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輕松玩“轉(zhuǎn)”勾股定理

2015-12-28 16:11:04沈曉霞
初中生世界·八年級 2015年12期
關(guān)鍵詞:木柱彩帶勾股定理

沈曉霞

轉(zhuǎn)化是將未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題,把抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題,把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單的問題.勾股定理研究的是平面直角三角形中三邊之間的關(guān)系,但在學(xué)習(xí)過程中時常會遇到立體圖形上的問題,這時就要考慮到運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想,把立體圖展開成平面圖形,再利用平面幾何的知識進(jìn)行求解.

例1 ? 如圖1所示,有一根高為2 m的木柱,它的底面周長為0.3 m,為了營造喜慶的氣氛,老師要求小明將一根彩帶從柱底向柱頂均勻地纏繞7圈,一直纏到起點(diǎn)的正上方為止,問小明至少需要準(zhǔn)備多長的一根彩帶?

【分析】將一張直角三角形的紙片在鉛筆上纏繞七圈,將紙片展開,發(fā)現(xiàn)彩帶的長相當(dāng)于直角三角形的斜邊長(如圖2),可以利用勾股定理求出彩帶的長.

解:∵BC為木柱的高,

∴BC=2 m.

又∵木柱的底面周長為0.3 m,

∴AC的長為0.3×7=2.1(m).

在Rt△ACB中,由勾股定理,得AB2=AC2+BC2=22+2.12=8.41,=2.9.

因此彩帶的長為AB=2.9 m.

【點(diǎn)評】遇到一些空間問題時,可通過動手實(shí)際操作一下,建立實(shí)物模型,這是建立空間概念的良好訓(xùn)練方法,而對實(shí)際問題進(jìn)行分解、轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)解題中常用的思路.

例2 ?如圖3,長方體的底面邊長分別為2 cm和4 cm,高為5 cm,若一只螞蟻從P點(diǎn)開始經(jīng)過4個側(cè)面爬行一圈到達(dá)Q點(diǎn),則螞蟻爬行的最短路徑是________cm.

【分析】要求立體圖形中的最短路徑首先要化曲為直,即將長方體側(cè)面展開成如圖4所示,則PA=2+4+2+4=12(cm),兩點(diǎn)之間線段最短,利用勾股定理便可解決.

解:PA=2+4+2+4=12(cm),

∵Rt△PAQ中,∠A=90°,

∴PQ2=PA2+AQ2,

∴PQ2=122+52=169,

∵PQ>0,∴PQ=13 cm.

【點(diǎn)評】很多數(shù)學(xué)新問題往往是通過形或數(shù)的逐步轉(zhuǎn)化,化歸為一個比較熟悉容易的問題,從而達(dá)到解決原問題的目的.

(作者單位:江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué))

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