楊樹樹，寧 勇

（中國航天科工集團8511研究所，江蘇 南京210007）

0 引言

傳統(tǒng)的數(shù)字信號處理是以奈奎斯特（Nyquist）采樣定理為基礎的，在該框架下，數(shù)字系統(tǒng)采樣速率必須達到模擬信號帶寬的兩倍才能無失真地恢復原始模擬信號［1］。然而，隨著信息需求量的日益增加，信號帶寬越來越寬，在信息獲取中對采樣速率和處理速度提出了越來越高的要求，人們迫切需要去尋求新的數(shù)據(jù)采集和處理的方法。在這種情況下，針對具有稀疏特性信號的采樣和處理技術的壓縮感知（CS）［2-3］理論應運而生。

調(diào)制寬帶轉換器（MWC）是一種典型的多通道壓縮采樣系統(tǒng)，該系統(tǒng)可以在不需要任何先驗信息的條件下全盲恢復原始信號［4-6］。然而實際應用中由于通道間的失配問題，導致恢復出的信號存在嚴重失真。針對上述問題，本文首先介紹MWC 壓縮采樣系統(tǒng)的工作原理，然后在信號重構恢復理論模型的基礎上提出了校正模型，并進行了仿真實驗和性能分析，驗證了該校正模型的有效性。

1 采樣系統(tǒng)與數(shù)字子信道分離

1.1 采樣系統(tǒng)

調(diào)制寬帶轉換器是一種針對稀疏多頻帶信號的壓縮采樣系統(tǒng)，由m個通道組成。在第i個通道，將輸入信號x（t）與周期為Tp＝1／fp的混頻信號pi（t）相乘進行混頻，然后將混頻后的信號通過截止頻率為1／（2Ts）的低通濾波器h（t）進行濾波，最后對濾波器輸出信號以遠遠小于Nyquist采樣速率（fs＝1／Ts）進行采樣獲得yi［n］，m個通道的采樣序列送給信號處理部分進行信號重構［4-6］，其原理框圖如圖1所示。

若濾波器h（t）為理想的低通濾波器，則序列yi［n］的離散傅里葉變換為：

圖1 采樣系統(tǒng)原理框圖

為了便于進一步分析，將式（1）表示成矩陣形式為：

式中，m 維 向 量y（f）的 第i個 元 素 為yi（f）＝L 維向量z（）f 的第l個元素為zl（）f ＝L ＝2L0＋1；矩陣A 為m×L 維矩陣，其第i行第l列元素為Ail＝ci，-l＝。

1.2 數(shù)字子信道分離過程

為了減少MWC 壓縮采樣系統(tǒng)硬件實現(xiàn)的負擔，可采用一種數(shù)字子信道分離的方法，對每個物理通道的采樣輸出序列進行數(shù)字處理，得到多個新序列，則可達到以較高的采樣率換取較少的通道個數(shù)的效果，該數(shù)字處理過程如圖2所示。

圖2 某一物理通道的數(shù)字子信道分離原理框圖

數(shù)字子信道分離輸出序列為：

其離散傅里葉變換為：

將式（4）轉換為時域并寫為矩陣形式有：

因此，對于整個MWC 系統(tǒng)而言，有：

2 通道失配分析與校正

2.1 問題分析

實際應用中，系統(tǒng)并不如理論分析中那么理想，由于模擬低通濾波器的群延時、A／D 轉換器的孔徑抖動及各通道增益的不一致性，實際的采樣輸出序列中存在未知的增益與延時，整個系統(tǒng)的實際模型為：

式中，M 為由系統(tǒng)通道增益和延時引起的未知對角矩陣。然而若系統(tǒng)各通道延時之間存在一定差異，則系統(tǒng)模型為：

2.2 解決方案

對于某一包含數(shù)字子信道分離模塊的系統(tǒng)而言，實際情況下的乘性因子M 是固定不變的對角矩陣，即系統(tǒng)各物理通道的延時與增益是固定的，則只需分別輸入幾個已知稀疏信號，即可根據(jù)的系統(tǒng)輸出序列對M 進行估算。

