張喬斌 位秀雷 劉樹勇

(海軍工程大學(xué)動(dòng)力工程學(xué)院 武漢 430033)

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小波自適應(yīng)閾值的混沌去噪方法*

張喬斌 位秀雷 劉樹勇

(海軍工程大學(xué)動(dòng)力工程學(xué)院 武漢 430033)

為了提高小波分析方法在混沌去噪中的自適應(yīng)能力,對(duì)不同尺度下的小波信號(hào)設(shè)定調(diào)節(jié)因子,根據(jù)混沌序列關(guān)聯(lián)維的大小確定最優(yōu)閾值。為了提高尋優(yōu)效率,采用遺傳算法全局自適應(yīng)搜索最優(yōu)閾值。利用該方法對(duì)Lorenz混沌時(shí)間序列進(jìn)行了去噪分析,結(jié)果表明所提方法是非常有效的。

混沌信號(hào); 最優(yōu)閾值; 小波變換; 去噪

Class Number O322

1 引言

近年來,由確定系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌現(xiàn)象在很多學(xué)科中得到了廣泛應(yīng)用[1]。但是,由于受到測量工具以及外界環(huán)境等影響,實(shí)際采集到的混沌信號(hào)不可避免地混有噪聲,掩蓋了混沌信號(hào)的真實(shí)動(dòng)力學(xué)行為[2]。混沌信號(hào)具有功率譜寬帶性和似噪聲性,其頻帶與疊加的其他信號(hào)的頻帶往往全部或部分重疊,傳統(tǒng)的線性濾波器方法難以實(shí)現(xiàn)有效濾波[3]。

小波分析是近些年來發(fā)展起來的一種新的時(shí)頻分析方法,在時(shí)頻域都有很強(qiáng)的表征信號(hào)局部特征的能力[4～5]。用于混沌信號(hào)小波去噪的常用方法是閾值法,小波閾值選擇會(huì)造成去噪信號(hào)畸變,選取不當(dāng)還會(huì)造成部分有用信號(hào)的丟失,因此,閾值選擇是小波去噪效果優(yōu)劣的關(guān)鍵問題[6]。目前,大多閾值是采用對(duì)目標(biāo)函數(shù)估計(jì)的方法進(jìn)行判定[7],不可避免地存在估計(jì)誤差?？紤]到混沌去噪是混沌應(yīng)用的預(yù)處理過程,因此,本文分析了混沌信號(hào)噪聲水平和關(guān)聯(lián)維的關(guān)系,并結(jié)合遺傳算法,提出了一種全局自適應(yīng)搜索最優(yōu)閾值的方法,利用該方法對(duì)Lorenz混沌時(shí)間序列進(jìn)行了去噪分析,結(jié)果表明所提方法是非常有效的。

2 小波閾值去噪原理

假設(shè)實(shí)際觀測的混沌信號(hào)為

x(k)=s(k)+n(k),k=1,…,N

(1)

其中,s(k)表示無噪的混沌信號(hào),n(k)表示高斯白噪聲,N表示序列的長度。則小波閾值可按以下三個(gè)步驟實(shí)現(xiàn):

1) 對(duì)實(shí)測信號(hào)x(k)進(jìn)行離散小波變換,得到小波系數(shù)wj,k,j,k表示尺度j上的第k個(gè)小波系數(shù)。

3 信號(hào)噪聲強(qiáng)度和關(guān)聯(lián)維的關(guān)系

噪聲通常是由高維動(dòng)力系統(tǒng)產(chǎn)生,理想的噪聲維數(shù)維無窮大,混沌系統(tǒng)則產(chǎn)生于低維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。根據(jù)這一性質(zhì),可將關(guān)聯(lián)維應(yīng)用于區(qū)分噪聲和混沌信號(hào),以實(shí)現(xiàn)對(duì)噪聲的濾除。

文獻(xiàn)[8]利用G-P算法計(jì)算了4000點(diǎn)的Logistic序列、Lorenz序列、白噪聲序列、椒鹽噪聲序列的關(guān)聯(lián)維數(shù)D,結(jié)果如表1所示。

表1 不同序列的關(guān)聯(lián)維數(shù)

由表1可以看出,混沌序列的關(guān)聯(lián)維相對(duì)較小,且表現(xiàn)出分?jǐn)?shù)維,白噪聲的值相對(duì)較大,由于白噪聲序列仍然有可數(shù)的項(xiàng)數(shù),得到的序列并不是理想的白噪聲,因此關(guān)聯(lián)維仍然存在。而椒鹽噪聲序列,本身已達(dá)到理想狀態(tài),因此,不管用多小的In(r),都無法計(jì)算出InC(r)隨In(r)變化的斜率。以上分析可知,用關(guān)聯(lián)維進(jìn)行去噪分析具有實(shí)際意義。

