徐 立 ， 鄭培亮 ， 李 闖 ， 黃振宇 ， 李 倩

（1.廣東省現(xiàn)代幾何與力學(xué)計量重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東 廣州 510405；2.廣東省計量科學(xué)研究院，廣東 廣州 510405）

0 引 言

隨著科技進(jìn)步和工業(yè)發(fā)展，特別是微機(jī)電系統(tǒng)（MEMS）技術(shù)的廣泛應(yīng)用，微納量級力學(xué)量應(yīng)用不斷增多，微小力量值溯源問題成為力學(xué)計量中前沿與熱點(diǎn)問題之一。由于微小力量值溯源特殊性，目前世界各國仍處于研究階段，并未建立相應(yīng)量值溯源體系。對1cN～10N小力，應(yīng)用中一般以標(biāo)準(zhǔn)砝碼重力來進(jìn)行量值溯源[1-3]。若力繼續(xù)減小，采用微小標(biāo)準(zhǔn)砝碼則誤差過大，無法滿足量值溯源要求。對mN、μN(yùn)、nN量級微小力，多數(shù)研究人員采用靜電力方法進(jìn)行量值溯源，即通過電容器極板間產(chǎn)生微小靜電力來測量或復(fù)現(xiàn)微小力[4-7]。

美國國家標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)研究院（NIST）Pratt等[8]基于靜電力原理，通過圓柱形電容器配合差動式平面干涉儀構(gòu)建靜電力天平，實(shí)現(xiàn)微小力量值溯源。德國國家物理實(shí)驗(yàn)室（PTB）Physikalisch等[9]設(shè)計差動式導(dǎo)電圓盤結(jié)構(gòu)平行板電容裝置，通過干涉式位移測量系統(tǒng)測出極板間位移變化，以測量小于10 μN(yùn)的微小力。英國國家物理實(shí)驗(yàn)室（NPL）Leach等[10]同樣基于圓柱形電容結(jié)構(gòu)，利用平面鏡差分干涉儀測量外力引起的介質(zhì)片在四極板結(jié)構(gòu)電容器間位移，來測量1nN～1 μN(yùn)微小力。中國計量科學(xué)研究院Hu G等[11]采用圓柱狀電容結(jié)合柔性鉸鏈方式，配合激光干涉儀測量圓柱形電容內(nèi)電極位移，實(shí)現(xiàn)微小力測量。

由此可見，基于靜電力原理的電容式微小力裝置中，極板間距與相對位置是決定輸出微小力量值準(zhǔn)確可靠的基礎(chǔ)。針對位置誤差對微小力裝置影響，本文對一種新型叉指狀微小力裝置進(jìn)行分析，該裝置能大幅減少一定區(qū)間范圍內(nèi)位置誤差對輸出微小力影響，利用有限元分析方法對裝置位置變化時輸出力學(xué)特性進(jìn)行分析。探討裝置在X、Y、Z方向平動及轉(zhuǎn)動時，輸出微小力變化規(guī)律。為該裝置在微小力量值溯源中應(yīng)用及簡化微小力裝置結(jié)構(gòu)提供理論依據(jù)。

1 模型建立與位置分析

1.1 叉指電容器結(jié)構(gòu)

如圖1所示，新型叉指狀電容由交叉放置的兩叉指狀電容極板構(gòu)成。每個叉指電容極板包含若干根金屬叉指，每根叉指都被固定于底座上。當(dāng)處于圖1所示位置時，兩叉指（動叉指與定叉指）均與XOY平面平行，且XOY平面經(jīng)過兩叉指的中心平面。兩叉指狀電容極板間施加電壓U時，將產(chǎn)生相互吸引的微小靜電力。

