馮瑞敏，陸家騮

中山大學(xué) 管理學(xué)院，廣州 510275

模糊性與股指期貨價格雙向偏差研究

馮瑞敏，陸家騮

中山大學(xué) 管理學(xué)院，廣州 510275

從模糊性視角研究中國股指期貨價格呈現(xiàn)的雙向偏差且正向為主的問題。建立模糊環(huán)境中投資者連續(xù)時間投資消費模型，分析模糊性對投資者最優(yōu)投資消費決策的影響；在理清模糊性影響資產(chǎn)均衡價格作用機理的基礎(chǔ)上，提出模糊性期貨定價模型。利用2010年至2014年中國滬深300指數(shù)以及指數(shù)期貨日交易數(shù)據(jù)，分別運用馬爾科夫鏈蒙特卡洛估計和向量自回歸方法對模糊性期貨價格模型進行實證檢驗。研究結(jié)果表明，在模糊性條件下，投資者對資產(chǎn)的保留價格受其交易頭寸影響，當資產(chǎn)凈持有者推動期貨交易時，期貨價格出現(xiàn)正向偏差，而由資產(chǎn)凈賣空者推動時則出現(xiàn)負向偏差；股指期貨定價和股票指數(shù)服從不同的隨機過程，而且兩者的持有期收益率存在較大差異；股票指數(shù)波動率與股指期貨價格偏差的時間序列關(guān)系與模糊性期貨定價模型的推論一致；中國股指期貨市場的模糊性在統(tǒng)計意義和經(jīng)濟意義上均顯著。新的期貨定價模型闡明了模糊性影響期貨價格的作用機制，強調(diào)了模糊性對資產(chǎn)價格產(chǎn)生的影響，更好地解釋了中國期貨價格偏差現(xiàn)象，對未來模糊性衍生品定價有參考意義。

模糊性；股指期貨；期貨定價；定價偏差；正向偏差

1 引言

股指期貨是一種重要的金融衍生工具，它是投資者對沖和管理風(fēng)險的重要手段，也是投資者構(gòu)建有效資產(chǎn)組合的重要證券。同時期貨作為金融市場信息的主要載體之一，其價格對其他金融資產(chǎn)交易有著價格引導(dǎo)作用。因此，正確理解期貨價格是投資者進行正確投資決策、開發(fā)其他金融衍生產(chǎn)品并對其合理定價的關(guān)鍵因素。

2010年4月，滬深300股指期貨正式上市。股指期貨交易提高了中國股票市場流動性和價格發(fā)現(xiàn)能力[1]，加深了中國資本市場深度[2]，對中國金融市場長期健康發(fā)展有著積極意義。但是已有研究表明，中國期貨市場價格偏差現(xiàn)象(期貨交易價格偏離了完美市場中的理論值)頻現(xiàn)[3-4]。此外，中國股指期貨的偏差方向特征與國外市場有著顯著差異。其他資本市場，如新興市場土耳其[5]、澳大利亞[6]等，大多表現(xiàn)為負向定價偏差。中國股指期貨市場價格則呈現(xiàn)雙向偏差，且正向偏差現(xiàn)象更為常見[7-8]。雖然現(xiàn)有的期貨定價理論能較好地解釋國外資本市場期貨定價現(xiàn)象，但它們對中國特有的期貨定價偏差特征解釋力度略顯不足。這表明現(xiàn)有的期貨定價理論存在局限性，因而研究中國股指期貨市場特有的定價偏差現(xiàn)象可以更好地理解金融市場運行規(guī)律，為未來衍生品定價提供更可靠的理論依據(jù)。此外，分析產(chǎn)生正向定價偏差的原因有助于提高中國金融市場的定價效率、促進中國金融市場發(fā)展。為此，本研究從模糊性這個新視角建立期貨價格模型，以解釋中國期貨價格特征。

2 相關(guān)研究評述

在完美的金融市場中，期貨價格 (期貨交割價格的無風(fēng)險利率下的折現(xiàn)值)應(yīng)該等于股票價格。但在現(xiàn)實中，期貨價格偏差卻普遍存在，這促使學(xué)者和投資者重新考慮現(xiàn)實交易摩擦對期貨價格產(chǎn)生的影響。持有成本模型[9-10]考慮稅收、借貸成本差異等交易摩擦，改進了定價模型對現(xiàn)實的解釋力度。隨后，市場交易機制(如現(xiàn)貨市場賣空約束)也被納入持有成本模型中。持有成本模型確定了期貨價格有效理論價格區(qū)間，解釋了大部分價格偏差。然而它并不能解釋股指現(xiàn)貨與期貨市場之間的動態(tài)關(guān)系，尤其是價格偏差的系統(tǒng)性特征，如期貨價格偏差呈現(xiàn)的負向性、偏差程度的均值回歸等[11]。隨后發(fā)展出來的隨機利率期貨價格模型[12]能較好地解釋國外股指期貨市場出現(xiàn)的負向價格偏差、偏差均值回歸等現(xiàn)象。然而從模型結(jié)論看，持有成本模型和隨機利率模型都傾向于解釋股指期貨價格的負向偏差，對于中國股指期貨價格的雙向偏差，尤其是頻繁的正向偏差現(xiàn)象解釋力度較弱。

經(jīng)典模型、持有成本模型和隨機利率模型都建立在將不確定性簡化為風(fēng)險的假設(shè)上，此時經(jīng)濟體中的不確定性由單個概率測度(主觀或者客觀)刻畫。但是風(fēng)險只是不確定性中一種特殊的類型，不能涵蓋投資者面臨的大部分的不確定性[13]。在風(fēng)險框架下，只存在唯一的概率測度用來衡量資產(chǎn)未來收益。期貨合約在行權(quán)日的收益與股票相等，套利機制作用下期貨現(xiàn)值等于股票價格。同時，由于期貨與股票未來收益相等，當兩者出現(xiàn)價格偏離時，投資者只持有價格較低的證券。投資者最優(yōu)投資決策也使期權(quán)價格與股票價格相等。因此，無套利機會機制和投資者決策保證了風(fēng)險條件下的期貨價格等于股票價格，不存在價格偏差。在更廣義的不確定性環(huán)境即模糊性環(huán)境中，投資者找不到一個合適的概率測度能刻畫經(jīng)濟體中的不確定性[14]，他將用概率測度集合描述不確定性。對應(yīng)于該概率集合中每一個概率測度期貨的未來收益都有一個折現(xiàn)值。因為模糊性環(huán)境中投資者擁有的信息量不足以辨別出概率測度集中于哪個概率更符合現(xiàn)實[15-16]。在投資者眼中這些折現(xiàn)值都是可能的期貨價格，它們組成了期貨可行價格集合。當期貨價格等于可行價格集合中的任一值時，無套利機制和投資者投資決策都不能消除期貨價格偏差。

