薛 翔，周來(lái)水

（南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京210016）

0 引 言

相鄰曲面的連續(xù)拼接對(duì)于自由曲面造型［1］非常重要，因此CAD 和CAGD 領(lǐng)域?qū)W者對(duì)曲面拼接問(wèn)題進(jìn)行了大量深入的研究，例如代數(shù)曲面間拼接［2，3］、Bezier曲面間拼接［4，5］、NURBS 曲 面 間 拼 接［6，7］、以 及B 樣 條 曲 面 間 拼接［8，9］。由于B樣條曲面被廣泛用于產(chǎn)品設(shè)計(jì)中的自由曲面造型，而且經(jīng)常需要通過(guò)局部拼接來(lái)得到外形更靈活的B樣條組合曲面，因此B 樣條曲面間的局部連續(xù)拼接在產(chǎn)品設(shè)計(jì)時(shí)就顯得更為重要。

在實(shí)際拼接時(shí)，相鄰B 樣條曲面在拼接邊界上經(jīng)常具有不同的邊界定義，所以無(wú)法直接進(jìn)行連續(xù)拼接。通常采用曲面細(xì)分來(lái)恢復(fù)拼接邊界上的一致性，但B 樣條曲面在細(xì)分時(shí)只能加入整行、整列的控制點(diǎn)，其中大多數(shù)控制點(diǎn)對(duì)曲面拼接毫無(wú)用處，只會(huì)造成拼接后曲面上的控制點(diǎn)冗余。相對(duì)于B樣條曲面細(xì)分時(shí)控制點(diǎn)的成批加入，T 樣條曲面［10］在細(xì)分時(shí)可以更靈活地加入局部控制點(diǎn)。

因此，針對(duì)B樣條曲面在局部拼接時(shí)由于曲面細(xì)分而加入冗余控制點(diǎn)的問(wèn)題，本文提出一種更有效的T樣條曲面局部拼接法。該方法利用T樣條曲面的局部均勻細(xì)分算法，將兩張B樣條曲面局部拼接為一張精簡(jiǎn)的T樣條組合曲面，并通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了該拼接法優(yōu)于B樣條曲面細(xì)分拼接法。

1 T樣條曲面基礎(chǔ)

圖1 T 網(wǎng)格及其T 樣條曲面

任何一張B樣條曲面都可以精確轉(zhuǎn)換為一張均勻T網(wǎng)格上的全行列T樣條曲面，如圖2所示。轉(zhuǎn)換后的全行列T樣條曲面在曲面細(xì)分時(shí)可以加入局部控制點(diǎn)，而轉(zhuǎn)換前的B樣條曲面在曲面細(xì)分時(shí)只能加入整行、或者整列的控制點(diǎn)。

圖2 均勻T 網(wǎng)格及其全行列T 樣條曲面

2 局部均勻細(xì)分算法

T 樣條曲面通過(guò)靈活的細(xì)分算法來(lái)加入局部控制點(diǎn)，接下來(lái)將在T 網(wǎng)格上具體描述其中一種較為簡(jiǎn)單的局部均勻細(xì)分算法。

給定一個(gè)T網(wǎng)格TMi，Bia／Bib／Bic／Bid為其上相鄰4個(gè)B樣條函數(shù)。如果這些B樣條函數(shù)在同一方向上具有相同的支持域，就可在T網(wǎng)格上加入一個(gè)新控制點(diǎn)和一個(gè)新B樣條函數(shù)Bi＋1e，如圖3 所示。此時(shí)，TMi就被局部均勻細(xì)分為T(mén)Mi＋1，Bia／Bib／Bic／Bid也被細(xì)分為Bi＋1a／Bi＋1b／Bi＋1c／Bi＋1d／Bi＋1e。

圖3 T 網(wǎng)格上的局部均勻細(xì)分算法

利用局部均勻細(xì)分算法，就可在T 網(wǎng)格邊界上加入局部行的控制點(diǎn)。如圖4所示，通過(guò)對(duì)TM0進(jìn)行水平方向上的局部均勻細(xì)分，可在TM0邊界上加入3行局部控制點(diǎn)，同時(shí)將TM0局部均勻細(xì)分為T(mén)M9。

圖4 T 網(wǎng)格邊界上的局部均勻細(xì)分

3 基于T樣條曲面的局部連續(xù)拼接

設(shè)兩相鄰B樣條曲面為A 和B ，它們需要沿其公共邊界Ab／Bb實(shí)現(xiàn)局部連續(xù)拼接，但Ab與Bb具有不同的邊界定義，并且在這兩張曲面的公共邊界上還存在間隙與重疊，如圖5 （a）所示。如果利用B 樣條曲面細(xì)分來(lái)連續(xù)拼接這兩張曲面，則會(huì)在拼接后的B 樣條組合曲面上加入不必要的冗余控制點(diǎn)。如圖5 （b）所示，曲面A 在局部拼接時(shí)加入了7個(gè)控制點(diǎn)，其中4個(gè)為冗余控制點(diǎn)，因?yàn)樗鼈儗?duì)曲面拼接沒(méi)有任何用處。如果利用T 樣條曲面的局部均勻細(xì)分算法來(lái)進(jìn)行連續(xù)拼接，在曲面細(xì)分時(shí)則不加入任何冗余控制點(diǎn)，從而得到一張控制點(diǎn)更少的T 樣條組合曲面。如圖5 （c）所示，曲面A 在局部拼接時(shí)加入的3個(gè)控制點(diǎn)都不是冗余控制點(diǎn)，因?yàn)樗鼈兌加糜谇嫫唇印?/p>

