黃 舟，黃 海

（北京航空航天大學 宇航學院，北京100191）

0 引言

六自由度振動臺是重要的振動試驗設備，在其工作頻率允許范圍內可對試件進行多個自由度的振動測試。相比單軸振動臺，六自由度臺能更準確地模擬實際振動環(huán)境，其應用研究越來越受重視[1]。振動臺的臺體是用于負載和傳感器安裝的部件，若結構特性偏柔，在高頻振動測試時易發(fā)生一階共 振，則會導致對負載響應的測試不準、控制精度顯著降低等異常狀況[2]。因此，需要提高臺體的一階固有頻率，使之位于工作頻帶以外。為使臺體的一階固有頻率高于工作頻率，常用加筋的方法[3]來提高臺體結構的剛度，這樣一來，使得臺體結構變重，需要增加振動臺的驅動功率。因此，在振動臺的設計階段，有必要進行臺體結構的優(yōu)化，既要滿足一 階固有頻率高于工作頻率，又要使其質量最小。

臺體的結構分析是進行結構優(yōu)化的基礎，為準確求得一階固有頻率需正確地給出邊界條件[4]。文獻[5-7]雖對六自由度振動臺的臺體進行了有限元建模，但對邊界條件未作明確說明。文獻[8]在建模時將邊界條件視為自由狀態(tài)，而在實際工作中，臺體結構是通過鉸鏈、作動桿與基座（或地面）進行連接，導致對臺體與作動器的連接位置產(chǎn)生沿作動桿軸向的約束。文獻[8]還利用ANSYS 軟件進行了基于筋板厚度、位置等參數(shù)的頻率優(yōu)化設計，屬于一階優(yōu)化算法。

在關于臺體結構的優(yōu)化研究中，文獻[9]明確指出在臺體設計時需要對筋板布局、厚度、高度進行分析與優(yōu)化設計，但缺乏對具體優(yōu)化過程的描述。文獻[10-11]采用傳統(tǒng)的反復計算與調整的優(yōu)化方法，但設計效率很低。文獻[12]利用 ANSYS Workbench軟件中基于響應面技術的DOE方法對上下板和立板厚度進行了尺寸優(yōu)化。但由于臺體結構包含多種筋板子結構，設計變量較多，所以優(yōu)化設計時還需要有計算效率更高和適應性更好的優(yōu)化算法。文獻[13]提出了一種二級多點逼近優(yōu)化算法，通過建立兩級近似問題和求解第二級近似問題的對偶問題，使該方法相比傳統(tǒng)優(yōu)化算法在計算效率與收斂速度方面有了很大的提高，因此應用二級多點逼近優(yōu)化算法將有利于提高臺體結構的優(yōu)化設計。

本文考慮振動臺的實際工況，結合二級多點逼近優(yōu)化算法的收斂迅速穩(wěn)定的優(yōu)點，提出一種基于二級多點逼近算法的振動臺臺體結構的優(yōu)化方法。首先，分析六自由度振動臺的運動工況及各自由度的約束邊界條件，建立簡化的有限元模型。然后，建立以臺體結構中上板、筋板、筋板凸緣的截面尺寸和外形半徑大小為設計變量，一階固有頻率和靜強度為約束條件，結構質量最小為目標的模型，采用二級多點逼近算法對模型的尺寸進行優(yōu)化設計，并以人機交互的方式優(yōu)化外形半徑，得到滿足約束條件的優(yōu)化解。最后，依據(jù)優(yōu)化結果完成臺體樣機的設計，并應用于振動試驗測試。

1 臺體的有限元模型

1.1 振動臺的結構分析

如圖1所示，振動臺采用具有6-PSU 構型的Hexapod 平臺，主要由臺體、基座和6 根作動桿組成。其中基座被固定在地基上，作動桿從上到下由二自由度虎克鉸、三自由度虎克鉸和作動器等構成。臺體與6 根作動桿通過3 個連接塊相連，通過作動器的伸縮運動實現(xiàn)臺體的振動運動。

圖1 6-PSU 構型的Hexapod 平臺 Fig.1 Hexapod platform with 6-PSU configuration

在確定振動臺的構型尺寸后[14]，可得臺體與作動桿相連的6 個鉸點位置C1到C6，鉸點的包絡半徑為0.5 m，據(jù)此尺寸開展臺體的設計。

1.2 臺體的加筋結構設計與建模

采用航空上廣泛使用的整體加筋壁板結構形式[15]，該結構主要包括上板、筋板和筋板頂部的凸緣，如圖2所示?？紤]到臺體與6 個作動桿的連接區(qū)域即3 個連接塊的位置構成了一個三角形，為使傳力路徑直接有效，將三角形的3 條邊作為主承力筋，其余筋板的周向、徑向分布將臺體分隔為多個四邊形區(qū)域。筋板的頂部設計有凸緣，用于提高結構的抗彎剛度。

