基于Split Bregman算法的MRI圖像重建參數(shù)分析

劉梅1，廖柏林2

(1.吉首大學物理機電與工程學院，湖南 吉首 416000 2.吉首大學

信息科學與工程學院，湖南 吉首 416000)

摘要：壓縮感知理論已應用在MRI成像中，作為壓縮感知的非線性重建算法的重要分支，以Split Bregman算法為代表的凸松弛法將信號重建問題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題求解，其計算效率高.對Split Bregman算法的正則化參數(shù)功能和調(diào)節(jié)機制進行了理論研究，分析了正則化參數(shù)對該算法收斂精度和收斂速度的影響.仿真結果表明了3個正則化參數(shù)對MRI圖像重建效率和精度的影響程度.

關鍵詞：壓縮感知；磁共振圖像重建；非線性求逆；凸松弛Split Bregman算法

文章編號：1007-2985(2015)05-0039-06

收稿日期：2015-05-11

基金項目：吉首大學校級課題資助項目(15JD013)；湖南省教育廳科學研究項目(13C757)

作者簡介：劉梅(1988—)，女，湖北荊州人，吉首大學物理機電與工程學院教師，碩士，主要從事磁共振圖像處理、語音信號處理和神經(jīng)網(wǎng)絡研究；廖柏林(1981—)，男，湖南衡陽人，吉首大學信息科學與工程學院副教授，博士，主要從事過程控制、機械臂控制和神經(jīng)網(wǎng)絡研究.

中圖分類號：TP13文獻標志碼：A

DOI:10.3969/j.cnki.jdxb.2015.05.009

基于信號稀疏性的壓縮感知理論，在滿足信號隨機性條件下，運用與稀疏化所用字典不相關的測量矩陣對該信號進行采樣編碼，即通過求解稀疏化最優(yōu)問題[1-2]，用較少的觀測數(shù)據(jù)精確地恢復出原始信號.由于能夠用較少的觀測數(shù)據(jù)精確地重建信號，壓縮感知理論已應用至MRI領域.[3]

在MRI圖像中已經(jīng)得到實現(xiàn)的算法有非線性共軛梯度(CG)算法[4-5]和能夠求解帶有多個正則化項非約束優(yōu)化問題的Split Bragman算法[6]等.在磁共振的圖像重建中，為了保證由部分采樣圖像恢復的質(zhì)量，通常需要2個或多個正則化項組合求解非約束優(yōu)化問題，Split Bregman算法[4]能夠有效地求解該優(yōu)化問題.筆者對正則化參數(shù)的功能和調(diào)節(jié)機制進行了分析，試驗驗證了正則化參數(shù)對算法收斂精度和收斂速度的影響.

1　Split Bregman算法

Bregman技術能夠解決基于壓縮感知的磁共振成像問題[5]，其迭代正則化算法如下[7]：

(1)初始化：k=0，u0=0，p0=0；

(2)當uk不收斂時，執(zhí)行

pk+1=pk-H(uk+1)∈?J(uk+1)；

k=k+1；

結束

(3)輸出迭代結果uk.

由于Bregman迭代只能解決具有1項正則化項的優(yōu)化問題，在MRI圖像重建中，為了保證由部分采樣圖像恢復的質(zhì)量，通常需要2個或多個正則化項組合才能求解非約束優(yōu)化問題.Goldetein和Osher[6]提出了SplitBregman迭代正則化算法，該算法在壓縮感知[6-8]、圖像去噪[6]、磁共振圖像重建[5]等領域得到非常廣泛的應用.

(1)初始化：k=0，u0=0，p0=0；

bk+1=bk+(Φ(uk+1)-dk+1);

k=k+1;

結束

(3)輸出迭代結果uk和dk.

2　MRI圖像重建中的參數(shù)分析

在并行不規(guī)則采樣條件下的動態(tài)磁共振MRI圖像重建中，需要處理的數(shù)據(jù)量通常較大，并求解帶有多個正則化項的非約束優(yōu)化問題，Split Bregman算法能夠求解此類問題.

稀疏MRI重建問題的一般形式見文獻[5，10].文中選擇如下形式描述磁共振重建問題(Ⅰ)：

其中：F表示傅里葉變換矩陣；f表示被收集的K空間觀測數(shù)據(jù)；σ表示信號噪聲的方差；矩陣R表示在K空間笛卡爾降采樣模式下，從單位矩陣中隨機抽取的子集；J(u)表示正則化項.

文獻[7]應用Bregman迭代算法，將問題(Ⅰ)表示成非約束的形式：

(1)

fk+1=fk+f-RFuk+1.

(2)

求解(1)，(2)式，則w←Wu，dx←xu，dy←yu，其中W表示離散正交小波變換.則求解問題的分裂形式為

其中

筆者應用Split Bregman算法求解MRI圖像重建的偽代碼如下：

當‖uk-uk-1‖2>tol時

uk+1=F-1K-1Frhsk

結束

其中：

k=(μRTR-λFΔF-1+γI)，

仿真實驗在32 位Window7平臺采用Matlab軟件仿真完成，參數(shù)選擇如下：μ=1e+4，γ=50，λ=5.SplitBregman迭代正則化算法在變密度采樣模式下MRI圖像重建中的仿真結果見圖1，2.其中圖1a和圖2a的降采比為4.