一方面，由于套利機會在模糊性環(huán)境中覆蓋的范圍更小，所以無套利機制在模糊性環(huán)境中產(chǎn)生的價格約束能力相對較弱。TIAN et al.[17]定義了模糊性環(huán)境中套利機會，即如果一個自融資的交易策略保證未來所有狀態(tài)下收益非負且今天獲得確定性收益，或者今天獲得一個非負收益且未來對應(yīng)的每一個概率測度集合都存在一個非零測度的概率可以獲得正收益，那么這個自融資交易策略是一個套利機會。根據(jù)這個套利機會的定義，當期貨價格等于可行價格集合中的任一價格，期貨市場都不存在套利機會。因此，模糊性環(huán)境下的無套利機制不能確保在交割日前期貨價格等于股票價格，期貨價格偏差可能出現(xiàn)。事實上，POLKOVNICHENKO[18]已指出，即使資產(chǎn)數(shù)量趨向無窮大并且定價因子明確，無套利定價也不能消除模糊性環(huán)境中的定價偏差。

另一方面，在模糊性環(huán)境均衡價格下，投資者不一定參與期貨交易。模糊性厭惡型投資者會對未來做出相對保守的決策，即最優(yōu)化最壞情景下的投資策略和消費策略[19]。此時只有當期貨價格低于期貨可行價格集合的最小值時，他才會買入期貨；只有當期貨價格高于可行價格集合的最大值時，他才會賣出期貨；而當資產(chǎn)價格處于可行價格集合范圍內(nèi)時，投資者不參與期貨交易[20]。因此模糊環(huán)境中市場均衡價格是一個價格區(qū)間，而非一個確定值[21-22]。均衡定價區(qū)間表明模糊性是期貨價格偏差現(xiàn)象的一個合理的解釋。

除了股票定價，其他資產(chǎn)的模糊性定價的研究在近年也有長足的發(fā)展[23-24]。GAGLIARDINI et al.[25]利用模糊性和模糊厭惡解釋利率的期限結(jié)構(gòu)現(xiàn)象；DRECHSLER[26]和LIU et al.[27]從模糊性視角解讀價外看跌期權(quán)價格相對高、波動率溢價等傳統(tǒng)金融異象；FARIA et al.[28]和EPSTEIN et al.[29]分別給出擴散項和波動率存在模糊性時的期權(quán)定價模型。此外，BAUM et al.[30]和GUO[31]發(fā)現(xiàn)企業(yè)的信用違約互換(CDS)中過高的信用溢價是由模糊性造成的。這些研究表明模糊性對多種類型的資產(chǎn)價格都產(chǎn)生重要影響，因此有必要分析模糊性對期貨價格產(chǎn)生的影響。

然而目前關(guān)于模糊性期貨定價的研究還較少，在筆者了解的范圍內(nèi)尚未有直接討論模糊性對期貨價格的影響的研究。這一定程度上是因為傳統(tǒng)單一定價核方法(如代表性投資者均衡模型)在分析模糊性期貨價格問題上存在一定的局限,單一定價核忽視了投資者在模糊性環(huán)境中可能產(chǎn)生的內(nèi)生性意見分歧。針對這個局限，本研究引入多參與者均衡模型。事實上多參與者均衡模型是研究到期日收益與標的資產(chǎn)相同的衍生資產(chǎn)模糊性定價的一個有效方法。在模糊性商品遠期合約交易的分析中大多引入生產(chǎn)者和對沖者兩個交易者[32-35]，這些模糊性遠期合約交易模型明確了多交易對手對于均衡價格的重要性，這對于模糊性期貨交易分析具有啟發(fā)意義。但股指期貨合約和商品遠期合約的標的資產(chǎn)存在兩個顯著差異。首先，標的資產(chǎn)的供給存在差異。商品供給可由生產(chǎn)者自由決定，而股票的供給相對固定。其次，標的資產(chǎn)交易時間存在差異。商品遠期合約中的標的資產(chǎn)只參與未來時期的交易，而期貨合約的標的資產(chǎn)則能同時參與當期和未來時期的交易。這使期貨價格不僅受到交易者跨期邊際效用的限制，還受到當期股票價格的影響。標的資產(chǎn)的差異性使模糊性期貨價格模型具有自身特性。為此本研究嘗試建立模糊性期貨定價模型，以更好地分析模糊性對不同類型資產(chǎn)的定價產(chǎn)生的影響。

結(jié)合模糊性期貨定價模型，本研究提出測定中國金融市場模糊性的可行方法。BOYARCHENKO[36]利用危機前后CDS溢價的變動測定投資模糊性系數(shù)的改變，但是相應(yīng)衍生產(chǎn)品的缺失使該方法不適用于中國金融市場。JEONG et al.[37]收集股票市場、消費市場和勞動市場數(shù)據(jù)，根據(jù)基于消費的宏觀金融模型估計投資者的模糊性厭惡系數(shù)。由于依賴宏觀數(shù)據(jù)，該方法估計的市場模糊性存在樣本時間跨度較長、更新頻率較低的缺陷。相較而言，利用期貨價格測定市場模糊性更為便捷。一方面期貨價格數(shù)據(jù)更為易得，收集成本較低；另一方面，期貨價格數(shù)據(jù)更新速度較快，可以在較短的時間范圍內(nèi)跟蹤市場模糊性的變動。因此，模糊性期貨定價模型提供了快速有效測量市場模糊性的依據(jù)。

在此基礎(chǔ)上，本研究對中國股指期貨市場的模糊性溢價進行定量分析，為以后模糊性溢價的定量分析提供一種解決思路。

3 模糊性期貨定價模型

3.1 模型基本假設(shè)

