潘　勇，　魏俊潮

(1.揚(yáng)州職業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇揚(yáng)州225009；　2.揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇揚(yáng)州225002)

CN環(huán)的若干等價(jià)刻劃

潘勇1，魏俊潮2

(1.揚(yáng)州職業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇揚(yáng)州225009；2.揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇揚(yáng)州225002)

[摘要]引入環(huán)的補(bǔ)左零化子集的概念，給出了CN環(huán)幾個(gè)新的等價(jià)刻劃.

[關(guān)鍵詞]CN環(huán)； 冪零元； 補(bǔ)左零化子集

1引言

如果環(huán)R的每個(gè)冪零元素均為中心元,則稱(chēng)R為CN環(huán)[1].顯然,交換環(huán)和約化環(huán)(即R沒(méi)有非零的冪零元素)都是CN環(huán).文獻(xiàn)[2]中給出了CN環(huán)幾個(gè)等價(jià)刻劃：

(i)R為CN環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意a∈N(R)，存在整數(shù)n=n(a)≥2使得a-an∈Z(R)；

(ii)R為CN環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的x∈N(R),y∈R，有

((1+x)y)n+k=(1+x)n+kyn+k，k=0,1,2；

(iii)R為CN環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的x∈N(R),y∈R，有

((1+x)y)n+k=yn+k(1+x)n+k，k=0,1,2.

本文引入補(bǔ)左零化子集的概念，對(duì)文獻(xiàn)[2]給出的CN環(huán)幾個(gè)等價(jià)刻劃作了改進(jìn)，給出了條件更一般的等價(jià)刻劃.

2基礎(chǔ)知識(shí)

本文中R表示有單位元的結(jié)合環(huán).N(R)，Z(R)，J(R)，Zr(R)，Zl(R)分別表示環(huán)R的冪零元集合、中心、Jacobson根和左、右奇異理想；Z[x]表示整系數(shù)多項(xiàng)式環(huán)；l(a),r(a)分別表示a在環(huán)R中的左、右零化子；相關(guān)概念參見(jiàn)[3].

首先給出幾個(gè)引理：

引理2.1設(shè)R是一個(gè)環(huán)，f(x)∈Z[x]，且f(x)常數(shù)項(xiàng)為零，則對(duì)任意的a∈N(R)，有

f(a)∈N(R)，且af(a)=f(a)a.

引理2.2[4]設(shè)R是一個(gè)環(huán)，對(duì)任意的x∈R，若l(x)=0,則

l(x2)=l(x3)=…=l(xn),

其中n為正整數(shù).

引理2.3[5]設(shè)R是一個(gè)環(huán)，n為正整數(shù)，x,y∈R, 若xyn=0=x(1+y)n，則x=0.

3主要結(jié)論

先給出[2，定理2.1]一個(gè)推廣：

定理3.1R為CN環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意a∈N(R)，存在整數(shù)n=n(a)≥2，使得

a-(f(a))n∈Z(R)，

其中f(x)∈Z[x]，且f(x)常數(shù)項(xiàng)為零.

證顯然.

?設(shè)f(x)∈Z[x]，且f(x)常數(shù)項(xiàng)為零.不妨設(shè)f(x)=xf0(x)，且f0(x)∈Z[x].

任取a∈N(R)，存在m>0,使得am=0.由題設(shè)可知：存在n1=n(a)≥2，使得

a-(f(a))n1∈Z(R)，

由引理2.1可知

(f(a))n1=an1(f0(a))n1∈N(R),

則有

(f(a))n1=an1a1∈N(R)，

其中a1=(f0(a))n1，且an1a1=a1an1.

同樣由題設(shè)可知：存在n2=n(an1a1)≥2，使得

an1a1-(f(an1a1))n2∈Z(R),

由引理2.1可知

則有

(f(an1a1))n2=an1n2a2∈N(R)，

以此類(lèi)推，存在ns=n(an1n2…ns-1as-1)≥2，使得

an1n2…ns-1as-1-(f(an1n2…ns-1a1))ns∈Z(R)，

且

n1n2…ns>m，(f(an1n2…ns-1a1))ns=an1n2…nsas=0，

利用補(bǔ)左零化子集，下面給出[2，定理2.4]的推廣：

定理3.2設(shè)R是一個(gè)環(huán)，I是R的補(bǔ)左零化子集，則下列條件等價(jià)：

(i)R為CN環(huán).

