黎紅玲，羅 林，劉好斌

(內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，四川內(nèi)江 641112)

粒子群優(yōu)化(PSO)是由Kennedy和Eberhart于1995年提出的一種進(jìn)化計(jì)算技術(shù)，其基本思想源于對(duì)鳥(niǎo)群捕食行為的模擬［1］。PSO算法具有簡(jiǎn)單易懂、容易實(shí)現(xiàn)、收斂速度快等特點(diǎn)，但在搜索后期收斂速度變慢，局部收斂能力減弱，容易陷入局部最優(yōu)。

為提高粒子群優(yōu)化算法的求解質(zhì)量，許多學(xué)者針對(duì)算法本身的進(jìn)行了改進(jìn):如帶粒子釋放和速度限制的改進(jìn)算法［2］，文獻(xiàn)［3］引入速度因子和位置因子參數(shù)，增強(qiáng)粒子活性和粒子的多樣性，取得了良好的實(shí)驗(yàn)效果。Shi等人［4］首次將慣性權(quán)重引入 PSO算法中后，許多人對(duì)慣性權(quán)重進(jìn)行了改進(jìn)，例如利用個(gè)體尋優(yōu)來(lái)定義慣性權(quán)重［5］，使慣性權(quán)重線性微分或非線性微分遞減［6］，用典型線性遞減策略和動(dòng)態(tài)變化策略相結(jié)合的方法來(lái)確定慣性權(quán)重［7］等，或者利用慣性權(quán)重函數(shù)對(duì)學(xué)習(xí)因子進(jìn)行改進(jìn)［8］，對(duì)參數(shù)進(jìn)行全局性調(diào)整［9］。如混合蛙跳算法來(lái)簡(jiǎn)化粒子群優(yōu)化算法［10］，各種改進(jìn)都在不同程度了促進(jìn)了粒子群優(yōu)化算法的研究與發(fā)展。

本文針對(duì)粒子群優(yōu)化算法的早熟現(xiàn)象及后期局部搜索能力弱的缺點(diǎn)，利用正負(fù)反饋的原理來(lái)調(diào)整算法的慣性權(quán)重，增加粒子的多樣性以及增強(qiáng)算法的局部尋優(yōu)能力;同時(shí)利用隨機(jī)數(shù)來(lái)動(dòng)態(tài)調(diào)整位置更新公式，類(lèi)似蛙跳算法中對(duì)青蛙步長(zhǎng)的調(diào)整［10］。文章結(jié)合這兩種改進(jìn)得出新的粒子群算法。

1 標(biāo)準(zhǔn)PSO算法

粒子群優(yōu)化算法是一種模擬鳥(niǎo)群飛行的人工智能算法，采用“群體”和“進(jìn)化”的概念，將群體中的成員描述為“微?！保辛Ｗ油ㄟ^(guò)一個(gè)適應(yīng)函數(shù)來(lái)確定其在空間中的適應(yīng)度。進(jìn)化初期，每個(gè)粒子的位置和速度都被隨機(jī)初始化，粒子在飛行過(guò)程中相互合作，根據(jù)自身和同伴的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及時(shí)調(diào)整速度和位置。在PSO算法中每個(gè)粒子都是解空間的一個(gè)解，每個(gè)粒子均知道自身位置和其他粒子的信息，通過(guò)自身的最優(yōu)位置，再結(jié)合群體最優(yōu)位置區(qū)調(diào)節(jié)自身的位置和速度，從而找到最優(yōu)值。

假設(shè)在一個(gè)D維的目標(biāo)搜索空間中，有m個(gè)粒子組成，其中第個(gè)粒子表示為一個(gè)D維的向量xi=(xi1，xi2，…，xiD)，i=1，2，3，…m，即第 i個(gè)粒子在 D 維的搜索空間中的位置是xi，第i個(gè)粒子的速度vi=(vi1，vi2，…，viD)。記第i個(gè)粒子搜索到最好的位置pi=(pi1，pi2，…，piD)，整個(gè)群體搜索到最好的位置 pg=(pg1，pg2，…，pgD)。

