朱　生，　鄒爾新，　姜麗華，　劉詩淼

(1.吉林工商學(xué)院基礎(chǔ)部數(shù)學(xué)教研室， 長春130507；　2.長春財(cái)經(jīng)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室, 長春130122)

中心矩估計(jì)法研究

朱生1，鄒爾新2，姜麗華2，劉詩淼2

(1.吉林工商學(xué)院基礎(chǔ)部數(shù)學(xué)教研室， 長春130507；2.長春財(cái)經(jīng)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室, 長春130122)

[摘要]重點(diǎn)研究了利用樣本中心矩估計(jì)總體中心矩的理論依據(jù)，同時(shí)給出了應(yīng)用實(shí)例.

[關(guān)鍵詞]點(diǎn)估計(jì)； 樣本中心矩； 總體中心矩； 矩估計(jì)

1引言

矩估計(jì)是英國著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家K.earson在1894年提出的.實(shí)際問題中，當(dāng)總體概率分布未知時(shí)，點(diǎn)估計(jì)是常用的未知參數(shù)估計(jì)[1]的方法之一，方法的關(guān)鍵是構(gòu)造估計(jì)未知參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量，其中矩估計(jì)是一種行之有效的方法.目前教科書及相關(guān)文獻(xiàn)[2-3]僅介紹了利用樣本原點(diǎn)矩估計(jì)總體原點(diǎn)矩的方法，如何利用樣本中心矩估計(jì)總體中心矩則很少提及.本文詳細(xì)介紹了利用樣本中心矩估計(jì)總體中心矩的理論依據(jù)和方法.

2預(yù)備知識(shí)

k階總體原點(diǎn)矩νk=EXk(k=1,2,…),

k階總體中心矩μk=E(X-EX)k(k=2,3,…),

又R(x1,x2,…,xk)是k個(gè)變量的有理函數(shù)，且R(a1,a2,…,ak)≠±∞，則

定義2[1]用樣本矩估計(jì)同類總體矩，稱矩估計(jì)法.

常用的矩估計(jì)法是：用統(tǒng)計(jì)量k階樣本原點(diǎn)矩

估計(jì)k階總體原點(diǎn)矩νk.

3主要結(jié)論

用樣本中心矩估計(jì)總體中心矩的矩估計(jì)法的定義：

定義3設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x,θ)，參數(shù)θ未知；假定θ可寫成總體X的前m階中心矩μk(k=2,3,…,m)的函數(shù)：

θ=g(μ2,μ3,…,μm)，

且μm系數(shù)不為0；(X1,X2,…,Xn)是總體X的樣本，則用統(tǒng)計(jì)量

下面進(jìn)一步討論該方法的理論依據(jù).

首先證明

定理1設(shè)(X1,X2,…,Xn)為來自總體X的樣本，則有

由引理1得

定理得證.

由此可得

定理2設(shè)(X1,X2,…,Xn)為來自總體X的樣本，則有

證由二項(xiàng)式展開定理可得

由引理2及定理1

而由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)及二項(xiàng)式定理有

即

定理得證.

4實(shí)例

設(shè)總體X的概率分布為

X-101Pθ1-2θθ

此時(shí)可以利用本文提出的方法，即用2階樣本中心矩估計(jì)2階總體中心矩，可得未知參數(shù)θ的中心矩估計(jì).做法如下：

EX=0,

E(X-EX)2=EX2=(-1)2·θ+12·θ=2θ.

由

可得

5結(jié)束語

本文對(duì)利用樣本中心矩估計(jì)總體中心矩給出了理論依據(jù)，并通過實(shí)例給出應(yīng)用，最終達(dá)到估計(jì)總體中未知參數(shù)的目的.這些結(jié)論與實(shí)例在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教學(xué)中有一定補(bǔ)充與參考意義，能使學(xué)生對(duì)矩估計(jì)有更全面深入的了解，矩估計(jì)并不僅僅是用樣本原點(diǎn)矩估計(jì)總體原點(diǎn)矩，用樣本中心矩同樣可以估計(jì)總體中心矩，而且在某些情況下會(huì)有很好的效果(如實(shí)例).那么矩估計(jì)在實(shí)際應(yīng)用中如何選擇那？在能做到估計(jì)總體中未知參數(shù)的前提下，通常選擇矩(無論原點(diǎn)矩還是中心距)更容易求得，同時(shí)用低階矩進(jìn)行估計(jì).因此用矩估計(jì)得到的未知參數(shù)的估計(jì)量(值)一般不是唯一的.

[參考文獻(xiàn)]

[1]于卓熙，李輝.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]范光，李廣明.矩估計(jì)法的理論注釋[J].十堰職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2012，25(1)：98-100.

[3]張永利.矩估計(jì)的基本原理及其解題方法[J].巢湖學(xué)院學(xué)報(bào),2005，7(3)：47-48.

[4]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)簡(jiǎn)明本[M].北京：高等教育出版社，2009.

[5]魏宗舒.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京：高等教育出版社，1982.

The Research of Central Moment Estimate

ZHUSheng1，ZOUEr-xin2，JIANGLi-hua2，LIUShi-miao2

(1.Departments of Basic Mathematics Teaching and Research Section, Jilin Business and Technology College, Changchun 130507, China;2.Mathematics Teaching and Research Department, Changchun University of Finance and Economics，Changchun 130122, China)

Abstract:This paper focuses on the theoretical basis of using the sample central moments to estimate the overall central moments, and give the applied example.

Key words:point estimation； sample central moment； overall central moment； moment estimate

[中圖分類號(hào)]O212.1

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

[文章編號(hào)]1672-1454(2015)04-0109-04