式--恒等式.

例7鍵入命令：

經(jīng)過3 767.094 s運(yùn)算，輸出兩個(gè)量級(jí)彼此獨(dú)立的多項(xiàng)式

同時(shí)，輸出5 237個(gè)恒等式.但這些恒等式中，有些是等價(jià)的（僅相差一個(gè)系數(shù)），為此需要用hjxs函數(shù)過濾，最后得到1 229個(gè)恒等式，如有優(yōu)美形式：

例8以三角形中的表達(dá)式作為數(shù)據(jù)，用磨光器程序可發(fā)現(xiàn)優(yōu)美恒等式

3.3 發(fā)現(xiàn)擴(kuò)展Si類不等式

有特殊零點(diǎn)的多項(xiàng)式歷來受到人們的關(guān)注，因?yàn)檫@類不等式往往很強(qiáng).Si類不等式（多項(xiàng)式）是文獻(xiàn)[5]定義的，其含義是：n元多項(xiàng)式（不等式）當(dāng)有n-i個(gè)變?cè)嗟葧r(shí)取值為零.為了引用方便，也為了把問題歸類，文獻(xiàn)[6]定義了擴(kuò)展Si類不等式（多項(xiàng)式），它的含義是：不僅當(dāng)變?cè)嗟葧r(shí)不等式可取到等號(hào)，而且當(dāng)變?cè)赡撤N比例關(guān)系時(shí)不等式也可取到等號(hào).由于磨光集是由最佳不等式構(gòu)成的集合，故磨光集中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)擴(kuò)展Si類不等式.

例9鍵入命令：

則運(yùn)算幾個(gè)小時(shí)后仍不見終止跡象，這時(shí)人工中斷，顯示tempa變量（即顯示中間計(jì)算結(jié)果），其中有7 000多個(gè)結(jié)果，鍵入命令：

最后輸出107個(gè)結(jié)果，其中有優(yōu)美形式：

類似可發(fā)現(xiàn)三角形中取等號(hào)條件為a=b=kc的不等式（擴(kuò)展Si類不等式），如

3.4 實(shí)現(xiàn)關(guān)于R，r和s的三角形不等式分拆證明

三角形中關(guān)于半周長s，外接圓周半徑R，內(nèi)切圓半徑r的不等式，一般利用基本不等式

和Gerretsen不等式

再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明，而且這種方法十分流行.1999年前后，江蘇的褚小光采用了一種方法，這種方法的特點(diǎn)是以不等式（3），（4）及Euler不等式

以及楊學(xué)枝不等式

為基礎(chǔ)進(jìn)行分拆證明.1999年，在江蘇蘇州召開的第二次全國不等式研究學(xué)術(shù)交流會(huì)上，褚先生曾在會(huì)議上交流過這種分拆方法，并在中國不等式研究小組內(nèi)刊《不等式研究通訊》上給出了大量的分拆例子，至此以后，這種s-R-r分拆方法普遍被采用.

在用褚小光的分拆方法證題時(shí)，常常會(huì)有這種情況：在分拆較弱的不等式時(shí)，用不等式（4）和（5）就可以完成，但在分拆較強(qiáng)的不等式時(shí)，必須借助于基本不等式（3）和楊學(xué)枝不等式（6）.這就給了我們一個(gè)暗示：要分拆證明一些不等式，還需要新發(fā)現(xiàn)一些更強(qiáng)的不等式.

在以前s-R-r分拆證明中，可見到的例子多是針對(duì)s的偶次方情形，對(duì)s的奇次方情形很少見到.文獻(xiàn)[7]指出，s的奇次方情形有獨(dú)特的證題意義，但文獻(xiàn)[7]沒有對(duì)此展開討論.實(shí)際上，利用磨光集可以部分解決這個(gè)問題，具體思路是：通過agl2012程序的自動(dòng)發(fā)現(xiàn)命令發(fā)現(xiàn)關(guān)于s-R-r的二次不等式，從而得到數(shù)據(jù)集，然后計(jì)算這個(gè)數(shù)據(jù)集的磨光集，最后以磨光集作為分拆集[8]，再用文獻(xiàn)[6]中的算法實(shí)現(xiàn)不等式的分拆證明.

例10試建立一個(gè)關(guān)于三角形中s，R，r的二次不等式分拆集.

解首先用agl2012程序的命令gc_ex（1，2，{s，R，r}）得到表達(dá)式

以ki為循環(huán)變量，建立程序，從而得到具體系數(shù)的表達(dá)式，再調(diào)用隨機(jī)數(shù)驗(yàn)證程序進(jìn)行驗(yàn)證，從而發(fā)現(xiàn)不等式.為了節(jié)約時(shí)間，并得到有理系數(shù)的不等式，可加入語句：

if has（bds，{sqrt（3）}）=false then…end if.