在PSO算法中，粒子的速度－位置方程描述為:

其中，w為慣性權(quán)重，是［0.4，0.9］之間的隨機(jī)數(shù)，c1和c2是學(xué)習(xí)因子;r1，r2為介于［0，1］之間的隨機(jī)數(shù)，vid∈［－vmax，vmax］。w是對(duì)自身運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的信任，c1是“認(rèn)知部分”權(quán)重，是對(duì)粒子自身的思考。c2是“社會(huì)認(rèn)知”權(quán)重，是粒子間的信息共享，來(lái)源于群體中各個(gè)優(yōu)秀粒子的經(jīng)驗(yàn)。

2 一種新的粒子群優(yōu)化算法

2.1 慣性權(quán)重的調(diào)整

文獻(xiàn)［11］從收斂性能上分析提出一種慣性權(quán)重正弦調(diào)整的粒子群算法，即w滿(mǎn)足

其中，k為當(dāng)前迭代次數(shù);max為最大迭代次數(shù)。由w值呈正弦變化可知，整個(gè)算法過(guò)程中，粒子先在其自身附近作局部尋優(yōu)，接著進(jìn)行全局尋優(yōu)，最后讓最優(yōu)粒子進(jìn)行局部搜索。本文針對(duì)此改進(jìn)引入了正負(fù)反饋機(jī)制來(lái)調(diào)整慣性權(quán)重:結(jié)合算法的迭代次數(shù)，達(dá)到權(quán)重的實(shí)時(shí)變化，并通過(guò)慣性權(quán)重的動(dòng)態(tài)調(diào)整達(dá)到對(duì)粒子群的正負(fù)反饋。在式(3)中，若w為正值，體現(xiàn)系統(tǒng)對(duì)前期結(jié)果的認(rèn)可，進(jìn)行一次正反饋;若w為負(fù)值，相當(dāng)于對(duì)前一次迭代的結(jié)果進(jìn)行一次反思，接受解在一定程度上的退化，體現(xiàn)系統(tǒng)對(duì)前期結(jié)果的負(fù)反饋。另外，在迭代過(guò)程中，讓?xiě)T性權(quán)重在一定范圍內(nèi)變化，不僅增加了粒子的多樣性，也有利于算法跳出局部最優(yōu)值。實(shí)驗(yàn)表明，利用正負(fù)反饋的原理動(dòng)態(tài)調(diào)整慣性權(quán)重，增強(qiáng)了算法發(fā)現(xiàn)最優(yōu)解的能力。將權(quán)重公式調(diào)整如下

其中，k為當(dāng)前迭代次數(shù);h為［0，1］之間的反饋參數(shù);wmax和wmin分別為慣性權(quán)重的最大值、最小值。

2.2 位置更新公式的改進(jìn)

參數(shù)調(diào)整的目的在于提高算法搜索能力，式(1)和式(2)值的大小反映了粒子最新位置會(huì)受到前一速度和位置作用的影響，若此值較大，粒子飛行速度大，搜索范圍廣，搜索比較粗糙;如果此值比較小，粒子飛行速度慢，搜索范圍小，搜索比較細(xì)致。而位置更新過(guò)程會(huì)導(dǎo)致粒子快速的陷入局部最優(yōu)，為增強(qiáng)粒子的多樣性，增加搜索能力，本文利用隨機(jī)數(shù)來(lái)調(diào)整位置更新公式。

位置更新公式的改進(jìn)目的在于提高粒子群優(yōu)化算法的搜索能力，即提高粒子群算法的精度和收斂速度。在文獻(xiàn)［12］中，對(duì)位置更新公式作以下調(diào)整

文獻(xiàn)［12］利用隨機(jī)數(shù)來(lái)調(diào)整位置更新公式，即

其中，β為(0，1)之間的隨機(jī)數(shù)。對(duì)位置更新公式添加權(quán)重，提高了粒子群優(yōu)化算法的精度。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 測(cè)試函數(shù)