在MSC.Patran 中建立臺體的簡化有限元模型，連接區(qū)域采用CHEXA8 實體單元，上板結構采用CQUAD4 殼單元，筋板結構及其凸緣分別采用CQUAD4 殼單元與CBAR 矩形截面梁單元，模型共有33 350 個節(jié)點，34 068 個單元。

圖2 臺體有限元模型 Fig.2 Finite element model of the vibration table

1.3 臺體邊界條件的分析與比較

振動臺的6 個作動器在電機驅動下作伸縮運 動使臺體產(chǎn)生上下振動。每根作動桿對臺體的約束邊界如圖3所示，作動桿圍繞初始位置作微幅振動，當臺體處于穩(wěn)態(tài)振動時，其結構的模態(tài)應為約束模態(tài)而非自由模態(tài)，其約束為電機力作用位置處的法向位移。

內筒和桿BC的軸向剛度通常很大，在簡化建模時可視為剛體，因此B點為簡支點，且C點只能繞B點轉動。由于臺體運動的振幅很小，在線性分析時，臺體連接面上節(jié)點只能在垂直于y向的平面內運動?；谏鲜龇治?，將臺體連接面上的節(jié)點平動自由度約束即可。

圖3 臺體在各桿連接面處的邊界條件 Fig.3 Boundary conditions in the table’s connecting areas with legs

給定上板厚度（初值為10 mm）、筋的厚度（主承力筋厚度為20 mm，其余筋板厚度為6 mm）、凸緣的寬度（初值為20 mm）和高度（初值為10 mm）等尺寸，臺體材料為6061 的鋁材，質量為117.9 kg，按上述邊界條件進行模態(tài)分析，結果顯示，臺體結構的一階固有頻率為435.2 Hz。

當采用自由邊界條件進行模態(tài)分析時，結果顯示，其一階固有頻率為316.2 Hz。2 種邊界條件下的臺體結構一階固有頻率相差119 Hz，結合實際情況，臺體的結構分析應考慮帶約束的邊界條件。

2 臺體的結構優(yōu)化設計

2.1 臺體模型的建立

振動臺在空載時的工作頻率范圍為5～500 Hz，當安裝800 kg 的負載后，能同時承受縱向和橫向的過載加速度分別為2g和1g。因此，根據(jù)工作頻率，要求臺體一階固有頻率高于500 Hz，以安裝負載后的靜強度、剛度作為約束條件，以臺體結構的質量最小為設計目標，即優(yōu)化問題可表達為

式中：X= {x1,x2,···,x n,r}T為優(yōu)化的設計變量，其中x1,x2,···,xn分別為臺體上板厚度、加筋板厚度與凸緣截面尺寸，r為外圓筋的半徑；f(X)為質量目標函數(shù)；g(X)為設計約束函數(shù)，由于靜載荷下的強度要求一般為非臨界約束[16]，在優(yōu)化時對該約束條件進行簡化，即約束函數(shù)只取臺體的一階頻率下限，取= 500 Hz；xiL和xiU分別為設計變量xi的下限和上限。

臺體的簡化有限元模型均將梁單元和殼單元的截面尺寸視為待優(yōu)化的設計變量，這些設計變量在鏈化處理時應結合幾何對稱性。經(jīng)鏈化后截面尺寸變量總數(shù)為n=86，由于鉸點位置已經(jīng)確定，r可改變臺體的外形而不改變連接面的位置，所以臺體優(yōu)化模型中獨立的設計變量共計87個。

2.2 二級多點逼近優(yōu)化算法

采用二級多點逼近優(yōu)化算法進行優(yōu)化。式(1)表達的為復雜的隱式問題，若直接對它求解則計算效率很低，為此，需要建立具有高保真度的第一級近似問題表達式，即

式中：f(p)(X)和g(jp)(X)為第p個優(yōu)化周期內的目標函數(shù)和約束函數(shù)的近似函數(shù)，由于式(1)中的目標函數(shù)f(X)與設計變量之間具有顯式對應關系，則有f(p)(X)=f(X)，g(p)(X)為g(X)的近似函數(shù)，因而可通過若干已知設計點的臨界約束函數(shù)值及其導數(shù)得到[17]。