采用高階有限元方法對裝置間靜電場分布進(jìn)行分析，主要研究裝置間微小靜電力。采用高階有限元方法逼近真實(shí)解的優(yōu)點(diǎn)是無需用戶嚴(yán)格控制網(wǎng)格大小，即可獲得要求準(zhǔn)確度，且該方法自適應(yīng)細(xì)分網(wǎng)格提供的誤差估計比其他靜電場分析方法更為準(zhǔn)確，最重要一點(diǎn)是該方法能計算局部和總體場情況，并得到所需準(zhǔn)確度結(jié)果，是計算本文所研究叉指間輸出整體靜電力最佳途徑[15]。

圖1 新型叉指裝置結(jié)構(gòu)圖

1.2 裝置位置分析

圖1為理想狀態(tài)下兩叉指之間的位置，此時兩叉指電容完全處于同一平面上，且各根叉指相互平行。

在實(shí)際使用中，由于距離測量以及位置控制誤差的存在，兩叉指電容不可能處于圖1中完全理想狀態(tài)。為了便于比較，本文在分析過程中假設(shè)定叉指處于理想狀態(tài)且固定，且端面與YOZ平面重合，動叉指位置出現(xiàn)偏差。由圖1可知，動叉指具有6個自由度，其可能發(fā)生位置偏移為沿X軸、Y軸、Z軸平移以及繞X軸、Y軸、Z軸旋轉(zhuǎn)。

2 叉指平動對裝置輸出力學(xué)特性影響

2.1 動叉指沿X軸平動

動叉指由圖1中理想狀態(tài)位置沿X軸分別向X軸正方向移動12 mm及X軸負(fù)方向移動5.5 mm（若向X軸負(fù)方向移動6mm，兩叉指電極將相互接觸），裝置輸出力學(xué)特性如圖2所示。圖2（a）為裝置輸出微小力變化情況，由圖可知，動叉指由理想位置向內(nèi)（-X）或向外（+X）移動，兩叉指間微小力均減小，但兩叉指非常接近時（動叉指沿-X方向平移5.5 m），叉指間靜電力急劇增大。在區(qū)域II內(nèi)，裝置輸出微小靜電力與理想位置基本相同。圖2（b）為動叉指沿X軸運(yùn)動時，裝置輸出微小靜電力與理想狀態(tài)輸出靜電力之間的誤差。由圖可知，動叉指在區(qū)域II內(nèi)移動，裝置輸出微小靜電力與理想狀態(tài)誤差＜2%。實(shí)際應(yīng)用中，動叉指位置控制或測量出現(xiàn)誤差，只需將位置誤差控制在[-1 mm，4 mm]區(qū)間，即可保持裝置輸出微小力誤差＜2%。

圖2 動叉指沿X軸平動時輸出微小力變化

2.2 動叉指沿Y軸平動

動叉指沿Y軸方向移動，裝置輸出微小力變化如圖3所示。動叉指處于理想狀態(tài)，輸出微小力值最小，隨著動叉指移動，輸出微小力逐漸增大，動叉指與定叉指靠近，兩叉指間靜電力增速越來越大。由于裝置結(jié)構(gòu)對稱性，動叉指向+Y方向與-Y方向移動，裝置間靜電力變化情況相同，圖3呈對稱分布。

圖3 動叉指沿Y軸平動時輸出微小力變化

由于動叉指與定叉指間在Y軸方向空間限制（本文研究參數(shù)下間距為1mm），動叉指沿Y軸方向移動距離被限制在[-1mm，1mm]區(qū)間范圍內(nèi)。由圖 3（a）可見，動叉指移動范圍在II區(qū)域時，輸出微小靜電力呈一條水平直線。圖3（b）誤差變化圖也清楚反映這一特點(diǎn)。動叉指在區(qū)間II中移動，輸出微小力與理想狀態(tài)輸出微小力誤差在1.9%以內(nèi)。應(yīng)用中若動叉指沿Y軸位置測量或控制誤差在[-0.2 mm，0.2 mm]區(qū)間，輸出結(jié)果誤差將小于1.9%。