對(duì)于上述策略，通過(guò)4個(gè)典型測(cè)試函數(shù)進(jìn)行測(cè)試。

f1:Rosenbrock函數(shù)，單峰，最優(yōu)值為0。

f2:Griewank函數(shù)，多峰，最優(yōu)值為0。

f3:Sphere函數(shù)，單峰，最優(yōu)值為0。

f4:Rastrigin函數(shù)，多峰，最優(yōu)值為0。

3.2 慣性權(quán)重中的反饋參數(shù)的測(cè)試

利用f3:Sphere函數(shù)，在標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法的基礎(chǔ)上，對(duì)式(3)中的h進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。對(duì)不同的h取值，算法分別運(yùn)行各10次后取平均值及10次的標(biāo)準(zhǔn)差，根據(jù)文獻(xiàn)［8 ～9，13］均取 wmax和 wmin為 0.9 和 0.4，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示，可以看出，當(dāng)反饋參數(shù)取0.8時(shí)，反饋效果較好。

表1 反饋參數(shù)對(duì)算法性能的影響分析

3.3 更新公式的測(cè)試

利用f3:Sphere函數(shù)，在標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法的基礎(chǔ)上，對(duì)位置更新式(4)和式(5)，采用標(biāo)準(zhǔn)的PSO進(jìn)行測(cè)試，分別運(yùn)行算法各10次后取平均值以及10次的標(biāo)準(zhǔn)差，結(jié)果如表2所示，可看出，采用式(5)效果最好。

表2 更新公式對(duì)算法的影響分析

根據(jù)上述測(cè)試結(jié)果，改進(jìn)算法采用式(3)進(jìn)行慣性權(quán)重的更新公式，在公式中反饋參數(shù)取0.8。對(duì)位置更新公式采用式(5)進(jìn)行。

3.4 改進(jìn)算法的測(cè)試

根據(jù)以上測(cè)試結(jié)果，取反饋參數(shù)h為0.8，更新公式為式(5)，β取之間的隨機(jī)數(shù)。由文獻(xiàn)［8～9，13］，wmin，wmax分別取0.4和0.9，學(xué)習(xí)因子均取2，迭代次數(shù)為100次，維數(shù)為10，結(jié)果如表3所示。

表3 標(biāo)準(zhǔn)PSO與改進(jìn)算法測(cè)試結(jié)果比較表

上述4個(gè)測(cè)試函數(shù)中，改進(jìn)算法的最優(yōu)值比標(biāo)準(zhǔn)PSO算法更理想，說(shuō)明改進(jìn)了算法的有效性。另外，從解的穩(wěn)定性角度出發(fā)，由平均值和標(biāo)準(zhǔn)差的結(jié)果可以得到，改進(jìn)算法的整體效果明顯優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)算法。特別針對(duì)典型的多峰Griewank函數(shù)和Rastrigin函數(shù)，改進(jìn)算法能找到最優(yōu)值，避免了陷入局部最優(yōu)。

綜上所述，改進(jìn)后的粒子群算法能有效地抑制早熟收斂問(wèn)題，且改進(jìn)算法在收斂速度和收斂精度上都有明顯提高，尤其對(duì)多峰函數(shù)更為明顯。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)慣性權(quán)重進(jìn)行分析，利用正負(fù)反饋的原理，對(duì)慣性權(quán)重進(jìn)行了動(dòng)態(tài)調(diào)整;通過(guò)增加隨機(jī)性改進(jìn)更新公式的改進(jìn)，實(shí)驗(yàn)也驗(yàn)證了慣性權(quán)重的反饋因子和更新公式的有效性。大量的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，改進(jìn)后的粒子群算法的求解質(zhì)量比改進(jìn)前的粒子群算法的求解質(zhì)量更高，特別在多峰函數(shù)中表現(xiàn)明顯。

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