基于模糊性厭惡的思想，GILBOA et al.[38]提出最大最小化期望效用函數(shù)刻畫模糊厭惡型投資者偏好。投資者會在概率測度集合中選取最小化其期望效用的概率測度作為衡量其期望效用的標準，并以此為依據(jù)制定最大化其效用的投資消費策略。EPSTEIN et al.[22]將兩期的模糊厭惡效用函數(shù)拓展至多期情景。國內(nèi)外學(xué)者沿著這一思路定義投資者模糊厭惡型偏好[19,39-40]。本研究假設(shè)投資者具有模糊厭惡偏好，其效用函數(shù)為

(1)

3.1.1 僅存在風(fēng)險的情況(特殊情況)

當經(jīng)濟體中未來的不確定性簡化為風(fēng)險時，股票價格過程可以由單個概率測度p刻畫。在該概率測度下，時間t的股票價格為St，股票市場波動率為vt，這兩個狀態(tài)變量的隨機過程滿足

(2)

狀態(tài)變量服從的隨機過程包括布朗運動和跳躍兩個部分，相對于CHEN et al.[39]僅包含布朗運動的隨機過程假設(shè)更貼合股票市場實際表現(xiàn)。事實上，狀態(tài)變量隨機過程(2)式是刻畫觀察得到的股票價格的較為一般的形式，而且該假設(shè)具有較高的靈活程度，在一定的條件下可轉(zhuǎn)化為SV和SVJ等模型[41-43]。

3.1.2 存在模糊性的情況(一般情況)

現(xiàn)實交易過程中由于經(jīng)驗數(shù)據(jù)限制、對未來的信息量有限等原因，投資者不能確信一個唯一概率測度。根據(jù)現(xiàn)階段信息，投資者能得到一個與客觀狀態(tài)最為接近的概率測度作為參考點(即基準概率測度p)以及基準概率測度附近的一些概率測度作為可能的測度。這些概率測度組成的概率測度集合為?，模糊性厭惡偏好使投資者在做經(jīng)濟決策時會考慮?對經(jīng)濟后果產(chǎn)生的影響。為了論述方便，由參數(shù)向量α標記概率測度集合中概率測度q(α)。根據(jù)Gisarnov定理，概率測度和基準概率測度的布朗運動部分滿足

(3)

(4)

α刻畫了新概率測度對原概率測度的偏離程度，因此可以用偏離程度參數(shù)向量α代表新的概率測度，α=(αS,αv,αλ,αμy,ασ,αμv)。相應(yīng)地，偏離程度參數(shù)向量集合{α}等價于可能的概率測度集合?。直觀地，可以利用參數(shù)區(qū)間劃定偏離程度向量集合。參數(shù)向量α滿足

φ?0

(5)

參數(shù)范圍向量φ劃定了偏離程度參數(shù)向量集合{α}，因此在給定基準概率測度的情況下，φ確定了概率測度集合?，也即投資者面臨的模糊性可以由參數(shù)范圍向量φ刻畫。這個利用參數(shù)范圍刻畫概率測度集合的方法與GARLAPPI et al.[44]參數(shù)置信區(qū)間刻畫模糊性的方法一致。

3.2 股票-債券均衡模型

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

定理1 模糊性參數(shù)取值

(1)布朗運動部分的模糊性參數(shù)αS和αv的取值取決于投資者持有資產(chǎn)的頭寸以及他們對待波動率的偏好，即αS=1ωitφS，φS>0；αv=1Jvφv，φv>0，即

其中，1ωit為投資頭寸的示性函數(shù)，1Jv為價值函數(shù)關(guān)于波動率的偏導(dǎo)函數(shù)Jv的示性函數(shù)。

(2)跳躍部分模糊性參數(shù)取值

股票價格跳躍幅度：

投資者最終選取的概率測度隨投資者投資決策的變動而變動。將投資者的模糊性參數(shù)代入(9)式，并根據(jù)一階條件求解投資者最優(yōu)的消費決策和投資決策。

定理2 消費決策和投資決策

時間t投資者的最優(yōu)消費為

(14)

最優(yōu)投資于股票的比率為

(15)

投資者持有的信息是相同的，不存在私有信息，即假設(shè)投資者面臨的模糊性和模糊性偏好一致。當投資者對待風(fēng)險偏好和波動偏好一致時，投資者持有相同方向的資產(chǎn)頭寸。然而在現(xiàn)實資本市場中，既存在持有股票的投資者也存在賣空股票的投資者，因此投資者偏好存在一定的差異。本研究假設(shè)經(jīng)濟體中的投資者均為風(fēng)險厭惡(γi<1)，這與投資者厭惡不確定性的偏好保持一致。為方便論述，假設(shè)投資者的風(fēng)險偏好一致(即所有投資者風(fēng)險厭惡系數(shù)等于市場風(fēng)險厭惡系數(shù)γ，γi=γ)，投資者對待波動率偏好的差異驅(qū)使他們持有不同的資產(chǎn)頭寸。假設(shè)投資者忍受波動率的程度在市場中均勻分布，即βi∈[-1,1]。在均衡時，整個資本市場的總需求為1，即

(16)

(17)

雖然存在模糊性，但是一方面均衡時客觀概率測度下的股票價格滿足的隨機過程與基準概率測度下的隨機過程一致；另一方面由于投資者的交易不影響股票價格波動率，股票價格波動率依然滿足基準概率測度。均衡時狀態(tài)變量滿足的客觀概率下的隨機過程與投資者觀測的基準概率測度下的隨機過程一致，基準概率測度即為市場觀測的客觀概率測度。根據(jù)均衡時的股票價格可以建立起金融資產(chǎn)在股票市場中的影子價格，該影子價格可以通過風(fēng)險中性概率Q測度表達。

當經(jīng)濟體只存在股票和債券兩個市場且實現(xiàn)均衡時，具有模糊性異質(zhì)性的所有投資者的整體行為可用市場代表性投資者表示，也即代表性投資者等價于市場。

定理3 風(fēng)險中性股票價格隨機過程

具有模糊性的股票-債券市場實現(xiàn)均衡時，股票價格滿足的隨機過程使風(fēng)險厭惡型代表性投資者在基準概率測度p下的最優(yōu)消費決策等于股利、最優(yōu)投資比率等于1。代表性投資者的消費投資決策問題為

(18)

其中，Ep為基于基準概率測度p的期望。此時存在與代表性投資者偏好相對應(yīng)的風(fēng)險中性測度Q，在該測度下股票價格表現(xiàn)為

(19)