2.3 動叉指沿Z軸平動

圖4（a）為動叉指沿Z軸方向平移裝置輸出微小力特性變化。理想狀態(tài)時，動叉指與定叉指之間正對面積最大，裝置輸出微小靜電力最大。動叉指沿Z軸移動時，動叉指與定叉指間正對面積減小，裝置輸出靜電力隨之減小。動叉指移動距離超過0.5mm時，動叉指與定叉指已完全錯開，此時裝置輸出靜電力呈直線減小。圖4同樣可分為3個區(qū)域，動叉指處于區(qū)域II范圍中，裝置輸出微小靜電與理想狀態(tài)相比輸出值誤差較小。圖4（b）可見，動叉指位置偏移在[-0.2mm，0.2mm]區(qū)域，裝置輸出誤差≤0.7%。由于動叉指沿Z軸移動0.5mm時，兩叉指即完全錯開，由圖可知，動叉指在Z軸方向發(fā)生距離偏移40%時，對裝置輸出值影響在0.7%以內(nèi)。

圖4 動叉指沿Z軸平動時輸出微小力變化

圖2～圖4比較分析可得，動叉指沿X軸偏移對裝置影響較小，沿Y軸偏移對裝置輸出影響較大，應(yīng)用中應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注Y軸方向位移測量與位置控制準(zhǔn)確，保障裝置輸出微小力準(zhǔn)確度。

3 叉指轉(zhuǎn)動對裝置輸出力學(xué)特性影響

動叉指不僅能在X軸、Y軸、Z軸3個方向產(chǎn)生平動，也能繞3根坐標(biāo)軸產(chǎn)生轉(zhuǎn)動。動叉指轉(zhuǎn)動時，裝置輸出微小力變化情況也是應(yīng)用中需重點(diǎn)考慮的問題。

3.1 動叉指繞X軸轉(zhuǎn)動

隨著動叉指偏移理想狀態(tài)繞X軸轉(zhuǎn)動，兩叉指間正對面積減小，裝置輸出靜電力減小。圖5橫軸為動叉指繞X轉(zhuǎn)動角度，正值表示繞X軸順時針轉(zhuǎn)動，負(fù)值表示繞X軸逆時針方向轉(zhuǎn)動。“0”表示理想狀態(tài)。由于裝置結(jié)構(gòu)對稱，動叉指繞X軸順時針和逆時針旋轉(zhuǎn)對裝置輸出影響相同，圖 5（a）和圖 5（b）均以 0°為中心呈軸對稱分布。圖 5（b）可知，動叉指轉(zhuǎn)動±1°，裝置輸出微小力變化僅為0.15%；轉(zhuǎn)動±2°，輸出微小力變化為1.02%。表明叉指位置控制誤差在此區(qū)間內(nèi)，裝置輸出微小力誤差能控制在1.02%以內(nèi)。動叉指轉(zhuǎn)角繼續(xù)增大，對裝置輸出影響也開始明顯。當(dāng)動叉指繞X軸轉(zhuǎn)動7°時，輸出微小力誤差達(dá)到13%。

圖5 動叉指繞X軸轉(zhuǎn)動時輸出微小力變化

3.2 動叉指繞Y軸轉(zhuǎn)動

圖6 動叉指繞Y軸轉(zhuǎn)動時輸出微小力變化

與繞X軸轉(zhuǎn)動相同，動叉指由理想狀態(tài)繞Y軸發(fā)生旋轉(zhuǎn)，兩叉指間正對面積減小，裝置輸出靜電力減小，同時裝置結(jié)構(gòu)對稱性使圖6也以0°為中心呈軸對稱分布。動叉指繞Y軸旋轉(zhuǎn)對裝置輸出影響要明顯小于繞X軸轉(zhuǎn)動。圖6可見，動叉指繞Y軸旋轉(zhuǎn)10°，裝置輸出變化仍小于9%，且旋轉(zhuǎn)角度在±5°內(nèi)，裝置最大輸出變化僅0.25%，可認(rèn)為若動叉指繞Y軸發(fā)生小角度偏移，對裝置輸出微小力幾乎無影響。