(ii) 對(duì)任意的x∈N(R),y∈RI，有

((1+x)y)n+k=(1+x)n+kyn+k,k=0,1,2,n為某一確定的正整數(shù).

(iii) 對(duì)任意的x∈N(R),y∈RI，有

((1+x)y)n+k=yn+k(1+x)n+k,k=0,1,2,n為某一確定的正整數(shù).

(iv) 對(duì)任意的x∈N(R),y∈RI，有

((1+x)y)n+k=yk(1+x)n+kyn,k=0,1,n為某一確定的正整數(shù).

證(i)(ii),(iii),(iv)顯然.

((1+x)(1-y))n+k=(1+x)n+k(1-y)n+k,k=0,1,2,

則有

((1+x)(1-y))n+1=(1+x)n+1(1-y)n+1,

((1+x)(1-y))n+1=(1+x)(1-y)(1+x)n(1-y)n,

所以

(1+x)n+1(1-y)n+1=(1+x)(1-y)(1+x)n(1-y)n.

即有

(1+x)(y(1+x)n-(1+x)ny)(1-y)n=0.

由x∈N(R)，可知1+x可逆；l(1-y)=0，由引理2.2可知

l((1-y)n)=0,

所以，有

y(1+x)n=(1+x)ny.

(1)

同理有

y(1+x)n+1=(1+x)n+1y.

(2)

(1)右乘1+x，減(2)得

(1+x)n(yx-xy)=0,

從而

yx-xy=0.

若y?I即y∈RI，由已知條件有

((1+x)y)n+k=(1+x)n+kyn+k,k=0,1,2,

則有

((1+x)y)n+1=(1+x)n+1yn+1,

((1+x)y)n+1=(1+x)nyn(1+x)y,

所以

(1+x)n+1yn+1=(1+x)nyn(1+x)y.

即有

(1+x)n(xyn+1-ynxy)=0.

由x∈N(R)，可知1+x可逆，可得

xyn+1-ynxy=0.

即

xyn+1=ynxy.

(3)

同理有

xyn+2=yn+1xy.

(4)

(3)左乘y，減(4)得

(yx-xy)yn+1=0,

(5)

若1+y?I，即1+y∈RI，用1+y替代(5)的y可得

(yx-xy)(1+y)n+1=0.

(6)

由引理2.3及(5),(6)可得

yx-xy=0,

若1+y∈I，則1-(1+y)=-y?I且l(-y)=0，從而l(y)=0，由引理2.2可知l(yn+1)=0.由(5)可得

yx-xy=0.

綜上所述，對(duì)任意的x∈N(R),y∈R，都有

yx-xy=0

成立，所以R為CN環(huán).

由已知條件有

((1+x)(1-y))n+k=(1-y)n+k(1+x)n+k,k=0,1,2,

則有

((1+x)(1-y))n+1=(1-y)n+1(1+x)n+1,

((1+x)(1-y))n+1=(1+x)(1-y)n+1(1+x)n,

所以

(1-y)n+1(1+x)n+1=(1+x)(1+y)n+1(1+x)n.

即有

((1-y)n+1x-x(1-y)n+1)(1+x)n=0.

由x∈N(R)，可知1+x可逆，可得

(1-y)n+1x-x(1-y)n+1=0.

即

(1-y)n+1x=x(1-y)n+1.

(7)

同理有

(1-y)n+2x=x(1-y)n+2.

(8)

(7)左乘1-y，減(8)得

(xy-yx)(1-y)n+1=0.

因?yàn)閘(1-y)=0，由引理2.2可知l(1-y)n+1=0.從而，有

xy-yx=0.

若y?I即y∈RI，由已知條件有

((1+x)y)n+k=yn+k(1+x)n+k,k=0,1,2,

則有

((1+x)y)n+1=yn+1(1+x)n+1,

((1+x)y)n+1=(1+x)yn+1(1+x)n,

所以

yn+1(1+x)n+1=(1+x)yn+1(1+x)n.

