張學(xué)茂

(泰州學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇 泰州225300)

不動(dòng)點(diǎn)理論是非線性分析的一個(gè)廣泛重要分支，研究不動(dòng)點(diǎn)理論一個(gè)經(jīng)典方法是利用一系列壓縮映像的不動(dòng)點(diǎn)或迭代逼近漸近非擴(kuò)張映射的不動(dòng)點(diǎn)［1］．1972 年，Goebel－kirk［2］首先引入漸近非擴(kuò)張映像的定義，并證明了T在E中有不動(dòng)點(diǎn)，諸多學(xué)者關(guān)于漸近非擴(kuò)張映像不動(dòng)點(diǎn)的逼近問(wèn)題在Hilbert 空間、一致凸空間和Banach 空間中進(jìn)行了深入研究［3－5］，其主要迭代序列有:

當(dāng)x是Hilbert 空間或一致光滑的Banach 空間，若{αn}滿足:則迭代序列具有強(qiáng)收斂性．受此啟發(fā)，在一致Gateaux 可微的Banach 空間中給出了關(guān)于漸近非擴(kuò)張映像隱式迭代序列xn=αnf(xn)+(1－αn)Tnxn，n=0，1，2，…，具有強(qiáng)收斂性，對(duì)強(qiáng)收斂的條件進(jìn)行了統(tǒng)一處理，并證明其強(qiáng)收斂于不動(dòng)點(diǎn)p∈F．完善和改進(jìn)了許多學(xué)者的相關(guān)結(jié)果．

1 預(yù)備知識(shí)

定義1［1］E是x的一個(gè)非空集合，T:E→E是一映像，則稱T為漸近非擴(kuò)張映像．如果存在一個(gè)實(shí)數(shù)列使得:

定義2［5］E是x的一個(gè)非空集合，T:E→E稱為一致L－lipschitz 映像．如?x，y∈E有‖Tnx－Tny‖≤L‖x－y‖，L＞0 時(shí)總成立．

注 若T具有序列的漸近非擴(kuò)張映像，則T是一致L－lipschitz 映像，其中

定義3［6］稱E的是x的Gateaux 可微(或光滑的)．若?x，y∈u{x∈E| |x| | = 1}，則極限都存在．

引理1［1］設(shè)E是一實(shí)Banach 空間，E*為E的對(duì)偶空間，C是E的一非空閉凸子集，R+為非負(fù)實(shí)數(shù)集，J:E→2E*，由下列定義E的正規(guī)對(duì)偶映像J(x)={f∈E*:＜x，f＞=‖x‖·‖f‖，‖x‖ =‖f‖，x∈E，則?x，y有:

引理2［7］設(shè)E是一致光滑的Banach 空間，k是E的一非空閉凸子集，T:k→k是一非擴(kuò)張映像，且F(T)≠φ，f∈ΠC，若定義Q:ΠC→F(T)，則Q(f)是下列變分式不等式的解:

引理3［7］設(shè)E是一致凸的Banach 空間，C是E一閉凸子集，T:C→C是有不動(dòng)點(diǎn)的一漸近非擴(kuò)張映像．若xn→x∈C及(xn－Txn)→y，則(xn－Txn)=y，特別若y=0，則x是T的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．

引理4［7］設(shè)E是一致光滑的Banach 空間，k是E的一非空有界閉凸子集Tn:k→k是漸近非擴(kuò)張映像，則T在E中有不動(dòng)點(diǎn)

引理5［7］設(shè)E是一致凸的Banach 空間，C是E一閉凸子集，T:C→C是有不動(dòng)點(diǎn)集:≠φ 非擴(kuò)張映像，設(shè){an}?(0，1)，β∈［0，1］及{tn}∈R+滿足:

2 主要結(jié)論

定理1 設(shè)E是實(shí)的且一致凸的Banach 空間，并且范數(shù)G可微，C是E的非空閉凸子集，Tn是一族漸近非擴(kuò)張映像，使得且，設(shè)αn∈(0，1)的一實(shí)數(shù)序列滿足為壓縮映像，壓縮系數(shù)設(shè):α∈(0，1)，S={S(t)≥0}滿足:(i)∩F由定義為隱式迭代序列:

所以{xn}有界，同時(shí){Tnxn}與{f(xn)}有界且

由引理4 知:有唯一不動(dòng)點(diǎn)p∈F(T)．

(T)可知強(qiáng)收斂于不動(dòng)點(diǎn)p．

［1］ Browder F E．Fixed point theorems for noncompact mappings in Hilbert space［J］．Proc Nat Acadsci USA，1965，53:1272－1276．

［2］ Chang S S．On Chidume’s open questions and approximation solutions of multivalued strongly accretive mappings equations in Banach spaces［J］．J Math Anal Appl，1977，216:94－111．

［3］ 張石生，楊莉，柳就愛．關(guān)于Banach 空間非擴(kuò)張半群的強(qiáng)收斂定理［J］．應(yīng)用學(xué)與力學(xué)，2007(10):1146－1156．

［4］ 趙良才，張石生．Banach 空間中非擴(kuò)張映像不點(diǎn)的粘性逼近［J］．?dāng)?shù)學(xué)研究與評(píng)論，2007(11):919－924．

［5］ Tae－Hwa Kim．Strong convergence of modified Mann ieerations for asymptotically nonexpansive mappings and semigroups［J］．Nonlinear Analysis，2006，64:1140－1152．

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［7］ Reich S．Asymptotic behavior of contractions in Banach space［J］．J Math Anal Appl，1973，44:57－70．