3.3 動叉指繞Z軸轉(zhuǎn)動

圖7為動叉指繞Z軸轉(zhuǎn)動時，裝置輸出微小力特性曲線。由圖7（a）可知，圖中微小力隨旋轉(zhuǎn)角度變化近似水平直線分布，表明動叉指繞Z軸轉(zhuǎn)動對裝置輸出微小力影響較小。圖7（b）誤差分布圖中在繞Z軸旋轉(zhuǎn)±8°范圍內(nèi)，裝置輸出微小力值變化最大為1.11%，轉(zhuǎn)角在±6°范圍內(nèi)時，裝置輸出誤差≤0.5%。以上分析可知裝置在繞Z軸方向發(fā)生旋轉(zhuǎn)對裝置的輸出影響非常小。

圖7 動叉指繞Z軸轉(zhuǎn)動時輸出微小力變化

由圖5～圖7比較分析可得，動叉指繞X軸轉(zhuǎn)動對裝置輸出有較大影響；繞Z軸轉(zhuǎn)動對裝置輸出微小力影響較小。應(yīng)重點(diǎn)控制裝置位置繞X軸轉(zhuǎn)動誤差，以減小裝置輸出微小力誤差。同時裝置繞坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動所引起輸出微小力值誤差比平動時引起誤差小。

表1 動叉指運(yùn)動對裝置輸出影響較小區(qū)間

圖8 動叉指復(fù)合運(yùn)動偏移位置

3.4 動叉指復(fù)合運(yùn)動時對裝置輸出影響

通過以上分析，動叉指位置測量與控制誤差對裝置輸出微小力影響較小區(qū)間如表1所示。

實(shí)際應(yīng)用中，裝置位置測量和位置控制均可能出現(xiàn)誤差，對裝置輸出結(jié)果產(chǎn)生影響。

為有效分析動叉指復(fù)合運(yùn)動對裝置輸出微小力影響，本文對6個自由度影響較小區(qū)間內(nèi)取極值進(jìn)行分析。設(shè)動叉指沿X、Y、Z軸分別移動4，0.2，0.2mm，繞X、Y、Z軸分別轉(zhuǎn)動 2°、5°、8°，此時位置如圖 8 所示。圖中所示位置偏移已十分明顯，實(shí)際應(yīng)用中只需對叉指位置稍加控制，便不會出現(xiàn)此種偏移。此時裝置輸出微小力85.903μN(yùn)，與理想狀態(tài)裝置輸出標(biāo)準(zhǔn)微小力誤差為-4.10%，由此可見，裝置在產(chǎn)生較大偏移時仍能保持較高輸出準(zhǔn)確度。

4 結(jié)束語

運(yùn)用高階有限元分析方法，對一種新型叉指狀微小力裝置沿X、Y、Z軸6個自由度上產(chǎn)生位置誤差時，裝置輸出力學(xué)特性變化進(jìn)行分析。結(jié)果表明：

1）動叉指在6個自由度上的位置誤差均會對輸出結(jié)果造成不同程度影響。

2）在每個自由度上，均存在一定區(qū)間范圍，動叉指位置誤差在該區(qū)間中時，對裝置輸出微小力影響較小。

3）動叉指沿X軸位置誤差對裝置的影響較小，沿Y軸位置誤差對裝置輸出影響較大；繞X軸轉(zhuǎn)動對裝置輸出有較大影響，繞Z軸轉(zhuǎn)動對裝置輸出微小力影響較小。

4）裝置繞坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動所引起輸出微小力誤差比平動時引起誤差小。

5）裝置在多個自由度上出現(xiàn)位置誤差時，若誤差范圍在一定區(qū)間內(nèi)，輸出微小力誤差較小。

6）該新型叉指狀微小力裝置能大幅減小一定區(qū)間范圍內(nèi)位置誤差對輸出微小力影響。

本文可為簡化電容式微小力源裝置設(shè)計與制造提供理論依據(jù)。

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