這與傳統(tǒng)的資產(chǎn)定價得到的結(jié)論相同。該風(fēng)險中性概率測度提供了客觀概率測度下隨機過程與資產(chǎn)價格的關(guān)系，在這個價值衡量標準下，股票市場認為的未來時間T、股票價格ST與現(xiàn)貨價格之間應(yīng)滿足St，則

(20)

其中，rτ為未來時間區(qū)間[t,T]中時刻τ的無風(fēng)險利率。作為基準，在時間t市場對未來時刻T股票價格的均衡預(yù)期為Ft，它等于未來股票價格在風(fēng)險中性測度Q下的期望，即

(21)

其中，EQ為基于風(fēng)險中性測度Q的期望。在風(fēng)險中性概率測度Q下，F(xiàn)t滿足的隨機過程為

(22)

記股票市場對未來股票價格的現(xiàn)值(也即期貨價格)為ft，ft=Ftexp[-rt(T-t)]。由(22)式可知，在風(fēng)險中性概率測度下其滿足的隨機過程為

(23)

根據(jù)Gisarnov定理，在基準概率測度p下，期貨價格服從相同的隨機過程，也即

(24)

該隨機過程與股票價格滿足的隨機過程相同。因為在到期日期貨價格與股票價格必然相等，因此當金融市場僅存在股票和債券兩個資產(chǎn)時，期貨價格等于股票價格。該期貨價格和經(jīng)典金融理論下的價格一致。因此股票價格是期貨價格在基準概率測度下的影子價格。然而在期貨市場現(xiàn)實的交易價格不一定等于未來股票價格在股票現(xiàn)貨市場中影子價格。

3.3 股票-債券-期貨市場模型

股票是期貨的標的資產(chǎn)，因而(24)式實際上是期貨價格在基準概率測度下服從的隨機過程。當存在模糊性時，期貨價格并不一定與股票價格相等。首先，無套利機制不能保證模糊環(huán)境中的期貨價格與股票價格相等。參與股票市場和期貨市場的投資者人數(shù)、買賣頭寸等存在差異，兩個市場存在不同的價格變動的可能。當期貨價格屬于可行價格集合時，多個概率測度使投資者難以構(gòu)造一個具有確定性收益的資產(chǎn)。因此，模糊性使投資者把基準模型附近的概率測度納入考慮范圍內(nèi)。此時期貨滿足的隨機過程為

(25)

φf的大小取決于期貨市場中的信息效率。

(26)

股票市場和期貨市場交易的資產(chǎn)不同，模糊性程度也會不同。當投資者可以同時投資股票市場和期貨市場，均衡時期貨市場的模糊性程度與股票市場相等，也即φf=φ，否則模糊性程度較高的市場將被模糊性程度較低的市場取代。

拋補型的投資者可以自身構(gòu)造出與期貨收益率一致的資產(chǎn)組合，只有當期貨價格具有競爭力時，他們才會選擇期貨市場。在股票市場風(fēng)險中性概率測度下，期貨價格滿足的隨機過程為

(27)

比較(27)式與風(fēng)險中性概率測度下的期貨價格隨機過程(23)式可以發(fā)現(xiàn)，期貨價格隨機過程和影子價格隨機過程存在一定的差異，兩者的差異由投資者最終選擇衡量的概率測度q(αf)與基準概率測度之間的差異決定。由于可選的概率測度q(αf)與基準概率測度的差異在范圍φf內(nèi)，因此期貨價格在一定的范圍區(qū)間內(nèi)，即

(28)

(29)

(30)

因此，在存在模糊性的經(jīng)濟環(huán)境中，期貨價格偏差存在雙向偏差的可能。期貨市場價格的最終實現(xiàn)及其滿足的隨機過程由期貨市場主要推動者決定。因為φS>0，所以當賣空者推動期貨交易時，期貨價格的漂移率低于影子價格的漂移率，期貨價格將低于影子價格，因而期貨市場價格呈現(xiàn)負偏差；當資產(chǎn)凈持有者推動期貨期貨交易時，期貨價格漂移率高于溢價價格的漂移率，期貨價格將高于影子價格，因而期貨市場價格呈現(xiàn)正偏差。中國資本市場投資者存在較強的融資約束，而持有期貨需要的初始資本較少，資產(chǎn)凈持有者更傾向持有期貨，從而形成以資產(chǎn)凈持有者推動為主的期貨市場，期貨價格出現(xiàn)正向偏差。在股市低迷時，中國資本市場存在的賣空約束會使資產(chǎn)凈賣空者更愿意進入期貨市場，此時期貨市場由賣空者推動，期貨價格為負向偏差。

4 股票指數(shù)和股指期貨對比分析

以上論述表明，期貨價格和股票價格在模糊性環(huán)境中呈現(xiàn)與風(fēng)險環(huán)境中不同的關(guān)系，即在風(fēng)險環(huán)境中期貨價格唯一，期貨價格與股票價格相等；在模糊性環(huán)境中期貨價格在一定的區(qū)間內(nèi)變動，不一定與股票價格相等。期貨市場推動者持有頭寸的差異使期貨市場呈現(xiàn)雙向偏差，下面利用中國股指期貨實際交易數(shù)據(jù)對本研究提出的模糊性期貨定價模型進行實證檢驗。首先，對比股票指數(shù)和股指期貨的收益率以及服從的隨機過程，判斷是否滿足傳統(tǒng)風(fēng)險環(huán)境的等價關(guān)系；然后，根據(jù)模糊性期貨定價的推論，檢驗波動率和期貨價格偏差在時間序列中的關(guān)系；最后，對中國金融市場的模糊性進行定量衡量，用模糊性解釋中國期貨市場和股票市場的偏離程度。

本研究采用2010年4月16日至2014年12月19日到期的所有期貨合約(共56個)日交易數(shù)據(jù)，同時也截取相同時間區(qū)間內(nèi)滬深300指數(shù)的日交易數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)均來自萬德數(shù)據(jù)庫。

4.1 股票指數(shù)和股指期貨收益率比較

在本研究分析的時間區(qū)間內(nèi)，股票指數(shù)和股指期貨價格基差(即股票指數(shù)與股指期貨之差)的走勢見圖1。股票指數(shù)和期貨指數(shù)存在一定的差異，但總體走勢一致，基差基本在[-100, 50]范圍內(nèi)變動。中國股票市場從2010年4月的3 400點經(jīng)過較為完整的周期后在2014年底重新回到3 400多點。在樣本區(qū)間內(nèi)中國股票市場經(jīng)歷了完整的漲跌周期，能較全面地反映模糊性在不同階段定價產(chǎn)生的影響。

