薛麗萍

勾股定理是幾何的一個基本定理，是解決幾何問題的重要工具之一，也是體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的紐帶.同學(xué)們在學(xué)習(xí)勾股定理時，往往會有一些錯誤的認(rèn)識.現(xiàn)在我們一起來整理勾股定理易錯題型，找出錯因，在糾錯中學(xué)習(xí)勾股定理.

一、 定理理解不透徹，定勢思維來影響

同學(xué)們在勾股定理的理解上，往往會受思維定勢的影響，不認(rèn)真審題，忽略其關(guān)鍵點(diǎn)，草率出手而出錯.

例1 ? 已知某直角三角形的三邊分別是3、4、x，則x2的值為_______.

【錯因分析】3、4、5是同學(xué)們最先接觸、印象最深的一組勾股數(shù)，當(dāng)看到直角三角形兩邊是3和4時，受思維定勢的影響，自然而然地認(rèn)為第三邊一定是5，故x2的值為25.實(shí)際上，在直角三角形中沒有明確哪邊是斜邊時，應(yīng)分類討論考慮全面.

【正解】3不可能作為斜邊;當(dāng)4是斜邊時，x2=7;當(dāng)x是斜邊時，x2=25.故x2=7或25.

【感悟】勾股定理很容易，其中一角是直角;應(yīng)用注意三條邊，分清哪條是斜邊;直角邊要平方和，斜邊平方等于它.

二、 一目十行，錯加條件留遺憾

數(shù)學(xué)解題時看到熟悉的圖形，很多同學(xué)往往粗略審題，忽略了題目的條件和與熟悉的圖形的細(xì)微差別，把未知的結(jié)論當(dāng)已知條件直接使用，導(dǎo)致錯解.

例2 ? 如圖1，在四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=4 cm，BC=3 cm，CD=12 cm，AD=13 cm，試求四邊形ABCD的面積.

【錯因分析】同學(xué)們在解決此題時，往往會有這樣的疑惑：我的答案是正確的，為什么不得分呢？那是因為本題中只知△ABC是直角三角形，大多數(shù)同學(xué)錯誤地理解為△ACD也是直角三角形，直接利用直角三角形的面積公式求解.而實(shí)際上△ACD的形狀需要根據(jù)其三邊長度之間的數(shù)量關(guān)系，利用勾股定理的逆定理作出判斷.

【正解】在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC=5 cm，∵AC2+CD2=AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD是直角，∴四邊形ABCD的面積=4×3+×5×12=36.

【感悟】解題不能憑經(jīng)驗，審清題意多留心，要證直角有方法，勾股定理逆定理！

三、 根據(jù)條件來作圖，考慮全面防漏解

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，同學(xué)們處理常見的圖形和條件時，往往容易忽視非常規(guī)圖形，造成漏解，甚至解答錯誤.我們應(yīng)排除定向思維產(chǎn)生的錯解，周密地考慮問題，用分類討論的思想方法來解決此類問題.

例3 ? 在△ABC中，AB=15，AC=20，BC邊上的高AD=12，求BC的長.

【錯因分析】本題沒有直接給出符合條件的示意圖，需要同學(xué)們先根據(jù)題意畫出符合要求的圖形再解答.在作出示意圖分析問題時，我們往往習(xí)慣性地將△ABC理解成銳角三角形，沒有全面判斷三角形的形狀，出現(xiàn)漏解情況.在畫示意圖的過程中，我們要根據(jù)條件，考慮所作點(diǎn)或線的呈現(xiàn)順序，如第一步由AB=15可確定線段AB，第二步由AC=20確定點(diǎn)C時，要考慮點(diǎn)C的位置.當(dāng)位于AB的左側(cè)，形成的∠ABC為鈍角，如圖2;當(dāng)位于AB的右側(cè)，形成的∠ABC為銳角，如圖3.

【正解】如圖2，當(dāng)∠ABC為鈍角時，在Rt△ACD和Rt△ABD中，由勾股定理得CD2=AC2-AD2=256，BD2=AB2-AD2=81，∴CD=16，BD=9，故BC=7;如圖3，當(dāng)∠ABC為銳角時，可求得BC=25.

【感悟】在勾股定理的學(xué)習(xí)中，要養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣，重視知識的呈現(xiàn)過程，運(yùn)用分類討論思想，突破思維定勢，避免漏解.

四、 直覺經(jīng)驗有誤區(qū)，嚴(yán)謹(jǐn)計算現(xiàn)事實(shí)

例4 ? 如圖4，一架長2.5米的梯子AB，斜靠在豎直的墻AC上，梯子的底部B到墻底端C的距離為0.7米，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4米，那么梯子的底端也將向外移0.4米嗎？

【錯因分析】同學(xué)們沒有通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃伎寂c計算，憑直覺會認(rèn)為如果梯子的頂端沿墻下滑0.4米，而梯子的長度是不變的，那么梯子的底端肯定也要向外移0.4米.事實(shí)上，直覺往往會產(chǎn)生錯誤，我們需要運(yùn)用數(shù)學(xué)知識，通過計算B1B的長度來判斷梯子的底端移動的距離.

【正解】在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=2.4，∴A1C=2，Rt△A1B1C中，由勾股定理得B1C=1.5，∴B1B=0.8，∴梯子的底端應(yīng)向外移0.8米.

【感悟】看似簡單的實(shí)際問題，不能光憑直覺，只有轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，利用勾股定理計算線段長度，才能呈現(xiàn)事實(shí)真相.

剖析解數(shù)學(xué)題的易錯點(diǎn)，對于培養(yǎng)數(shù)學(xué)的思維品質(zhì)，提高解題能力具有重要意義，讓我們知錯能改，輕松應(yīng)對勾股定理！

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗中學(xué)）