孫志兵

實(shí)數(shù)是數(shù)與代數(shù)的重要內(nèi)容，是學(xué)習(xí)代數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ).要理解實(shí)數(shù)的有關(guān)知識(shí)，關(guān)鍵有三點(diǎn)：

一、 正確理解無(wú)理數(shù)的概念

我們知道，有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù).有理數(shù)是我們已經(jīng)十分熟悉的知識(shí)，因此，要理解實(shí)數(shù)，關(guān)鍵是理解無(wú)理數(shù).

無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù).這個(gè)定義告訴我們，無(wú)理數(shù)有三個(gè)特征：一是小數(shù)，二是無(wú)限，三是不循環(huán)的.現(xiàn)階段，無(wú)理數(shù)通常可分為三類(lèi)：（1） 開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，如;（2） 有特殊意義的數(shù)，如π等;（3） 有一定規(guī)律但不循環(huán)的無(wú)限小數(shù)，如0.202 002 000 2…（每?jī)蓚€(gè)2之間依次增加一個(gè)0）等.

例1 ? （2013·四川雅安）在實(shí)數(shù)，0.101 001 000 1…（每?jī)蓚€(gè)1之間依次增加一個(gè)0）中，無(wú)理數(shù)有（ ? ? ?）.

A. 1個(gè) B. 2個(gè)

C. 3個(gè) D. 4個(gè)

【分析】判斷一個(gè)數(shù)的性質(zhì)，要先化簡(jiǎn).

解：，所以本題中的無(wú)理數(shù)只有π，-2，0.101 001 000 1…（每?jī)蓚€(gè)1之間依次增加一個(gè)0），故選C.

【點(diǎn)評(píng)】解答本題一定要明確無(wú)理數(shù)的概念，同時(shí)要注意像這樣的數(shù)，盡管帶根號(hào)，給人以無(wú)理數(shù)的感覺(jué)，但其結(jié)果為2，是一個(gè)有理數(shù).

例2 ? 下列結(jié)論：①無(wú)限小數(shù)是無(wú)理數(shù);②有限小數(shù)是有理數(shù);③所有分?jǐn)?shù)都是有理數(shù);④無(wú)理數(shù)一定是無(wú)限小數(shù).正確的有（ ? ? ?）.

A. 1個(gè) B. 2個(gè)

C. 3個(gè) D. 4個(gè)

【分析】根據(jù)有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的概念來(lái)逐個(gè)判斷，對(duì)不正確的說(shuō)法找出一個(gè)反例即可.

解：無(wú)限小數(shù)可能是循環(huán)的，如0.333…，也可能是不循環(huán)的，如1.414 114 111 4（每?jī)蓚€(gè)4之間依次增加一個(gè)1），前者是有理數(shù)，后者是無(wú)理數(shù)，所以①不正確;有限小數(shù)都可以化為分?jǐn)?shù)，所以有限小數(shù)是有理數(shù)，②是正確的;所有分?jǐn)?shù)都是有理數(shù)，③正確;無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，當(dāng)然一定是無(wú)限小數(shù)，所以④正確.選C.

【點(diǎn)評(píng)】分?jǐn)?shù)與有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)可以進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，如果把整數(shù)看成是分?jǐn)?shù)，則任何有理數(shù)都可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式;而無(wú)理數(shù)則不可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式，這是有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的本質(zhì)區(qū)別.在理解無(wú)限不循環(huán)小數(shù)時(shí)，要注意“循環(huán)”與“規(guī)律”的區(qū)別，例如，0.202 002 000 2…（每?jī)蓚€(gè)2之間依次增加一個(gè)0），這里“每?jī)蓚€(gè)2之間依次增加一個(gè)0”是一種“規(guī)律”，而不是“循環(huán)”，因此它是無(wú)理數(shù);而0.304 304 304…不僅有規(guī)律——以“304”為一個(gè)“數(shù)節(jié)”，而且這個(gè)“數(shù)節(jié)”循環(huán)出現(xiàn)，即它是以“304”為循環(huán)節(jié)的無(wú)限循環(huán)小數(shù)，因此它是有理數(shù).

二、 靈活運(yùn)用實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系

我們知道，實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的.數(shù)軸形象地反映了數(shù)（實(shí)數(shù)）與形（圖形）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的統(tǒng)一，它可以幫助我們加深對(duì)實(shí)數(shù)有關(guān)知識(shí)的認(rèn)識(shí).

例4 ? （2008·貴州遵義）如圖1，在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)的點(diǎn)可能是（ ? ? ?）.

A. 點(diǎn)P B. 點(diǎn)Q

C. 點(diǎn)M D. 點(diǎn)N

【分析】先估算的范圍，再根據(jù)實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系找出相應(yīng)的點(diǎn)即可.

解：因?yàn)?2=9，42=16，而9<15<16，所以3<<4，所以在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)的點(diǎn)可能是M，選C.

【點(diǎn)評(píng)】利用開(kāi)平方的逆運(yùn)算平方，估算出已知實(shí)數(shù)的大致范圍，是解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.

例5 ? 實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖2所示，化簡(jiǎn)a+b+=_______.

【分析】由于實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，因此可從數(shù)軸上觀察出a、b的符號(hào)及a與b的大小，然后進(jìn)行化簡(jiǎn).

解：由圖知a<0，b>0，a>b，所以a+b<0，b-a>0，原式=-（a+b）+（b-a）=-a-b+b-a=-2a.

【點(diǎn)評(píng)】利用實(shí)數(shù)和數(shù)軸上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，看出a、b的符號(hào)，a與b的大小，進(jìn)而得出a+b和b-a的正負(fù)性是解題的關(guān)鍵.

三、 充分借助有理數(shù)的有關(guān)知識(shí)

將數(shù)集從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)后，實(shí)數(shù)的相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)等概念表示的含義與有理數(shù)類(lèi)同;實(shí)數(shù)的運(yùn)算在有理數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)上，又增加了無(wú)理數(shù)的運(yùn)算，但無(wú)理數(shù)的運(yùn)算是通過(guò)取近似值轉(zhuǎn)化為有理數(shù)來(lái)進(jìn)行近似數(shù)運(yùn)算的.因此，無(wú)論從概念，還是從運(yùn)算，要學(xué)好實(shí)數(shù)的知識(shí)，必須充分借助有理數(shù)的有關(guān)知識(shí).

例7 ? （1） （2015·山東青島）的相反數(shù)是（ ? ? ?）.

（2） （2015·四川自貢）化簡(jiǎn)：-2=_______.

（3）（精確到0.01）.

【分析】（1） 利用相反數(shù)的概念求解;（2） 先判斷出-2的值的正負(fù)性，再根據(jù)絕對(duì)值的意義化簡(jiǎn);（3） 根據(jù)近似數(shù)運(yùn)算的法則，取三位小數(shù)進(jìn)行運(yùn)算后，再四舍五入得到答案.

（3） 原式≈3.141-0.707+0.333=2.767≈2.77.

【點(diǎn)評(píng)】實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是-a;求實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值，必須先判斷a的性質(zhì)符號(hào)，再按照有理數(shù)絕對(duì)值的求法來(lái)求解;在進(jìn)行近似數(shù)的計(jì)算時(shí)，應(yīng)注意中間過(guò)程的各數(shù)應(yīng)取比題目要求的精確度多一位的小數(shù)來(lái)計(jì)算，最后結(jié)果再用四舍五入法取近似值.在書(shū)寫(xiě)解題過(guò)程時(shí)要注意何時(shí)用等號(hào)，何時(shí)用約等號(hào).

（作者單位：江蘇省泰州市白馬中學(xué)）