圖1 股票指數(shù)與股指期貨價格基差走勢Figure 1 Trends of Stock Index and Stock Index Future Price Basis

合約股票指數(shù)股指期貨合約股票指數(shù)股指期貨合約股票指數(shù)股指期貨合約股票指數(shù)股指期貨IF1005-1.765-2.003IF1007-0.610-0.784IF1009-0.347-0.437IF10111.1731.057IF1006-1.180-1.282IF10080.2370.170IF10101.1731.057IF1012-0.060-0.148IF1101-0.340-0.414IF1201-0.237-0.253IF13011.1601.128IF1401-0.591-0.551IF11020.068-0.058IF12020.4250.388IF13021.2921.217IF1402-0.057-0.130IF11030.3110.254IF1203-0.249-0.303IF13030.1180.079IF1403-0.031-0.030IF11040.2060.088IF12040.2030.133IF1304-0.339-0.428IF14040.0290.034IF1105-0.160-0.205IF1205-0.134-0.153IF13050.2260.150IF1405-0.096-0.003IF1106-0.191-0.248IF1206-0.005-0.042IF1306-0.016-0.080IF1406-0.207-0.214IF11070.2260.171IF1207-0.418-0.401IF1307-0.964-0.867IF14070.1330.205IF1108-0.131-0.185IF1208-0.594-0.604IF13080.3860.490IF14080.6690.686IF1109-0.117-0.188IF1209-0.163-0.204IF1309-0.108-0.141IF14090.1830.147IF1110-0.628-0.631IF12100.0840.013IF13100.2690.262IF14100.1830.154IF1111-0.171-0.193IF1211-0.124-0.226IF1311-0.283-0.278IF14110.5420.464IF1112-0.435-0.483IF1212-0.136-0.175IF1312-0.155-0.158IF14120.8300.820

根據(jù)傳統(tǒng)的完全市場無套利期貨定價，股票指數(shù)和股指期貨應(yīng)當滿足ft=Ste(r-d)·(T-t)，因此股指期貨持有期收益率rF與股票指數(shù)持有期收益率rS之間滿足的關(guān)系為

rF=rS[1-(r-d)·(T-t)]-(r-d)·(T-t)

(31)

其中，r為無風(fēng)險利率，d為股票指數(shù)的分紅率。

目前尚無統(tǒng)一的衡量無風(fēng)險利率的標準，存款基準利率是衡量中國無風(fēng)險利率的常用指標之一。由于期貨到期時間長短不同，難以確定其一一對應(yīng)的存款利率，一般的做法是選取活期存款利率為無風(fēng)險利率，中國活期存款利率為0.350%。為避免存款利率選取差異產(chǎn)生的影響，在計算收益率時直接比較股指期貨指數(shù)收益率和同時期的股票指數(shù)收益率(剔除股息后的收益率)，股指期貨持有期收益率和相同時期的股票指數(shù)年化收益率見表1。除IF1207、 IF1307、 IF1308、 IF1311、IF1401、IF1403、 IF1404、IF1405、 IF1407、 IF1408這10個合約，其余46個合約相應(yīng)的持有期內(nèi)股票指數(shù)的收益率高于股指期貨收益率。股票指數(shù)平均持有期收益率為-1.640%，若考慮股息收益率更高。而股指期貨持有期收益率為-5.952%，即使加上0.350%的活期存款利率，股指期貨的收益率依然低于股票指數(shù)收益率。從持有期收益率看，股指期貨存在雙向偏差，而正向偏差更為普遍。

表2 股票指數(shù)和股指期貨日收益率描述性統(tǒng)計Table 2 The Descriptive Statistics of Stock Index′s and Stock Index Futures′ Daily Return

為了更直接地觀察股票指數(shù)和股指期貨變動情況，本研究將對比股票指數(shù)和股指期貨短期收益率分布的差異。一般認為期貨市場的信息僅領(lǐng)先股票市場幾分鐘到十幾分鐘，為避免信息在不同市場中傳播速度差異導(dǎo)致的股票指數(shù)與股指期貨變動不一致問題，本研究選取日交易數(shù)據(jù)進行分析。此外，期貨合約在發(fā)行初期成交量較少，隨著合約到期日期臨近成交量逐漸放大，為避免流動性溢價對分析產(chǎn)生的影響，本研究選取每個交易日中所有期貨合約中最接近到期日的期貨合約的交易指數(shù)作為當天股指期貨指數(shù)。從2010年4月16日至2014年12月19日，共有1 135個交易日。

不考慮股息的日收益率為rx(t)，rx(t)=100·{log[x(t)]-log[x(t-1)]}，x為股票指數(shù)或股指期貨。股票指數(shù)和股指期貨每天收益率的描述性統(tǒng)計見表2，股票指數(shù)平均日收益率為0.100%，而股指期貨的平均日收益率為-0.200%。平均而言，股指期貨日收益率低于股票指數(shù)日收益率，雖然兩者方差接近，但是兩者的偏度存在差異，股票指數(shù)偏度為-0.135，而股指期貨的偏度則為正，為0.064。此外，股指期貨收益率分布的厚尾現(xiàn)象更為明顯，股票指數(shù)的峰度為5.033，而股指期貨的峰度為6.684。偏度和峰度的差異表明股票指數(shù)與股指期貨日收益率的分布形態(tài)有較大差別，而且偏差變動(股指期貨收益率-股票指數(shù)收益率)也呈現(xiàn)厚尾的現(xiàn)象，其峰度為7.533。股票指數(shù)與股指期貨日收益率的差異存在較大的極端值。因此，從靜態(tài)比較看，兩者的收益率分布存在較大差異。