即有

(yn+1x-xyn+1)(1+x)n=0.

由x∈N(R)，可知1+x可逆，可得

yn+1x-xyn+1=0.

即

yn+1x=xyn+1.

(9)

同理有

yn+2x=xyn+2.

(10)

(9)左乘y，減(10)可得

(yx-xy)yn+1=0,

(11)

若1+y?I，即1+y∈RI，用1+y替代(11)的y可得

(yx-xy)(1+y)n+1=0.

(12)

由引理2.3及(11),(12)可得

yx-xy=0.

若1+y∈I，則1-(1+y)=-y?I且l(-y)=0，從而l(y)=0，由引理2.2可知l(yn+1)=0,由(11)可得

yx-xy=0.

綜上所述，對(duì)任意的x∈N(R),y∈R，都有yx-xy=0成立，所以R為CN環(huán).

((1+x)(1-y))n+k=(1-y)k(1+x)n+k(1-y)n,k=0,1,

則有

((1+x)(1-y))n+1=(1-y)(1+x)n+1(1-y)n,

((1+x)(1-y))n+1=(1+x)(1-y)(1+x)n(1-y)n,

所以

(1-y)(1+x)n+1(1-y)n=(1+x)(1-y)(1+x)n(1-y)n.

即

(xy-yx)(1+x)n(1-y)n=0.

因?yàn)閘(1-y)=0，由引理2.2可知l(1-y)n=0.可得

(xy-yx)(1+x)n=0.

由x∈N(R)，可知1+x可逆，可得

xy-yx=0.

若y?I即y∈RI，由已知條件有

((1+x)y)n+k=yk(1+x)n+kyn,k=0,1,

則

((1+x)y)n+1=y(1+x)n+1yn,

((1+x)y)n+1=(1+x)y(1+x)nyn,

所以

y(1+x)n+1yn=(1+x)y(1+x)nyn.

即

(yx-xy)(1+x)nyn=0.

(13)

若1+y?I，即1+y∈RI，用1+y替代(13)的y可得

(yx-xy)(1+x)n(1+y)n=0.

(14)

由引理2.3及(13),(14)可得

(yx-xy)(1+x)n=0.

若1+y∈I，則1-(1+y)=-y?I且l(-y)=0，從而l(y)=0，由引理2.2可知l(yn)=0,由(13)得

(yx-xy)(1+x)n=0.

無(wú)論1+y?I，或1+y∈I，總有

(yx-xy)(1+x)n=0.

由x∈N(R)，可知1+x可逆，可得

yx-xy=0.

綜上所述，對(duì)任意的x∈N(R),y∈R，都有

yx-xy=0

成立，所以R為CN環(huán).

[參考文獻(xiàn)]

[1]Drazin M P. Rings with central idempotent or nilpotent elements [J] . Proc Edinburgh Math Soc, 1958, 9(2) : 157-165.

[2]Wei Junchao.Some notes onCNrings [J].bull Malays Math Sci Sco，2014，37(3): 25-37.

[3]Anderson F W,Fuller K R.Rings and categories of modules[M].2nded.New York:Springer-Verlag, 1992.

[4]杜巧利，孫建華.環(huán)的右奇異理想與交換性定理[J].揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2014，17(4)：5—7.

[5]Nicholson W K and Yaqub A. A commutativity theorem[J]. Algebra Universalis, 1980，10:260-263；113-116.

Several Equivalent Characterizations of CN Rings

PANYong1,WEIJun-chao2

(1. School of Mathematical Sciences，Yangzhou Polytechnic College ,Yang zhou Jiangsu 225009 ,China;

2. School of Mathematical Sciences, Yangzhou University ,Yangzhou Jiangsu 225002,China)

Abstract:The complementary left annihilator of rings is introduced, and some new equivalent characterizations ofCNrings are given.

Key words:CNring；nilpotent element；complementary left annihilator

[中圖分類(lèi)號(hào)]O153.3;O154

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]1672-1454(2015)04-0099-06