在式(2)中，約束函數(shù)仍為復雜的非線性顯函數(shù)，很難寫出設計變量和對偶變量之間的顯式關系，無法直接使用對偶法求解，還需要采用第二級近似問題來逼近由式(2)表達的第一級近似問題。可先建立第二級近似問題的對偶問題，再通過求解對偶問題得到第二級近似問題的解X*。當X*達到第 二級近似問題的收斂精度ε2時，將X*作為新的設計變量Xp。此時，在Xp處進行結構分析和靈敏度分析，并判斷臺體結構質量f(Xp)是否滿足第一級近似問題的收斂精度ε1。當結構質量f(Xp)滿足ε1時，則Xp為原問題(1)的最優(yōu)解；若不滿足ε1，則將Xp增加為已知設計點并重新建立第一級近似問題，進而轉入下一周期的優(yōu)化迭代，直至結構質量滿足ε1，此時的Xp為原問題的最優(yōu)解。

2.3 優(yōu)化過程與結果

臺體結構優(yōu)化過程分為兩個階段：第一階段為采用二級多點逼近優(yōu)化算法對模型的截面尺寸優(yōu)化，第二階段為綜合尺寸優(yōu)化和結構分析的結果，以人機交互的方式[18]優(yōu)化形狀變量r，優(yōu)化設計流程如圖4所示?？紤]到外圓筋的振型主要表現(xiàn)為扭轉與徑向振動，應減少半徑r以縮短外圓筋的長度，經(jīng)形狀調整、優(yōu)化后再次進行尺寸優(yōu)化，直到優(yōu)化結果滿足頻率和靜強度約束條件。優(yōu)化后的臺體模型如圖5所示。

圖4 臺體優(yōu)化設計流程 Fig.4 Optimization design process of the vibration table

圖5 優(yōu)化后的臺體模型 Fig.5 Model of the table after optimization

對外形優(yōu)化前和優(yōu)化后模型分別進行質量優(yōu)化，優(yōu)化迭代過程見圖6，可以看到外形變量r對優(yōu)化結果有較大影響。外形優(yōu)化后的臺體質量為90.0 kg，一階頻率為501.7 Hz。由于筋板厚度和凸緣截面尺寸的設計變量簡化方法相同，以主承力筋和其上部凸緣為例，設計變量的優(yōu)化結果見表1。相比外形優(yōu)化前的模型，其頻率提高了66.5 Hz，質量減小了27.9 kg。

圖6 外形優(yōu)化前后的結構質量優(yōu)化的迭代曲線 Fig.6 Mass iteration curve before and after shape optimization

表1 典型設計變量 Table1 Typical design variables

3 基于優(yōu)化結果的臺體樣機設計

經(jīng)外形和質量優(yōu)化后筋板的厚度與凸緣的截面尺寸一般帶有多位小數(shù)，在詳細設計前應圓整。當相鄰筋板或凸緣的尺寸接近時進行歸一化處理以便設計和制造，根據(jù)圓整后的尺寸在Catia軟件中完成臺體的詳細設計。

由于詳細設計后的臺體模型與簡化模型有所不同，需要驗證其是否滿足式(1)中的約束條件，故將Catia中的三維模型導入Patran后，再采用CTETRA10單元劃分網(wǎng)格，邊界條件與簡化模型相同。經(jīng)Nastran的靜力學和模態(tài)分析求解，在臺體上安裝有負載且達到所要求的過載工況下其最大Von Mises應力為38.1 MPa，遠小于材料的強度極限；最大變形為0.094 mm，均滿足靜強度和剛度的要求；基頻為540.67 Hz，也滿足頻率要求。

經(jīng)過靜強度、剛度和頻率校核后，根據(jù)設計模 型的尺寸，采用鋁材經(jīng)整體銑削加工得到臺體樣機，其總質量為93.6 kg（接近90.0 kg），如圖7所示。臺體樣機已用于振動試驗測試，滿足了給定頻率要求下的輕量化設計要求。

圖7 臺體結構圖 Fig.7 Structure of the vibration table

4 結論

為了滿足多自由度振動臺臺體固有頻率高于工作頻率和結構質量最小的設計要求，采用二級多點逼近優(yōu)化算法對臺體進行了優(yōu)化設計，得到以下結論：

1）采用約束邊界所建立模型的固有頻率比自由邊界高出119 Hz，結合實際情況，二級多點逼近優(yōu)化中優(yōu)化建模應采用約束邊界；

2）優(yōu)化后的臺體模型與用于優(yōu)化的簡化模型相比，一階固有頻率接近，表明上板、筋板和凸緣等結構的簡化建模是合理有效的；

3）臺體的結構優(yōu)化屬于工程問題，采用基于二級多點逼近算法的結構優(yōu)化方法，從優(yōu)化迭代曲線可以看出優(yōu)化計算收斂迅速且穩(wěn)定。優(yōu)化后的臺體模型頻率提高了66.5 Hz，而質量降低了27.9 kg，效果明顯，從而驗證了該優(yōu)化方法的有效性。

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