4.2 股票指數(shù)與股指期貨隨機過程比較分析

進一步分析股票指數(shù)和股指期貨兩個指數(shù)服從的隨機過程是否一致，經(jīng)典的擬合股票市場價格水平用隨機波動率(SV)、隨機波動率帶跳(SVJ)和隨機波動率關(guān)聯(lián)跳躍(SVCJ)這3個模型。SV模型是在(2)式的基礎(chǔ)上，假設(shè)不存在跳躍，也即λ=0；SVJ模型是在(2)式的基礎(chǔ)上認為只有股票價格存在跳躍，波動率不存在跳躍，也即跳躍幅度率參數(shù)μv=0；SVCJ模型是指股票價格滿足(2)式的隨機過程。本研究分別利用這3個隨機模型分析中國股票指數(shù)和期貨指數(shù)隨機波動情況。

利用馬爾科夫鏈-蒙特卡洛貝葉斯估計方法(MCMC)對股票指數(shù)和期貨指數(shù)的隨機過程的參數(shù)和波動率進行估計，這是較為成熟的估算價格隨機波動參數(shù)的方法，能較好地克服利用最大似然估計或廣義矩估計方法估計潛變量面臨的“高維度詛咒”，詳細的方法參見ERAKER et al.[42]、LI et al.[46]和喬高秀等[47]的研究。樣本區(qū)間為2010年4月16日至2014年12月19日的股票指數(shù)和按照前文方法選取的股指期貨。為保證隨機抽樣能夠收斂，參照LI et al.[46]的處理，抽樣次數(shù)為5萬次，前3萬次為burn-in抽樣，后2萬次結(jié)果作為參數(shù)估計的有效抽樣，估計結(jié)果見表3。由表3可知，股票指數(shù)和股指期貨在3個模型中的漂移率μ都為負，股票指數(shù)的漂移率μ均不顯著，而股指期貨的漂移率在SVJ和SVCJ這兩個模型中都顯著為負，對應(yīng)于每個模型，股指期貨的漂移率都低于相同模型下的股票指數(shù)漂移率，表明股指期貨的期望收益率低于股票指數(shù)的期望收益率，這與前面關(guān)于兩個指數(shù)收益率的靜態(tài)分析一致。關(guān)于波動率方面，股票指數(shù)的θ高于股指期貨，這與表2中的統(tǒng)計值一致。股指期貨的波動率調(diào)整速度κ要高于股票指數(shù)，意味著股指期貨波動率能更快地回復(fù)到穩(wěn)定水平，股指期貨市場的靈活程度更高。此外，股指期貨面臨沖擊的程度更高。在SVJ和SVCJ兩個模型中，股指期貨的跳躍強度λ均大幅度高于股票指數(shù)。在SVJ模型中兩個指數(shù)的收益率跳躍幅度的期望參數(shù)μy相差較大，股票指數(shù)的為0.068，而股指期貨的為0.530。在SVCJ模型中，股票指數(shù)和股指期貨的ρj均呈現(xiàn)負相關(guān)，而這個相關(guān)關(guān)系在股票市場中表現(xiàn)得更為密切，股票指數(shù)的ρj為顯著的-0.632，而股指期貨的ρj則為-0.203，不顯著。

從3個模型的估計結(jié)果看，股票指數(shù)服從的隨機過程與股指期貨服從的隨機過程存在較大差異。因此，現(xiàn)實交易的股票指數(shù)和股指期貨價格隨機過程并不如(19)式和(23)式一樣等價，也即特殊環(huán)境(風(fēng)險環(huán)境)下的隨機過程并不能很好地刻畫現(xiàn)實交易中的股票指數(shù)和股指期貨價格隨機過程。

5 偏差分析

前文已經(jīng)分析了期貨價格與股票價格隨機過程之間存在不一致的現(xiàn)象，下面將分析股指期貨價格偏差程度以及影響因素。本研究中的偏差主要指期貨交易價格相對于其經(jīng)典理論價格的偏離，在不考慮交易成本(稅收、交易費用等)的情況下，期貨價格偏差等于期貨價格相對于股票價格的偏離，本研究用期貨價格和股票價格的對數(shù)之差衡量期貨價格偏離的程度。圖2為偏差的水平走勢圖，在樣本期內(nèi)，偏差出現(xiàn)較大的波動，且正向和負向偏離均可能出現(xiàn)。圖3為偏差的變動圖，由圖3可知，偏差的變動(偏差收益率)在樣本期內(nèi)呈現(xiàn)較大的波動。

表3 股票指數(shù)和股指期貨隨機過程參數(shù)估計Table 3 Stochastic Process′ Parameters Estimation of Stock Index and Stock Index Futures

注：系數(shù)估計以天為單位；括號中的數(shù)據(jù)為系數(shù)估計的標準差；*為p<0.100,**為p<0.050,***為p<0.010，下同。

不同的期貨價格模型得到的期貨價格偏差與偏差變動特征不同，在完美市場無套利機制下不存在偏差，偏差變動為0，即

(32)

隨機波動利率模型的偏差變動與波動率值相關(guān)，參考HEMLER et al.[12]的研究可得

(33)

由前文可知，模糊性期貨定價模型的偏差變動為

圖2 股指期貨價格偏差Figure 2 Stock Index Future Price Deviation

(34)

圖3 價格偏差變動百分比Figure 3 Percentage Changes of Price Deviation

完美市場中期貨偏差變動與現(xiàn)實不符，因此本研究只對隨機波動率模型和模糊期貨定價模型關(guān)于偏差變動的關(guān)系進行檢驗。由(2)式可知，狀態(tài)變量波動率vt與股票價格St相互影響，由(23)式和(24)式可知，狀態(tài)變量波動率vt與期貨價格ft也存在相互影響。為解決兩個變量同期之間產(chǎn)生的內(nèi)生性問題，采用向量自回歸(簡稱VAR)的方法進行分析，回歸模型為

yt=c+A1yt-1+A2yt-2+…

(35)

其中，yt為變量向量；c為常數(shù)向量；Al為滯后l期系數(shù)向量，l=1,2,…。

在樣本期內(nèi)，中國股票指數(shù)變動較大，為了避免不同樣本時間段選擇的偏差對結(jié)論產(chǎn)生的影響，本研究對股票指數(shù)進行結(jié)構(gòu)突變檢驗，并根據(jù)結(jié)構(gòu)突變點對不同長度的樣本區(qū)間進行分析。根據(jù)BAI et al.[48]的全局最小殘差平方和的方法尋找數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)存在突變的點，在突變結(jié)構(gòu)次數(shù)最大值為5的前提下，依據(jù)BIC和RSS尋找最優(yōu)結(jié)構(gòu)突變個數(shù)和結(jié)構(gòu)突變點。在樣本期內(nèi)，中國股票指數(shù)存在兩個結(jié)構(gòu)突變點，分別是2011年9月1日和2012年6月21日。利用MCMC方法估計不同樣本期內(nèi)參數(shù)和潛變量，并計算向量自回歸分析所需的變量時間序列。