采樣2000點(diǎn)的Lorenz混沌序列s(k)疊加不同強(qiáng)度的噪聲,然后計(jì)算不同信噪比(SNR)信號(hào)的關(guān)聯(lián)維D,結(jié)果如表2所示。由表2得知,含噪混沌信號(hào)信噪比越大,關(guān)聯(lián)維數(shù)越小。在計(jì)算關(guān)聯(lián)維數(shù)時(shí),需要不斷增加嵌入維數(shù)以求取飽和的關(guān)聯(lián)維數(shù),這樣計(jì)算比較復(fù)雜,考慮到改變嵌入維數(shù)并不能改變序列的相對(duì)復(fù)雜程度。因此,只求取固定嵌入維數(shù)所對(duì)應(yīng)的關(guān)聯(lián)維數(shù)來比較就能實(shí)現(xiàn)飽和的關(guān)聯(lián)維數(shù)在混沌去噪中的應(yīng)用,從而減少了計(jì)算的復(fù)雜度。

表2 不同噪聲強(qiáng)度下Lorenz序列的關(guān)聯(lián)維數(shù)

4 小波自適應(yīng)閾值

在小波去噪中,閾值的選取是一個(gè)關(guān)鍵問題,直接影響著去噪效果。閾值選取過高,會(huì)過多地將信號(hào)當(dāng)作噪聲去掉;閾值選取過低,則保留的噪聲信號(hào)過多,影響信號(hào)的進(jìn)一步分析。傳統(tǒng)的廣義閾值去噪方法大都根據(jù)噪聲能量估計(jì)信號(hào)信噪比來確定閾值大小,估計(jì)過程有一定的誤差,其改進(jìn)的閾值方法也是定量的逼近最優(yōu)閾值,在小波分解的各個(gè)尺度上和最優(yōu)閾值還有一定的偏差,尚不能實(shí)現(xiàn)最優(yōu)濾波。為了使選取的閾值在各個(gè)尺度下都具有最佳的去噪效果,本文利用閾值公式:

(2)

其中,j為小波分解尺度,ti為相應(yīng)尺度的閾值,N為信號(hào)長度,μi為相應(yīng)尺度調(diào)節(jié)因子,μi∈(0:0.01:n),鑒于取對(duì)數(shù)后數(shù)值波動(dòng)較小,因此取步長為0.01,n為正常數(shù),σ為信號(hào)在最高尺度上的方差。

調(diào)節(jié)因子μi的選取根據(jù)去噪后序列的關(guān)聯(lián)維數(shù)大小進(jìn)行評(píng)定。為了提高最優(yōu)閾值的搜索效率,本文利用遺傳算法進(jìn)行全局搜索,根據(jù)噪聲水平和關(guān)聯(lián)維數(shù)的關(guān)系設(shè)定適應(yīng)度函數(shù)為

(3)

由式(3)可以看出,關(guān)聯(lián)維數(shù)越小,適應(yīng)度值越大,說明信號(hào)噪聲水平越低。

小波去噪過程中,閾值和信噪比(SNR)存在一種單峰規(guī)律[9],即閾值從0增加到某一終值時(shí),閾值處理后的結(jié)果只有一種是最優(yōu)濾波。且文獻(xiàn)[10]指出,算法終止準(zhǔn)則兼顧優(yōu)質(zhì)和高效兩個(gè)方面,若連續(xù)迭代最優(yōu)解的改進(jìn)程度不明顯時(shí),算法終止,否則,進(jìn)行t=t+1次迭代。

則自適應(yīng)閾值尋優(yōu)的步驟如下:

1) 對(duì)含噪信號(hào)進(jìn)行j層小波分解,得到小波分解的近似部分an和細(xì)節(jié)部分d;

2) 保持近似部分不變,對(duì)各個(gè)細(xì)節(jié)部分d1,d2,…,dn按式(2)進(jìn)行閾值量化處理,各尺度的調(diào)節(jié)因子μi在(0,n)范圍浮動(dòng),設(shè)定浮動(dòng)步長為0.01;

3) 計(jì)算閾值量化后的信號(hào)的關(guān)聯(lián)維數(shù)D,選取D最小時(shí)所對(duì)應(yīng)的閾值t1,t2,…,tn作為最優(yōu)閾值,其所對(duì)應(yīng)的細(xì)節(jié)部分為d1,d2,…,dn,對(duì)細(xì)節(jié)部分進(jìn)行重構(gòu),重構(gòu)后的各個(gè)尺度上的信號(hào)為d11,d22,…,dnn;

4) 去噪后的信號(hào)為:s=d11+d22+…dnn+an。

5 仿真分析

實(shí)驗(yàn)信號(hào)為Lorenz方程產(chǎn)生的混沌信號(hào),然后疊加白噪聲作為有噪聲污染的信號(hào)進(jìn)行分析。Lorenz方程:

(4)

選取參數(shù)的值為σ=10,r=28,b=8/3,用4階龍格-庫塔法進(jìn)行迭代求值運(yùn)算,設(shè)定積分步長為0.01,刪除前6000個(gè)暫態(tài)點(diǎn),對(duì)其后2000個(gè)穩(wěn)態(tài)點(diǎn)進(jìn)行分析,如圖1所示,圖1(a)為原始時(shí)間序列,圖1(b)為信噪比SNR=-8dB時(shí)的含噪序列。

