李聲鋒 陳棟棟

(蚌埠學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，安徽 蚌埠 233030)

在數(shù)值計(jì)算中，由于多項(xiàng)式具有任意階可導(dǎo)、易于求積等特點(diǎn)，在很多情況下采用多項(xiàng)式逼近函數(shù)，如Taylor級(jí)數(shù)展開法、Maclaurin級(jí)數(shù)展開法等。但有時(shí)遇到函數(shù)在某點(diǎn)無界等情形，此時(shí)解決此類問題需要用到有理逼近。連分式是一個(gè)經(jīng)典的有理逼近工具，是研究非線性問題的首選方法，應(yīng)用廣泛。

Mathematica軟件是一款功能強(qiáng)大的符號(hào)計(jì)算語言，廣泛應(yīng)用在數(shù)學(xué)領(lǐng)域。在數(shù)學(xué)研究和教學(xué)過程中，利用Mathematica軟件平臺(tái)可以實(shí)現(xiàn)各種計(jì)算和仿真。我們?cè)诶眠B分式逼近函數(shù)的近似計(jì)算過程中，借助于Mathematica軟件，編寫了程序，快速實(shí)現(xiàn)了連分式的逼近計(jì)算，并將計(jì)算結(jié)果與多項(xiàng)式級(jí)數(shù)逼近結(jié)果進(jìn)行了比較。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1 設(shè)2個(gè)復(fù)數(shù)列{an}和{bn}，稱形如

的分式為連分式(Continued fractions)，記作

2 連分式逼近函數(shù)

2.1 連分式逼近函數(shù)

式(2)前幾項(xiàng)的漸近分式分別為

2.2 逼近計(jì)算結(jié)果的Mathematica實(shí)現(xiàn)

為了直觀顯示連分式(2)的漸近分式逼近計(jì)算結(jié)果，下面分別取 x=0.65，x=8，進(jìn)行逼近計(jì)算，并編寫Mathematica程序:

運(yùn)行程序，我們不僅能看到給出的漸近連分式，還得到漸近分式的計(jì)算結(jié)果。當(dāng)x=0.65時(shí)，利用式(2)的四次漸近分式就能計(jì)算得到函數(shù)值f(0.65)=3.50;當(dāng) x=8.00 時(shí)，利用式(2)的十次漸近分式就能計(jì)算得到函數(shù)值f(8.00)≈7.00。具體計(jì)算結(jié)果見表1。

表1 式(2)漸近式在x=0.65與x=8.0時(shí)的函數(shù)值(取前10項(xiàng))

2.3 連分式逼近與多項(xiàng)式逼近的比較

從表1可以看到，連分式在數(shù)值近似計(jì)算中能得到較好的逼近結(jié)果，下面考慮函數(shù) f(x)=的多項(xiàng)式逼近，并與連分式逼近進(jìn)行比較。我們將函數(shù)作如下的Maclaurin級(jí)數(shù)展開

其中

利用Mathematica軟件計(jì)算Maclaurin展開式(3)在x=0.65與x=8.00時(shí)的近似結(jié)果，編寫程序如下:

運(yùn)行上面的程序，我們可以看到Maclaurin展開式的部分和，還得到了部分和的計(jì)算結(jié)果。當(dāng)x=0.65時(shí)，利用式(3)的前6項(xiàng)之和就能計(jì)算得到函數(shù)值 f(0.65)=3.50;當(dāng) x=8.00 時(shí)，此時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散，無法利用式(3)的部分和得到函數(shù)值，具體計(jì)算結(jié)果見表2。

表2 式(3)的部分和在x=0.65與x=8.00的函數(shù)值(取前十項(xiàng))

從表1和表2的計(jì)算結(jié)果，我們可以看到如下事實(shí):

3 結(jié)語

本文通過實(shí)例討論了連分式逼近的近似計(jì)算問題，利用Mathematica軟件編寫程序，快速實(shí)現(xiàn)了連分式的逼近計(jì)算，并將計(jì)算結(jié)果與多項(xiàng)式級(jí)數(shù)逼近結(jié)果進(jìn)行了比較。比較結(jié)果表明，連分式逼近函數(shù)比多項(xiàng)式級(jí)數(shù)逼近函數(shù)不僅速度較快，而且具有較大的收斂區(qū)域。在某種意義上說，連分式逼近是一種行之有效的逼近方法，在近似計(jì)算中可以獲得較優(yōu)的計(jì)算結(jié)果。

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