VAR分析前首先對相關(guān)時間序列進行平穩(wěn)性檢驗，SV、SVJ和SVCJ這3個模型得到的波動率、波動率開方、跳躍變動絕對值以及偏差、偏差絕對值的時間序列都通過了單位根檢驗，均為平穩(wěn)時間序列。在不同的樣本期內(nèi)，分別根據(jù)AIC和BIC等信息準則選取不同模型(SV，SVJ，SVCJ)向量自回歸的最優(yōu)滯后階數(shù)，然后根據(jù)最優(yōu)滯后階數(shù)進行向量自回歸分析，最后對偏差變動和偏差變動絕對值進行格蘭杰因果檢驗。本研究分析的重點是偏差變動，為節(jié)省篇幅，這里主要報告偏差的回歸結(jié)果。

在3個樣本期間內(nèi)，HEMLER et al.[12]期貨價格模型的波動率的滯后項對偏差變動的解釋力度較弱，其系數(shù)基本不顯著。而波動率對偏差變動的格蘭杰因果檢驗的p值為0.193，表明即使在10%顯著性水平下也不能認為波動率是偏差變動的格蘭杰原因。因此，中國期貨價格并不支持Hemler & Longstaff期貨價格模型。

表4 基于SV模型的向量自回歸分析Table 4 Vector Auto-Regression Analysis of SV Model

由表5可知，在基于SVJ模型的3個時間段的回歸分析中，存在波動率開方的滯后項在5%的顯著性水平下顯著，其中第1個樣本期內(nèi)波動率開方的滯后1期、第2個樣本間內(nèi)波動率開方的滯后4期以及第3個樣本期內(nèi)波動率開方的滯后3期，而跳躍項的滯后4期、滯后4期和滯后2期分別在3個樣本期間內(nèi)在5%的顯著性水平下顯著。格蘭杰因果檢驗顯示，在樣本期2010年4月16日至2011年9月1日和2010年4月16日至2014年12月19日內(nèi)，波動率開方是偏差變動絕對值的格蘭杰原因，而在樣本期2010年4月16日至2012年6月21日內(nèi)，跳躍變動絕對值是偏差變動絕對值的格蘭杰原因。

在基于SVCJ模型中，模糊性期貨價格模型得到相似的結(jié)果。在樣本期2010年4月16日至2011年9月1日內(nèi)，波動率開方的滯后2期和滯后4期顯著，波動率開方是偏差變動絕對值的格蘭杰原因。在樣本期2010年4月16日至2012年6月21日內(nèi)，雖然不存在波動率開方的滯后項顯著，但是跳躍變動絕對值的滯后4期在1%顯著性水平下顯著，且格蘭杰因果檢驗顯示跳躍變動絕對值是偏差變動絕對值的格蘭杰原因。在樣本期2010年4月16日至2014年12月19日內(nèi)，波動率開方滯后3期和滯后4期顯著，格蘭杰因果檢驗的p值為0.000，波動率開方是偏差變動絕對值的格蘭杰原因。跳躍變動絕對值的滯后4期在1%顯著性水平下顯著，且跳躍變動絕對值的格蘭杰因果檢驗p值為0.039，因此跳躍變動絕對值也是偏差變動絕對值的格蘭杰原因。因此，向量自回歸結(jié)果支持模糊性期貨定價模型。

6 模糊性的測度

為了更好地檢驗?zāi)：云谪浂▋r模型的有效性，下面對中國期貨市場的模糊性進行測度。由模型推導(dǎo)可知，期貨價格的邊界滿足以下隨機過程

(36)

表5 基于SVJ和SVCJ模型的向量自回歸分析Table 5 Vector Auto-Regression Analysis of SVJ and SVCJ Model

當參與期貨市場的推動者為凈股票持有者時，D=-1；當參與期貨市場的推動者為凈股票賣空者時，D=1。由于期貨市場推動者數(shù)據(jù)難以獲得，因此在本研究中選取股票上升和下降作為代理變量，即當St>St-1時D=-1，St

表6 模糊性的參數(shù)估計Table 6 Estimation of Ambiguity Parameter

(36)式參數(shù)的估計結(jié)果見表6。若不考慮期貨市場推動者頭寸，假設(shè)市場中投資者均為凈股票持有時，D=1，參數(shù)估計結(jié)果見表6中A。在不考慮期貨市場推動者頭寸時，φS和φv這兩個依賴期貨市場推動者頭寸方向的系數(shù)在SV、SVJ和SVCJ這3個模型中均不顯著，而同樣依賴投資者方向的股票價格跳躍幅度均值φμy在SVCJ模型中也不顯著。這有兩個解釋，一是中國期貨市場模糊性不明顯，二是股票資產(chǎn)凈持有者和凈賣空者交替推動期貨交易，兩者對期貨價格產(chǎn)生的影響相互抵消。這兩個解釋對不受投資者持有資產(chǎn)方向影響的模糊性參數(shù)有不同影響，在第1種解釋中不受投資者持有資產(chǎn)方向影響的模糊性參數(shù)應(yīng)不顯著，而在第2種解釋中不受投資者持有資產(chǎn)方向影響的模糊性參數(shù)應(yīng)顯著。注意到φλ、φσ和φμv這3個不受資產(chǎn)持有方向影響的模糊性參數(shù)顯著大于0，表明第2種解釋更加符合中國期貨市場特征。

考慮交易推動者的估算結(jié)果見表6中B情景，結(jié)果顯示在考慮方向后，φS顯著為正，這與模型預(yù)期一致。φv依然不顯著，意味著對于投資者而言，波動率的布朗運動部分的模糊性并不明顯。同樣地，φλ、φσ和φμv這3個關(guān)于跳躍的參數(shù)顯著為正，與表6中A情景一致?？紤]期貨價格偏差的方向性提高了參數(shù)估計的解釋力度，進一步印證了存在雙向偏差的模糊性期貨定價模型能更好地刻畫中國股指期貨交易價格。

