一階常系數(shù)非奇次線性微分方程的通解

鄧雪1，趙俊峰2，張雄鋒3

(1.華南理工大學數(shù)學學院，廣東 廣州 510640；2.廣東工貿(mào)職業(yè)技術學院機械工程系，

廣東 廣州 510510；3.華南理工大學物理與光電學院，廣東 廣州 510640)

摘要：通過嚴謹?shù)臄?shù)學推導，利用待定系數(shù)法，對于一階常系數(shù)非奇次線性微分方程y′+py=Q(x)，給出了Q(x)的不同情況的特解的具體表達式，以及帶有不同表達形式的特解的通解公式.

關鍵詞：通解；特解；線性微分方程；待定系數(shù)法

文章編號：1007-2985(2015)05-0013-03

收稿日期：2015-04-07

基金項目：教育部人文社會科學規(guī)劃

作者簡介：鄧雪(1974—)，女，遼寧沈陽人，華南理工大學數(shù)學學院副教授，博士，主要從事高等數(shù)學研究.

中圖分類號：O172文獻標志碼：A

DOI:10.3969/j.cnki.jdxb.2015.05.003

1　問題的提出

2　主要結果

定理1對于一階常系數(shù)非奇次線性微分方程y′+py=Q(x)，其中p為常數(shù)，Q(x)已知，根據(jù)Q(x)的不同情況，對應特解的具體表達式為：

(1)

證明針對一階常系數(shù)非奇次線性微分方程

y′+py=Q(x)，

(2)

用待定系數(shù)法求其對應的非齊次的特解.現(xiàn)考慮3種情況：

(3)

則

(4)

將(3)，(4)式代入(2)式中，有

mb0xm-1+ (m-1)b1xm-2+…+2bm-2x+bm-1+pb0xm+pb1xm-1+…+

pbm-2x2+pbm-1x+pbm=a0xm+a1xm-1+…+

am-2x2+am-1x+am.

(5)

比較(5)式兩端同類項的系數(shù)得

(6)

(7)

(8)

aAcosax-aBsinax+pAsinax+pBcosax=λsinax+γcosax，

進而得

(9)

綜上所述，由(7)，(8)，(9)式，推導出(1)式.證畢.

3　應用

例1求方程3y′+2y=6x的通解.

3b0+2b0x+2b1=6x.

(10)

比較(10)式兩端同類項的系數(shù)得

例2求方程y′+2y=5e2x的通解.

2Ae2x+2Ae2x=5e2x.

(11)

例3求方程y′+y=sinx的通解.

(Acosx-Bsinx)+(Asinx+Bcosx)=sinx，

整理得

(A-B)sinx+(A+B)cosx=sinx.

(12)

比較(12)式兩端同類項的系數(shù)得

4　結語

針對Q(x)的不同情況，利用待定系數(shù)法推導出一階常系數(shù)非奇次線性微分方程y′+py=Q(x)的通解的具體表達式.同時，通過實例驗證這一結果是有效的.在實際教學中，這一結論為講授“一階常系數(shù)非奇次線性微分方程”的教師和學習該課程的學生擴展了思路，同時在求解過程中省去了繁瑣的計算.

參考文獻：

[1] 同濟大學應用數(shù)學系.高等數(shù)學(下)[M].北京：高等教育出版社，2002.

[2] 王全迪，郭艾，楊立洪.高等數(shù)學(下)[M].北京：高等教育出版社，2009.

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[4] 王麗燕.高等數(shù)學大講堂[M].大連：大連理工大學出版社，2004.

[5] 黃慶懷.2012考研高等數(shù)學輔導教材[M].北京：北京航空航天大學出版社，2011.

General Solutions of One Order Constant Coefficient

Non-Homogeneous Linear Differential Equation

DENG Xue1,ZHAO Junfeng2,ZHANG Xiongfeng3

(1.School of Mathematics,South China University of Technology,Guangzhou 510640,China;2.Department of Mechanical

Engineering,Guangdong College of Industry and Commerce,Guangzhou 510510,China;3.School of Physics and

Photoelectricity,South China University of Technology,Guangzhou 510640,China)

Abstract:For one order constant coefficient non-homogeneous linear differential equation y′+py=Q(x),the concrete expression of special solution with different situations of Q(x) is given through the undetermined coefficient method.The general solution formula with special solution of different expression is presented as well.

Key words:general solution;special solution;linear differential equation;undetermined coefficient method

(責任編輯向陽潔)