圖1　Shepp-Logan Phantom重建效果比較

圖2　腦模型重建效果比較

3　不同參數(shù)對Split Bregman算法的影響

MRI圖像重建中，對于下列公式：

圖3　不同λ和μ值的RMSE分布曲線(γ=0)

稀疏化相對權重系數(shù)γ與全變分正則化權重系數(shù)，λ非常相似，不同降采樣模式和不同降采比下，γ參數(shù)的RMSE分布見圖4，5.分析結果表明，不同的降采比和不同的采樣模式對γ參數(shù)的取值范圍都存在影響，只有參數(shù)μ和γ都在分析的取值范圍內(nèi)時，Split Bregman算法才能夠更精確地重建圖像.

圖4　變密度采樣模式下的RMSE分布曲線

圖5　相位編碼方向變密度隨機降采模式下的RMSE分布

在變密度采樣模式下，當降采比為2時，不同參數(shù)μ和γ對MRI腦圖像重建的RMS影響分布見圖6.與圖3—5比較，MRI圖像的μ參數(shù)分布曲線明顯變窄，說明Split Bregman迭代正則化算法的參數(shù)選擇受信號稀疏度的影響很大.如果信號足夠稀疏，那么參數(shù)μ可以在很寬的范圍內(nèi)選取，并且對MRI圖像重建結果影響不大；如果信號稀疏度不好，那么參數(shù)μ的最優(yōu)值需要慎重選擇，選取不同的μ值對重建結果影響比較明顯.相比Phantom圖中的γ參數(shù)選擇分布曲線，腦圖的γ參數(shù)范圍選擇相對較大.由此可知，當信號稀疏性較好時，稀疏化相對權重系數(shù)γ的取值較大.

圖6　MRI腦圖像模型的不同參數(shù)對RMSE影響

4　結論

針對MRI圖像重建中的3個權重系數(shù)μ，γ，λ，筆者分析了正則化參數(shù)的選取對應用Split Bregman迭代算法進行磁共振圖像重建的效率和精度的影響.仿真結果表明：在信號足夠稀疏條件下，正則化參數(shù)μ的取值范圍較大；參數(shù)γ和λ的選擇范圍相對較??；當參數(shù)μ和γ取值合適時，能夠確定最優(yōu)的優(yōu)化目標.

參考文獻：

[1] 陳小玲，趙慧民，魏文國.壓縮感知理論下擴展迭代重加權最小二乘算法的性能分析[J].中山大學學報：自然科學版，2014，53(2)：23-28.

[2] 石光明，劉丹華，高大化.壓縮感知理論及其研究進展[J].電子學報，2009，37(5):1 070-1 081.

[3] 趙喜平.磁共振成像系統(tǒng)的原理及其應用 [M].北京：科學出版社，2000.

[4] KHARE K，HARDY C J，KING K F，et al.Accelerated MRI Imaging Using Compressive Sensing with No Free Parameters[J].Magnetic Resonance in Medicine，2012，68(5)：1 450-1 457.

[5] LUSTIG M，DONOHO D，PAULY J M.Sparse MRI：The Application of Compressed Sensing for Rapid MR Imaging[J].Magnetic Resonance in Medicine，2007，58(6)：1 182-1 195.

[6] GOLDSTEIN T，OSHER S.The Split Bregman Method for L1-Regularized Problems[J].SIAM Journal on Imaging Sciences，2009，2(2)：323-343.

[7] CAI J F，OSHER S，SHEN Z.Linearized Bregman Iterations for Compressed Sensing[J].Mathematics of Computation，2009，78(267)：1 515-1 536.

[8] BAJWA W U，HAUPT J，RAZ G，et al.Compressed Channel Sensing[C].IEEE Information Sciences and Systems.2008：5-10.

[9] KIM S J，KOH K，LUSTIG M，et al.An Interior-Point Method for Large-Scale L1-Regularized Least Squares[J].IEEE Selected Topics in Signal Processing，2007，1(4)：606-617.

[10] YIN W，OSHER S，GOLDFARB D，et al.Bregman Iterative Algorithms for L1-Minimization with Applications to Compressed Sensing[J].SIAM Journal on Imaging Sciences，2008，1(1)：143-168.

Analysis on MRI Image Parameter Reconstruction Based on

Split Bregman Algorithm

LIU Mei1，LIAO Bolin2

(1.College of Physics and Electromechanical Engineering，Jishou University，Jishou 416000，Hunan China；

2. College of Information Science and Engineering，Jishou University，Jishou 416000，Hunan China)

Abstract:The emerging compressed sensing (CS) theory，which includes the incoherent measurement matrix，sparse representation，and nonlinear signal reconstruction，has been employed in the magnetic resonance imaging (MRI).This paper focuses on Split Bregman algorithm which transforms the problem of convex relaxation to the problem of convex optimization.The main advantages of Split Bregman lie in its high computational efficiency and its capacity to solve multi-regularized inverse problem with high accuracy in MRI reconstruction.The function and tuning mechanism of regularization parameters are analyzed theoretically firstly，and then the influences of tuning the regularization parameters on the convergence accuracy and speed are investigated.In this way,the guidelines are provided for choosing suitable parameters in practical applications.

Key words:compressed sensing；magnetic resonance imaging；nonlinear inversion；convex relaxation Split-Bregman regularization algorithm

(責任編輯陳炳權)