7 結(jié)論

本研究在更具普遍意義的不確定性環(huán)境中討論期貨定價問題，從模糊性厭惡視角分析中國期貨市場中出現(xiàn)的價格偏差現(xiàn)象，建立模糊環(huán)境中的投資者消費投資決策模型，推導(dǎo)得到模糊性期貨理論價格，利用2010年至2014年中國股票指數(shù)和股指期貨的交易數(shù)據(jù)對該期貨價格模型進行實證檢驗。

研究結(jié)果表明，①在模糊性條件下，模糊性厭惡型投資者根據(jù)其資產(chǎn)頭寸在概率測度集合中選取最穩(wěn)健的概率測度測量未來結(jié)果。這種策略依賴型的概率測度選擇方式導(dǎo)致在經(jīng)濟體中產(chǎn)生內(nèi)生性意見分歧，從而使期貨價格偏離了完美市場中的理論值，產(chǎn)生價格偏差。因此，股票指數(shù)和股指期貨在持有期收益率和隨機變動過程這兩個方面并不等價，兩者存在較大差異。②與隨機利率期貨模型相比，模糊性期貨定價模型更符合中國實際經(jīng)驗，它能更好地解釋中國股票指數(shù)波動率和股指期貨價格偏差變動的動態(tài)關(guān)系。③定量分析表明，中國資本市場的模糊性在經(jīng)濟意義和統(tǒng)計意義上均顯著，它是影響期貨價格隨機過程的一個重要因素。總體而言，模糊性期貨定價模型更好地刻畫了中國期貨市場的交易現(xiàn)象，解釋了中國期貨市場出現(xiàn)的價格偏差現(xiàn)象。

模糊性期貨定價模型重新解讀了期貨價格與基礎(chǔ)資產(chǎn)之間的關(guān)系，對中國資本市場定價有以下啟示。①模糊性包括了風(fēng)險測度(基準概率測度)以及該測度的可信程度(概率測度集合中其他可能的測度)兩個維度，因此，投資者在衍生品定價時除了分析基礎(chǔ)資產(chǎn)的運行規(guī)律，還需考慮對基礎(chǔ)資產(chǎn)運行規(guī)律估計的可信程度，對資產(chǎn)進行合理定價，避免出現(xiàn)較大的定價誤差。②管理和對沖不確定性時，尤其是在使用衍生工具的情況下，金融機構(gòu)應(yīng)在模糊性框架下進行分析，合理安排衍生工具并有效管理其面臨的不確定性程度。③由于模糊性程度決定期貨定價偏差的幅度，因此，為避免衍生品價格的大幅度波動，監(jiān)管部門應(yīng)該對投資者進行有效的預(yù)期管理，降低市場模糊性。

本研究是模糊性期貨定價的一個嘗試，尚存在一些不足。其中一個值得繼續(xù)深入探討的話題是模糊性的決定因素問題，本研究為簡單起見將模糊性外生為一個常系數(shù)進行分析，而事實上投資者面臨的模糊性隨著經(jīng)濟環(huán)境的變動而改變。在下一步的研究中，可以將模糊性作為經(jīng)濟體中的內(nèi)生變量加以分析討論。

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TheStudyofAmbiguityandStockIndexFuturePricesBidirectionalDeviation

FENG Ruimin，LU Jialiu

Business School, Sun Yat-sen University, Guangzhou 510275, China

CSI 300 stock index futures pricing shows a special pattern: the mispricing in the future market is bidirectional, and most of time is positive. This pattern is quite different from that in the foreign financial market, since it is more often to witness negative mispricing in foreign future markets. What′s worse, this pattern cannot be explained by the current stock-index futures pricing model. In order to explain this phenomenon, this paper builds up a new future pricing model from the perspective of ambiguity.We first build up the continuous infinite life consumption-investment model of ambiguity-averse investors to study their optimal decisions under ambiguity circumstance. We investigate the relationship between investors′ asset position and the equilibrium asset prices, proposing the ambiguity future pricing model. After that, based on CSI 300 stock index′s and its future′s daily data from 2010-2014, the new pricing model is tested. Both Monte Carlo Markov Chain estimation method and vector auto-regression tests are adopted. Finally, we calibrate the ambiguity parameter in Chinese financial market.

Our study provides the following findings. First and foremost, future′s stochastic process deviates from its underlying under ambiguous circumstances. The non-arbitrage mechanism cannot ensure that the future′s price follows the same process of the index. Meanwhile, investors won't change their investment strategy if future′s price is within the ambiguous pricing range. Secondly, the direction of the mispricing is determined by the net asset position of the transaction-driven investors. Under the assumption of ambiguity, ambiguity-averse investor's preserved price of the future is affected by his asset position. Hence, if the future transaction is driven by those in the net long position, there is a positive mispricing of the future price. Otherwise, the negative mispricing exists if it is driven by those in the net short position. Thirdly, the degree of mispricing is determined by how severe the ambiguity investors face. The potential future price range is derived given the probability set, that is, the ambiguity environment. The severer ambiguity investors face, the larger the potential future price ranges. Moreover, the empirical data from Chinese market supports the new pricing model. The dynamics relation between volatility and future mispricing under classical future pricing model, the stochastic-interest future pricing model and the ambiguity future pricing model are different. The Vector Auto-Regression and Granger causality only supports the relations implied by the ambiguity pricing model. Last but not the least, the ambiguity is statistically and economically significant in Chinese financial market.

In short, future pricing model shows a different pricing pattern with consideration of ambiguity. And empirical tests provide evidences that ambiguity plays a role in Chinese future market. Hence ambiguity should be taken into consideration in further asset pricing study.

ambiguity；stock index futures；futures pricing；mispricing；positive devation

Date:April 1st, 2015

DateAugust 28th, 2015

Biography:FENG Ruimin (1988-,Native of Guangzhou, Guangdong), is a Ph.D candidate in Business School at Sun Yat-sen University. Her research interests cover asset pricing and capital market, etc. E-mail：qingfenglitiaotiao@126.com

F830.9

A

10.3969/j.issn.1672-0334.2015.06.009

1672-0334(2015)06-0105-17

2015-04-01修返日期2015-08-28

馮瑞敏(1988-)，女，廣東廣州人，中山大學(xué)管理學(xué)院博士研究生，研究方向：資產(chǎn)定價和資本市場等。

E-mail：qingfenglitiaotiao@126.com

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