葉世旺　唐軍　張榮　薛劉萍

摘要：本文探討了高斯定理教學(xué)中所涉及到的幾個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，并結(jié)合典型例題分析了高斯定理在求解電荷非均勻分布的帶電體的場(chǎng)強(qiáng)中的應(yīng)用，以使學(xué)生輕松、全面地理解和應(yīng)用該定理。

關(guān)鍵詞：高斯定理；高斯面；電場(chǎng)強(qiáng)度

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2015）12-0188-02

高斯定理是靜電學(xué)的基本規(guī)律之一，也是普通物理教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容[1-3]。利用高斯定理，可簡(jiǎn)單、快速地求得某些電荷均勻分布帶電體（如球型、圓柱形、無限大平板等）的空間場(chǎng)強(qiáng)分布[4]。利用該定理求解場(chǎng)強(qiáng)問題的關(guān)鍵在于選取合適的閉合曲面——高斯面。其實(shí)，通過合理選擇高斯面，高斯定理也可以求解某些電荷非均勻分布的帶電體激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)。本文結(jié)合典型的例題進(jìn)行探討，便于學(xué)生更好地理解高斯定理的內(nèi)容和掌握利用高斯定理解題的思想方法。

一、對(duì)高斯定理的理解

4.高斯定理是由庫(kù)侖定律和場(chǎng)強(qiáng)疊加原理導(dǎo)出的，可適用于任何電場(chǎng)，是電磁場(chǎng)基本規(guī)律之一。

二、應(yīng)用高斯定理求解電場(chǎng)強(qiáng)度

我們知道，利用點(diǎn)電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度公式和場(chǎng)的疊加原理原則上可以求出任意已知電荷分布激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度，這是數(shù)學(xué)計(jì)算上的問題。而對(duì)于某些特殊情況，我們可以用高斯定理來求解電場(chǎng)強(qiáng)度。其基本思想是要使待求場(chǎng)強(qiáng)E都可移到高斯定理的積分號(hào)外，從而求出帶電體系在待求點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)。這就要求電場(chǎng)強(qiáng)度的分布要具有某種對(duì)稱性。所以用高斯定理求解場(chǎng)強(qiáng)，首先要定性分析帶電體系產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)，以明確場(chǎng)強(qiáng)方向和大小的分布規(guī)律；其次，依據(jù)場(chǎng)強(qiáng)分布規(guī)律，判斷能否用高斯定理求解，能則構(gòu)建適當(dāng)?shù)母咚姑孢M(jìn)行求解。

構(gòu)建高斯面必須滿足兩個(gè)條件：其一，高斯面必須通過所求場(chǎng)強(qiáng)的點(diǎn)；其二，高斯面上各點(diǎn)或某部分各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小均相等。在此基礎(chǔ)上，高斯面的形狀大小原則上可任意選取，但必須使計(jì)算簡(jiǎn)單，所以一般可作高斯柱面和球面。作高斯球面時(shí)要求球面上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小都相等，方向和面元法向的夾角都相等，這就要求場(chǎng)強(qiáng)的分布要關(guān)于高斯球面的球心對(duì)稱，如點(diǎn)電荷、均勻帶電球面（體或殼）等電荷分布具有球?qū)ΨQ性的，其場(chǎng)強(qiáng)分布也具有球?qū)ΨQ性，所以可以作同心的高斯球面利用高斯定理來求解。如果是作高斯柱面（可分為兩底面和一側(cè)面），則要求計(jì)算的點(diǎn)所在面（底面或側(cè)面）的電場(chǎng)強(qiáng)度大小相等，而且面元的方向和場(chǎng)強(qiáng)方向的夾角相等，其余兩面上的場(chǎng)強(qiáng)大小可以不同，如果不同則要求面元的方向和場(chǎng)強(qiáng)方向的夾角為90°，或者場(chǎng)強(qiáng)的大小相等而且已經(jīng)知道了。比如無限大均勻帶電平面（板）、無限長(zhǎng)均勻帶電直線、無限長(zhǎng)均勻圓柱面（體或殼）等可以用作高斯柱面的方法來求解。

很多學(xué)生就認(rèn)為只有電荷均勻分布且具有面對(duì)稱、柱對(duì)稱或球?qū)ΨQ時(shí)才能用高斯定理求解電場(chǎng)強(qiáng)度。其實(shí)，高斯定理也可以求解某些電荷非均勻分布的場(chǎng)強(qiáng)分布。如電荷體密度分布為ρ=Krn（其中K，n為常數(shù)，r為點(diǎn)到球心的距離）的球體（殼），場(chǎng)強(qiáng)分布具有球心對(duì)稱性，可以作同心的高斯球面利用高斯定理來求解。又如無限長(zhǎng)體密度分布為ρ=Krn（其中K，n為常數(shù)，r為點(diǎn)到圓柱軸線的距離）圓柱體，場(chǎng)強(qiáng)分布具有關(guān)于圓柱軸線對(duì)稱，可以作同軸的高斯柱面利用高斯定理來求解。再如求孤立導(dǎo)體表面附近處的電場(chǎng)強(qiáng)度，由靜電平衡性質(zhì)可知，導(dǎo)體表面附近處的場(chǎng)強(qiáng)處處垂直于導(dǎo)體表面，導(dǎo)體內(nèi)部的場(chǎng)強(qiáng)處處為零，分析場(chǎng)強(qiáng)的分布情況，就知道可以用高斯定理來求解[6，7]。又如下面的例子：

三、結(jié)論

利用高斯定理，不僅可以快捷的求得均勻帶電的球型、圓柱形、無限大平板等帶電體激發(fā)的空間場(chǎng)強(qiáng)分布，也可以求解某些電荷不均勻分布的場(chǎng)強(qiáng)，如無限長(zhǎng)體密度分布為ρ=Kr（其中K，n為常數(shù)，r為點(diǎn)到圓柱軸線的距離）圓柱體，電荷體密度分布為ρ=Kr（其中K，n為常數(shù)，r為點(diǎn)到球心的距離）的球體（殼），電荷體密度為ρ=Kx（0≤x≤a），厚度為a的無限大帶電平板等情況。用該定理分析問題的關(guān)鍵在于選取合適的閉合曲面——高斯面。通過合理選擇高斯面，滿足計(jì)算的點(diǎn)所在的面上的場(chǎng)強(qiáng)大小處處相等，方向與面元法向夾角恒定（一般為900），其余面上的通量是定值，就可以用高斯定理來求解電場(chǎng)強(qiáng)度。通過對(duì)高斯定理求解非均勻分布帶電體的場(chǎng)強(qiáng)的探討，可以使學(xué)生更好地理解高斯定理的內(nèi)容和掌握利用高斯定理解題的思想方法。

參考文獻(xiàn)：

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