圖1 原始時(shí)間序列和含噪時(shí)間序列

在相空間重構(gòu)基礎(chǔ)上,選擇尺度J≤m,m為嵌入維數(shù),τ為重構(gòu)延遲。m=5,τ=10時(shí),Lorenz系統(tǒng)的混沌特性可以很好地重構(gòu)于相空間中,因此取J=3,采用正交緊支集(Daubechies)函數(shù)的改進(jìn)小波函數(shù)sym8作為小波基函數(shù)對(duì)混沌序列進(jìn)行3尺度分解,使用本文方法對(duì)每一尺度上的信號(hào)進(jìn)行閾值濾波,其中最小關(guān)聯(lián)維數(shù)D=3.06所對(duì)應(yīng)式(5)中的調(diào)節(jié)因子分別為0.73,1.51,3.37。去噪后的序列圖如圖2所示,其中‘ⅹ’代表無噪信號(hào),‘-’代表去噪后的信號(hào),可以看出,Lorenz序列和去噪后的序列擬合得很好,證明了本文方法的有效性。

圖2 本文方法去噪效果

分別使用廣義閾值方法[11]、文獻(xiàn)[5]方法和本文提出的最優(yōu)閾值方法對(duì)信噪比為-8dB的混沌信號(hào)進(jìn)行降噪處理,降噪后的信噪比和最小均方誤差如表3所示,可以看出經(jīng)本文方法處理后的混沌信號(hào)信噪比最高,最小均方誤差最小,表明本文方法能夠更加有效地濾除隱藏在混沌信號(hào)內(nèi)的噪聲,提高了信噪比,減小了誤差,更加適合工程需要。

表3 三種方法去噪后結(jié)果比較

6 實(shí)驗(yàn)分析

文獻(xiàn)[12]設(shè)計(jì)了分段線性混沌振動(dòng)試驗(yàn)裝置,對(duì)該系統(tǒng)裝置的實(shí)測信號(hào)利用本文方法進(jìn)行去噪處理,采用sym8小波基函數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行3層分解,實(shí)測信號(hào)的關(guān)聯(lián)維數(shù)D=3.58,去噪后的關(guān)聯(lián)維數(shù)維D=2.78,其中各層閾值調(diào)節(jié)因子為1.75,2.03,3.85,去噪前后信號(hào)的相平面圖如圖3所示,可以看出,信號(hào)中雜波明顯被剔除,顯示了本文方法的工程適用性。

圖3 實(shí)測信號(hào)去噪效果圖

圖4是實(shí)測信號(hào)去噪后的最大Lyapunov指數(shù)曲線圖,信號(hào)經(jīng)本文方法去噪后,減小了干擾對(duì)吸引子的影響,恢復(fù)了正常的運(yùn)行軌道,保證了識(shí)別的準(zhǔn)確性。計(jì)算的最大Lyapunov指數(shù)LE>0,證實(shí)了所測信號(hào)是一種混沌振動(dòng)信號(hào),也驗(yàn)證了實(shí)驗(yàn)裝置設(shè)計(jì)的有效性。

圖4 實(shí)測信號(hào)去噪后的最大Lyapunov曲線圖

7 結(jié)語

本文簡述了小波閾值去噪原理,針對(duì)小波去噪中閾值難以有效確定的問題,基于混沌信號(hào)關(guān)聯(lián)維數(shù)和噪聲強(qiáng)度的關(guān)系,利用遺傳算法對(duì)小波信號(hào)各個(gè)尺度的最優(yōu)閾值的搜索,克服了以往小波去噪閾值選擇的盲目性,實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果表明該方法能夠有效地去除信號(hào)中噪聲,并保留序列的混沌特性。

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De-noising for Chaotic Signals Based on Adaptive Thresholding Wavelet

ZHANG Qiaobing WEI Xiulei LIU Shuyong

(College of Power Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan 430033)

For the purpose of improving adaptive performance of chaotic signals de-noising with wavelet transform, a floating parameter is set to regulate the threshold of wavelet signal on different scales according to the correlation dimension of chaotic time series. The genetic algorithm is helpful to obtain global optimum thresholds and to reduce much time wasted by the adaptive searching computation. De-noising for Chaotic time series generated by Lorenz system is simulated to compare with other methods, and the results showed that the proposed method is effective.

chaotic signal, optimal threshold, wavelet transform, de-noising

2014年9月1日,

2014年10月16日

國家自然科學(xué)基金(編號(hào):51179197);海洋工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(上海交通大學(xué))開放課題(編號(hào):1009)資助。

張喬斌,男,副教授,研究方向:艦船裝備綜合保障及非線性動(dòng)力學(xué)。

O322

10.3969/j.issn1672-9730.2015.03.015