則經(jīng)過28 677.188 s運(yùn)算后輸出最佳不等式集F=F1∪F2，其中集合F1中是取等號(hào)條件僅為a=b=c的普通不等式，集合F2中是擴(kuò)展Si類不等式（即取等號(hào)條件為a=b=kc的不等式）.

F就是想要得到的分拆集.令人意想不到的是，分拆集F中的不等式能夠拆開Gerrsenet不等式（4）的左半部分，即有分拆式：

由于分拆單位小了，故能夠分拆的范圍擴(kuò)大了.

這樣，以F作為分拆集，按文獻(xiàn)[6]中的算法，調(diào)用文獻(xiàn)[9]中的解方程組程序，就可以得到關(guān)于R，r與s的三角形不等式的分拆命令tganyfc（一般三角形）和tgrjfc（銳角三角形）.

注3最簡式是相對(duì)于某個(gè)集合而言的，最簡集也是相對(duì)于某個(gè)集合而言的，磨光集同樣如此.當(dāng)磨光集作為分拆集出現(xiàn)時(shí)，為了解決更多的問題，相對(duì)于的那一個(gè)集合通常取的很大，事實(shí)上它是已經(jīng)認(rèn)知到的不等式的全體.

注4在實(shí)際分拆程序中，分拆集F中的元素遠(yuǎn)比這里的多，它們一方面來自于例10所述的途徑（如可將命令tgany2（-10，10）中的系數(shù)10改為更大的數(shù)，以得到更大的數(shù)

據(jù)集），另一方面，對(duì)平時(shí)研究過程中得到的關(guān)于s-R-r的二次不等式進(jìn)行積累，以得到更完備的分拆集.如果一個(gè)不等式不能夠被F中的元素拆開，則它原則上就可以放入F，成為分拆集中的元素.

注5由文獻(xiàn)[10]知，關(guān)于R，r與s的二次三角形不等式，總是可以得到人工證明的，這也是筆者選擇二次結(jié)果作為分拆集的原因.

注6為了能夠拆出任意次的關(guān)于R，r與s的三角形不等式，分拆集F中還要增加一些線性不等式，這可由復(fù)合命令botkkmgq（xhh3_3（-2，2，{R，r，s}，1，1，1，{}，0，0））完成，輸出的磨光集是，對(duì)于較弱的不等式，為了使拆分形式簡潔，也可收入Euler不等式（5），其中即是著名的W.J. Blundon不等式.

注7在構(gòu)造銳角三角形不等式的分拆集時(shí)，既要考慮收入銳角三角形不等式，也要考慮收入任意三角形不等式，除此之外，還要收入一些正的量.如對(duì)銳角三角形，考慮約束條件（b2+c2-a2）（-b2+a2+c2）（b2+a2-c2）≥0，由于

故得到一個(gè)正的量s-r-2R，這個(gè)線性表達(dá)式就要收入到銳角三角形不等式的分拆集中.

下面給出若干實(shí)際分拆的例子.

例11試證明分拆集F中的不等式g=-s2+（-4r+2R）s+r（-5r+16R）≥0.

鍵入命令tganyfc（g1，2，4），則輸出

例12筆者曾提出并證明三角形中的優(yōu)美不等式

同理，用tganyfc命令可證得不等式鏈左邊，限于篇幅，此略.

3.5 實(shí)現(xiàn)量級(jí)分拆

由于磨光集中的各元素之間的量級(jí)是彼此獨(dú)立的，故可以用其實(shí)現(xiàn)量級(jí)分拆，并發(fā)現(xiàn)新的量級(jí).

所謂量級(jí)分拆，是指對(duì)量級(jí)P，如果存在量級(jí)A和B，滿足P=A+B，且量級(jí)A和量級(jí)B彼此獨(dú)立（不分大?。?，則稱對(duì)量級(jí)P進(jìn)行了分拆，且分拆式是P=A+B.

解法1由tganyfc命令易得分拆式

給上恒等式兩邊取量級(jí)得

由于E（（R-2r）r）和E（（s2-16Rr+5r2））是兩個(gè)彼此獨(dú)立（不分大?。┑牧考?jí)，故L3的分拆式是

解法2 L3的分拆式的另一個(gè)分拆式是（這里省略了分拆過程）；

由例13可知，一個(gè)量級(jí)的分拆式是不惟一的.

例14設(shè)三角形ΔABC的三條中線是ma，mb，mc，求E（mambmc）.

解mambmc是一個(gè)正的量，而程序tganyfc只能拆非負(fù)量，如何解決？可以通過建立相應(yīng)的不等式解決.事實(shí)上，有不等式y(tǒng)=ma2mb2mc2-729r6≥0，易證

用tganyfc命令可拆得

上式兩邊取量級(jí)并化簡得（有關(guān)過程略）

從而求得E（mambmc）.比較文獻(xiàn)[12]中例6中的結(jié)果，得優(yōu)美量級(jí)恒等式

由恒等式（9），（10）可知，量級(jí)E（mambmc）一方面可以看成是非負(fù)量級(jí)

注8對(duì)正的幾何量，通過建立等腰三角形時(shí)取等號(hào)的不等式確定量級(jí)，是一個(gè)普遍且實(shí)用的方法.