為了計算方便，發(fā)送幾個頻率不同的余弦信號作為測試信號，相位可隨機選擇，則測試信號的系統(tǒng)輸出為：

將式（9）中的序列表示為矩陣形式：

由于對角矩陣M 為非奇異矩陣，則存在對角矩陣Δ 滿足Δ ＝M-1。因此，式（10）可以表示為：

3 仿真實驗

設計一個包含信道分離模塊的MWC系統(tǒng)，以捕獲在頻譜范圍F＝ ［-fNYQ／2，fNYQ／2］，fNYQ＝62.5 MHz內(nèi)的多頻帶信號。其通道個數(shù)m ＝6，每個通道的采樣輸出被分離為q ＝5組序列，即相當于通道個數(shù)為mq＝30的系統(tǒng)。選擇混頻信號pi（t）周期Tp＝4μs，每個周期內(nèi)變換M ＝500次符號，符號αik隨機產(chǎn)生。

首先針對系統(tǒng)各通道延時一致和系統(tǒng)各通道延時不一致兩種情況進行仿真實驗，對矩陣M 進行估計。兩種情況下系統(tǒng)各通道的增益與延時如表1所示。

表1 系統(tǒng)各通道的增益與延時

將n0個頻率不同的余弦信號x1（t）、…、xn0（t）分別作為系統(tǒng)的測試信號，并在信號中加入高斯白噪聲，記錄信號經(jīng)過系統(tǒng)后得到的長度為N0＝500的n0組輸出序列。根據(jù)式（12）對矩陣Δ 進行估計，并根據(jù)其估計值求得矩陣 的 估 計。定 義 矩 陣的 估 計 誤差為：

式中，mi為mq×mq 維對角矩陣M 的第i個元素，而為對角矩陣＾M 的第i個元素。

圖3 的歸一化均方根誤差與測試信號個數(shù)n0 的關系

接下來為了驗證校正后系統(tǒng)模型的重構精度，選用一個N ＝6的多頻帶信號進行實驗，其模型為：

式中，sinc（x）＝sin（πx）／（πx）。射頻信號的能量系數(shù)為Ei＝ ｛1，107，102｝，載波頻率fi在［-（fNYQ-B）／2，（fNYQ-B）／2］內(nèi)隨機選擇?？紤]到實際干擾的情況，在信號上加入與能量最小信號之間的信噪比SNR 為10dB的高斯白噪聲w（t），即系統(tǒng)輸入信號為x（t）＝x0（t）＋w（t）。該信號的時域波形和頻譜如圖4所示。

圖4 多頻帶輸入信號波形及頻譜

圖5 根據(jù)理論模型恢復的信號波形及頻譜

圖6 根據(jù)校正模型恢復的信號波形及頻譜

4 結束語

本文介紹了MWC 壓縮采樣系統(tǒng)的工作原理，在信號重構恢復理論模型的基礎上提出了校正模型，并對這兩種方法進行了仿真。仿真結果表明，本文提出的校正模型與原有的理論模型相比，在信號重構精度上有大幅提高，具有較好的實際應用價值。■

［1］楊真真，楊震，孫林慧.信號壓縮重構的正交匹配追蹤類算法綜述［J］.信號處理，2013，29（4）：486-496.

［2］Donoho DL，Tsaig Y.Extensions of compressed sensing［J］.Signal Processing，2006，86（3）：533-548.

［3］Candes EJ，Wakin M B.An introduction to compressive sampling［J］.IEEE Signal Processing Magazine，2008，25（2）：21-30.

［4］Mishali M，Eldar YC.From theory to practice：Sub-Nyquist sampling of sparse wideband analog signals［J］.IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing，2010，4（2）：375-391.

［5］Mishali M，Eldar YC.Xampling：analog to digital at sub-Nyquist rates［J］.Circuits Devices ＆Systems，IET，2011，5（1）：8-20.

［6］Mishali M，Eldar YC.Wideband spectrum sensing at sub-Nyquist rates［J］.Signal Processing Magazine，2011，28（4）：102-135.