圖5 相鄰曲面在局部邊界上的連續(xù)拼接

接下來(lái)就對(duì)基于T 樣條曲面的局部拼接法進(jìn)行具體描述：

步驟1 先將B樣條曲面A 和B 精確轉(zhuǎn)換為兩張全行列T 樣條曲面A 和B ，它們分別定義在均勻T 網(wǎng)格uTMA與uTMB上。uTMA的節(jié)點(diǎn)距向量為DA／EA，uTMB的節(jié)點(diǎn)距向量為DB／EB。拼接邊界Ab與Bb也分別定義在兩個(gè)邊界T 網(wǎng)格uTMAb與uTMBb上，其各自節(jié)點(diǎn)距向量為DAb／EAb與DBb／EBb。由于uTMAb≠u(mài)TMBb，Ab與Bb則定義在不一致的邊界T 網(wǎng)格上，如圖6所示。因此，曲面A和B 無(wú)法直接沿其公共邊界Ab／Bb實(shí)現(xiàn)連續(xù)拼接。

圖6 拼接前不一致的邊界T 網(wǎng)格

步驟2 通過(guò)局部均勻細(xì)分算法在T 網(wǎng)格邊界上加入局部控制點(diǎn)，不僅可使Ab與Bb重新定義在一致的邊界T網(wǎng)格上，而且還不加入任何冗余控制點(diǎn)。如圖7 所示，通過(guò)在uTMA邊界上加入一局部行的控制點(diǎn)，將uTMA局部均勻細(xì)分為T(mén)MA，就可使Ab與Bb的邊界T 網(wǎng)格重新恢復(fù)一致，也即uTM′Ab＝uTMBb，其中DAb＝DBb和E′Ab＝EBb。此時(shí)只要重合Ab與Bb的控制點(diǎn)，就可將曲面A 和B沿其局部邊界連續(xù)拼接為一張精簡(jiǎn)的T 樣條組合曲面，如圖5 （c）所示。

4 造型實(shí)例

圖7 局部均勻細(xì)分后一致的邊界T 網(wǎng)格

本文在VC＋＋與VTK 渲染庫(kù)的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)了基于局部均勻細(xì)分的T 樣條曲面局部拼接法，并將其用于車(chē)尾部的后圍板曲面造型。圖8 （a）為待拼接的3張相鄰B 樣條曲面A／B／C。由于曲面A 與曲面B 和C 在各自拼接邊界上具有不同的邊界定義，因此這3張曲面無(wú)法直接實(shí)現(xiàn)局部連續(xù)拼接。為得到圖8 （b）中連續(xù)拼接后的組合曲面，接下來(lái)將利用B樣條曲面細(xì)分拼接法與T 樣條曲面局部拼接法分別構(gòu)建后圍板的曲面模型。

在圖9 （a）中，B樣條曲面A 通過(guò)曲面細(xì)分使其與曲面B 和C 在拼接邊界上具有一致的邊界條件，從而實(shí)現(xiàn)曲面間的連續(xù)拼接。但B樣條曲面A 在細(xì)分時(shí)必須加入兩整行的控制點(diǎn)，總共為40個(gè)控制點(diǎn)，其中28 個(gè)控制點(diǎn)對(duì)曲面拼接沒(méi)有任何用處。拼接后的后圍板曲面模型將由一張B樣條組合曲面來(lái)描述。

圖8 后圍板曲面模型的構(gòu)建

圖9 基于曲面細(xì)分的后圍板曲面拼接

如果將這3張B 樣條曲面轉(zhuǎn)換為全行列T 樣條曲面，就可利用局部均勻細(xì)分來(lái)得到拼接邊界上的一致性，從而將這些曲面局部連續(xù)拼接在一起，如圖9 （b）所示。此時(shí)只需在全行列T 樣條曲面A 的兩側(cè)分別加入兩行局部控制點(diǎn)，一共為12個(gè)控制點(diǎn)，這些控制點(diǎn)全部用于曲面拼接，并且只有圖9 （a）中B樣條曲面細(xì)分拼接時(shí)所加控制點(diǎn)的30%。此時(shí)，后圍板曲面模型就可由一張更精簡(jiǎn)的T 樣條組合曲面來(lái)描述，其上的控制點(diǎn)更少。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出的T 樣條曲面局部拼接法較好地解決了相鄰B樣條曲面在局部拼接時(shí)由于曲面細(xì)分而加入冗余控制點(diǎn)的問(wèn)題。該拼接法利用T 樣條曲面的局部均勻細(xì)分來(lái)實(shí)現(xiàn)拼接邊界上的一致性，同時(shí)不加入任何冗余控制點(diǎn)，因此在局部拼接后可以得到一張更精簡(jiǎn)的組合曲面。最后，通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了該拼接法比B 樣條曲面細(xì)分拼接法更有效，并且還具有較好的工程應(yīng)用價(jià)值。

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