田文凱

(西安電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西西安 710126)

近年來，進(jìn)化算法由于強(qiáng)大的實(shí)際應(yīng)用能力得到了快速發(fā)展。各種進(jìn)化算法如雨后春筍般相繼而出。在長期的實(shí)踐檢驗(yàn)中，主流的進(jìn)化算法大致有(1)粒子群算法(PSO)［1］。(2)蜂群算法(ABC)［2］。(3)差分進(jìn)化算法(DE)［3］。(4)協(xié)方差矩陣算法(CMAES)［4］，以及它們相應(yīng)的改進(jìn)算法，如基于粒子群算法改進(jìn)的CLPSO［5］，PSO2011［6］，基于差分進(jìn)化算法改進(jìn)的JDE［7］，SaDE［8］，基于 ABC 改進(jìn)的 GABC［9］等。

回溯搜索優(yōu)化算法(BSA)是Civicioglu于2013年提出的一種基于種群的新進(jìn)化算法，其算法框架類似于差分進(jìn)化算法，但在變異操作或者擾動(dòng)策略，和交叉操作或者混合策略上，與差分進(jìn)化算法有本質(zhì)的區(qū)別。它的擾動(dòng)策略和混合策略新穎高效，在全局搜索能力和收斂速度方面表現(xiàn)良好，使其在與 PSO，ABC，CMAES，JDE，SADE 的比較中，顯出較大的優(yōu)勢(shì)［10］。BSA應(yīng)該會(huì)成為繼以上算法后的一個(gè)新主流進(jìn)化算法。

1 BSA的介紹

BSA的算法框架與差分進(jìn)化算法相似，但BSA有兩個(gè)選擇過程，分別稱為選擇I和選擇II。選擇I為變異策略中隨機(jī)選擇一個(gè)歷史種群，用于產(chǎn)生差分量，選擇II用于更新種群?？傮w算法框架可分為初始化種群，選擇I，變異，交叉，選擇II 5部分。

BSA算法的邏輯框架如下:

(1)初始化種群。

1.1 初始化種群

BSA的初始化種群與差分進(jìn)化算法相同，但BSA的初始化種群P包括種群old P的初始化和歷史種群的初始化

其中 i=1，2，3…，popsize;j=1，2，3…，D，popsize 是種群規(guī)模，D是問題維數(shù)，lowj，upj分別表示第j維分量的下界和上界，U 表示均勻分布，Pi，j，old Pi，j是(lowj，upj)上服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)。兩初始化過程相互獨(dú)立。對(duì)old P的初始化是為了防止第一次執(zhí)行選擇I時(shí)，old P值為空，以保證算法的可行性。

1.2 選擇 I

BSA的選擇I用于選擇一個(gè)新的歷史種群old P，其算法思想如式(2)所示

其中，a，b是(0，1)上服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)。式(2)的作用是在前代種群中選擇一個(gè)歷史種群，并記住這個(gè)歷史種群直至再次發(fā)生改變，當(dāng)代歷史種群old P可以是前n代種群中的任何一代以及初始的歷史種群，其中n=1，2，…，N－1，N是當(dāng)前已迭代的最大代數(shù)。

1.3 變異

在old P的值確定后，對(duì)old P中的個(gè)體進(jìn)行隨機(jī)排序，并重新賦予old P。利用式(3)進(jìn)行變異

這里F是變異尺度系數(shù)用以控制變異的幅度;F=3·randn，randn是一服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)。

1.4 交叉

BSA的交叉策略是一種基于兩種交叉方式等概率調(diào)用的聯(lián)合交叉策略，相比差分進(jìn)化算法較為復(fù)雜。BSA在交叉時(shí)，首先選擇一個(gè)交叉長度n，然后將父代種群P中每個(gè)個(gè)體隨機(jī)選取n個(gè)元素與Mutant中的相同位置個(gè)體的同維元素進(jìn)行互換，生成新的個(gè)體，其中n是(0，mixrate·D)中的整數(shù)。但在每代交叉時(shí)，n的選擇有兩種可能，根據(jù)n的賦值方式，做以下分類敘述:

(1)交叉策略I:n恒為1。

(2)交叉策略II:先給每個(gè)個(gè)體隨機(jī)生成一個(gè)隨機(jī)數(shù) rand·U(0，1)，以

為交叉長度。其中mixrate是交叉概率，D是問題維數(shù)即染色體長度。

兩種交叉策略等概率隨機(jī)調(diào)用構(gòu)成BSA的交叉策略。在式(3)中，Mutant的元素有可能超出相應(yīng)分量的取值范圍，若交換到此類元素，將重新在相應(yīng)的取值區(qū)間內(nèi)隨機(jī)選擇一個(gè)值，最終生成新一代試驗(yàn)種群T。

1.5 選擇 II

比較P和T同位置個(gè)體的適應(yīng)度，當(dāng)T中第i個(gè)個(gè)體Ti的適應(yīng)度小于Pi時(shí)，便用Ti代替Pi更新當(dāng)代種群，如式(5)所示