例15試建立一個(gè)關(guān)于三角形R，r與s的二次量級(jí)庫.

解分四步建立：

a.要建立一個(gè)量級(jí)庫，首先要有大量的非負(fù)表達(dá)式，以便從中采集量級(jí)；其次，要保證庫中的量級(jí)不重復(fù).由于agl2012程序有豐富的不等式自動(dòng)發(fā)現(xiàn)命令，故第一個(gè)問題容易解決.而要保證量級(jí)不重復(fù)，就要設(shè)計(jì)量級(jí)過濾器gllj.程序gllj的設(shè)計(jì)要依據(jù)量級(jí)的定義編寫，即要測試量級(jí)恒等式E（a）=E（b）是否成立，只需測試不等式ak1b≥0，b-k2a≥0同時(shí)成立即可.由于在（1）式中，當(dāng)系數(shù)k最佳時(shí)，E（ei）既不同于E（ai），也不同于E（aj），即在對(duì)集合A的磨光過程中，一直在產(chǎn)生新的量級(jí)，所以在算法BOTKMGQ中，對(duì)L1步驟中的tempb變量和L3步驟中的tempa施行過濾命令gllj，并用專門的變量進(jìn)行收集，這樣就可以采集到集合A在磨光過程中產(chǎn)生的量級(jí).用La標(biāo)識(shí)這些量級(jí)集.

c.由文獻(xiàn)[11]知，如果量級(jí)P和量級(jí)Q彼此獨(dú)立，則P+Q是一個(gè)不同于P和Q的新量級(jí).故確認(rèn)La∪Lb中兩兩獨(dú)立的量級(jí)，并且求和，從而得到一個(gè)新量級(jí)集Lc.

La∪Lb∪Lc∪Ld就是所要求的量級(jí)庫，用LJ標(biāo)識(shí)這個(gè)量級(jí)庫，具體實(shí)現(xiàn)程序是mgqlj.量級(jí)庫LJ有許多應(yīng)用，限于篇幅，這里不再作討論.

[1]劉保乾.不等式的自動(dòng)發(fā)現(xiàn)原理及其實(shí)現(xiàn)[J].汕頭大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，26（2）：3-11.

[2]陳勝利，黃方劍.三元對(duì)稱形式的schur分拆與不等式的可讀證明[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2006，49（3）：491-502.

[3]姚勇.基于列隨機(jī)矩陣的逐次差分代換與正半定型的機(jī)械化判定[J].中國科學(xué)（數(shù)學(xué)），2010，40（3）:251-264.

[4]劉保乾.用對(duì)稱性和量級(jí)研究三角形中的非負(fù)對(duì)稱量[C]//楊學(xué)枝.不等式研究（第1輯）.西藏人民出版社，2000：200-222.

[5]劉保乾.類多項(xiàng)式初探[J].廣東教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，27（5）：6-13.

[6]劉保乾.多項(xiàng)式非負(fù)分拆算法的若干改進(jìn)和補(bǔ)充[J].汕頭大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，28（3）：18-28.

[7]劉保乾.不等式自動(dòng)發(fā)現(xiàn)與判定程序agl2012功能的若干拓展[J].廣東教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2014，34（5）：28-35.

[8]劉保乾.隨機(jī)數(shù)驗(yàn)證程序在多項(xiàng)式非負(fù)分拆中的應(yīng)用[J].汕頭大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，27（3）：27-37.

[9]隋振林.一個(gè)求線性方程組非負(fù)解的通用程序[J].廣東教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2014，33（3）：32-35.

[10]陳勝利.關(guān)于，與的銳角三角形不等式[C]//單墫.幾何不等式在中國.南京：江蘇教育出版社，1996：72-81.

[11]林新群.三角形中兩個(gè)非負(fù)對(duì)稱量之和的量級(jí)[J].佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，26（1）：28-31.

[12]張小明.三角形二次一階量級(jí)大小的劃分[C]//楊學(xué)枝.不等式研究（第1輯）.拉薩：西藏人民出版社，2000：223-230.

Burnishing Set and Its App lications

LIU Baoqian
（Information Management Center,Department of Organizational Information,Lasa 850000, Xizang Autonomous District,China）

The concept of burnishing set is proposed.Algorithms and programs for calculating burnishing set are detailed.The applications of burnishing set in the decomposition proofs of inequalities，triangular inequalities are discussed.The applications of burnishing set in magnitude studies are also discussed.Testing decomposition programs for triangular inequalities of R，r and s are given.

burnishing set；Bottema software；program Ag12012；automatically finding of inequalities

O 122.3

A

1001-4217（2015）02-0044-12

2014-12-15

劉保乾（1962-），男，陜西鳳翔人，西藏組織編制信息管理中心工作人員.E-mail：wshr987@163.com