更新后的種群進(jìn)入下一代循環(huán)。

2 BSA的改進(jìn)

長期以來，進(jìn)化算法總是在收斂速度和全局搜索性之間做改進(jìn)，如何在保證算法全局收斂性的前提下，加快收斂速度，是改進(jìn)進(jìn)化算法的主要目標(biāo)之一。本文經(jīng)過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析，對(duì)BSA的變異尺度系數(shù)和交叉策略做了相應(yīng)改進(jìn)，使得BSA的收斂速度和收斂結(jié)果都有了一定的提高。

2.1 BSA變異尺度方程的改進(jìn)

BSA的變異尺度系數(shù)F=3·randn，其容易產(chǎn)生過大或過小的隨機(jī)值，過大的變尺度系數(shù)會(huì)降低算法的收斂性，過小的變異尺度系數(shù)會(huì)增加算法陷入局部最優(yōu)解的可能性，所以本文提出了一種新的變異方程

其中randperm(old P－P)表示old P－P中行向量的一個(gè)隨機(jī)重排。假設(shè)old P－P中行向量的方差為Var(old P－P)，則有 Var(randperm(old P－P))=Var(old P－P)，所以有

Var［0.5·(old P － P)+0.5·randperm(old P －P)］=0.5·Var(old P －P)

差分量方差比原來減小了一半，意味著新變異形式能有效減少過大或過小擾動(dòng)量的產(chǎn)生。而兩個(gè)隨機(jī)差分量合成擾動(dòng)量的方式使引導(dǎo)方式由線性引導(dǎo)變?yōu)榉蔷€性引導(dǎo)，所以負(fù)變尺度系數(shù)失去意義，不是必須的。

在改進(jìn)變異尺度系數(shù)時(shí)，本文參考了物理學(xué)中的一些分布，令變異尺度系數(shù)是服從麥克斯韋－玻爾茲曼分布的隨機(jī)數(shù)，麥克斯韋－玻爾茲曼分布描述的是處于熱平衡態(tài)下理想氣體分子速率的分布，能進(jìn)一步減小方差，且大量數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，麥克斯韋－玻爾茲曼分布能有效地?cái)_動(dòng)種群，使變異過程出現(xiàn)更好的實(shí)驗(yàn)種群。圖1說明新的變異尺度系數(shù)具有更好的搜索性能。新變異尺度系數(shù)為

χ2(3)是自由度為3的卡方分布，CH3是服從χ2(3)隨機(jī)數(shù)。圖1～圖5是原算法和改進(jìn)變異系數(shù)的算法在測試函數(shù)F1～F5上的收斂效果比較，可以看到新的變異尺度系數(shù)在多峰函數(shù)的測試中有較好的收斂效果。

圖1 測試函數(shù)F1收斂速度對(duì)比

圖2 測試函數(shù)F2收斂速度對(duì)比圖

圖3 測試函數(shù)F3收斂速度對(duì)比

圖4 測試函數(shù)F4收斂速度對(duì)比

圖5 測試函數(shù)F5收斂速度對(duì)比

2.2 BSA交叉策略的改進(jìn)

實(shí)驗(yàn)表明，單獨(dú)使用交叉策略I或者交叉策略II，收斂速度比聯(lián)合交叉策略慢得多，聯(lián)合交叉策略對(duì)BSA良好的收斂效果有較大貢獻(xiàn)。而受到JADE［11］中交叉率產(chǎn)生方式的啟發(fā)，在聯(lián)合交叉策略的隨機(jī)選取過程中加入了一定的自學(xué)習(xí)性，使收斂的效果有了進(jìn)一步提高。

原聯(lián)合交叉策略中，兩種交叉策略的選取是隨機(jī)的，即從(0，1)上均勻選取隨機(jī)數(shù)a，b以a，b的大小來選擇進(jìn)行哪種交叉;在改進(jìn)的交叉策略中，我們只生成一個(gè)隨機(jī)數(shù)a，以a和自適應(yīng)概率分度p的大小來決定，當(dāng)a＜p時(shí)，進(jìn)行交叉策略I，否者進(jìn)行交叉策略II，其中 p·N(cr，0.25)，N(cr，0.25)是以 cr為中心，以0.25為方差的正態(tài)分布。以隨機(jī)數(shù)a，b的大小來決定選擇哪種交叉策略，使得交叉過程有些盲目，而以概率分度p和a進(jìn)行比較便使得兩種交叉策略的選擇有一定的偏向。每進(jìn)行per代進(jìn)化后，將對(duì)cr進(jìn)行一次更新，cr的更新策略如下:

首先，定義種群的一個(gè)進(jìn)化評(píng)判度Δs，如式(7)

g是代數(shù)，g－1代表 g的上一代，g=1，2，…，epoch，epoch是最大進(jìn)化代數(shù)，pi，g是g代種群中第i個(gè)個(gè)體，當(dāng) g － 1 為 0 時(shí)，pi，g－1表示初始種群的個(gè)體，fi，g為 pi，g的函數(shù)值，適應(yīng)度值定義為

定義兩種交叉策略的收斂效果評(píng)判度cr1和cr2

G1，G2分別代表進(jìn)行交叉策略I和交叉策略II的代數(shù)集合表示G1，G2中元素的個(gè)數(shù)。如果進(jìn)行per了次迭代，cr將如下進(jìn)行更新

同時(shí)，cr1和 cr2重新歸零，G1和 G2重新置為空集，其中cr的初始值為0.5。這樣，算法將吸取上per代的經(jīng)驗(yàn)，為下per次迭代規(guī)劃一個(gè)新的cr。為說明新的交叉策略的效果，在相同的變異策略下，即不更改變異尺度系數(shù)的情況下，單獨(dú)比較了新交叉策略和原交叉策略的收斂效果，結(jié)果如圖6～圖10所示(F1～F4中，per=200，F(xiàn)5中，per=20)。

圖6 測試函數(shù)F1收斂速度對(duì)比

圖7 測試函數(shù)F2收斂速度對(duì)比

圖8 測試函數(shù)F3收斂速度對(duì)比

圖9 測試函數(shù)F4收斂速度對(duì)比

圖10 測試函數(shù)F5收斂速度對(duì)比

新交叉策略在算法效果上有一定的提高，但遺憾的是，新交叉策略的改進(jìn)效果并不明顯，交叉策略還需要有更合理判定準(zhǔn)則的引入和參數(shù)調(diào)整。

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)分為測試函數(shù)選取，停止條件制定和測試結(jié)果的統(tǒng)計(jì)分析3部分。

3.1 Benchmark測試函數(shù)選取

數(shù)值實(shí)驗(yàn)選取了15個(gè)函數(shù)進(jìn)行測試，其中有5個(gè)高維單峰函數(shù)，5個(gè)高維多峰函數(shù)和5個(gè)限定維多峰函數(shù)，如表1所示。

表1 測試用到的Benchmark測試函數(shù)

表1中，M為Multimodal(多峰)，N為Non－Separable(不可分)，U 為Unimodal(單峰)，S 為Separable(可分)。

3.2 停止條件制定與參數(shù)選取

(1)所求結(jié)果與Benchmark測試函數(shù)的已知最優(yōu)解的絕對(duì)差＜10－323時(shí)，停止。

(2)到達(dá)最大進(jìn)化代數(shù)epoch時(shí)，停止。

最大進(jìn)化代數(shù)epoch根據(jù)每個(gè)測試函數(shù)的性質(zhì)選定，如表3所示。實(shí)驗(yàn)參數(shù)取值如表2所示。

表2 測試中的實(shí)驗(yàn)參數(shù)取值

實(shí)驗(yàn)均在相同配置的計(jì)算機(jī)上，使用Matlab2013a進(jìn)行編程測試。

3.3 測試結(jié)果的統(tǒng)計(jì)分析

進(jìn)化算法的結(jié)果是隨機(jī)的，每次運(yùn)行結(jié)果都是一個(gè)最優(yōu)解的近似值，同一進(jìn)化算法對(duì)同一測試函數(shù)的運(yùn)行結(jié)果也并不穩(wěn)定，所以不能憑借一次運(yùn)行結(jié)果來比較算法的優(yōu)劣。在測試中，對(duì)于同一Benchmark函數(shù)分別運(yùn)行IBSA和BSA的程序30次，比較30次運(yùn)行結(jié)果的均值和方差，以評(píng)定BSA和IBSA的收斂效果。30次結(jié)果的均值與方差如表3所示。

表3 由BSA和IBSA獲得相應(yīng)測試函數(shù)30次測試結(jié)果的均值與方差

從15個(gè)測試函數(shù)的結(jié)果可以看出，IBSA的收斂效果均優(yōu)于BSA，且對(duì)高維多峰函數(shù)在較長的進(jìn)化代數(shù)下，IBSA取得的結(jié)果仍然優(yōu)于BSA，可見IBSA不僅具有較快的收斂速度，也表明了IBSA同時(shí)具有良好的全局搜索性能。

4 結(jié)束語

在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，IBSA取得了較大的優(yōu)勢(shì)，這歸功于其更加有效的變異尺度系數(shù)和智能化的交叉選擇策略，兩者使IBSA在處理種群中比BSA更加高效和更有針對(duì)性;同時(shí)，新的變異尺度系數(shù)和交叉選擇策略的智能化設(shè)計(jì)注重對(duì)原有算法的繼承，從而使IBSA和BSA一樣具有良好的全局搜索性能。IBSA較成功地在保證算法全局收斂性的前提下，加快了收斂速度。但I(xiàn)BSA的交叉策略并沒有大幅提高算法的收斂性能，其控制結(jié)構(gòu)和相關(guān)參數(shù)還需進(jìn)一步的改進(jìn)和調(diào)整。

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