改進的GM(1,1) 模型在大壩變形預測中的應用

任遠軍1，李龍2，石寧3，羅勇3

(1.湖北清江水電開發(fā)有限責任公司，湖北宜昌443000；2.中鐵港航局集團航道工程有限公司，廣東廣州510660；3.中南大學地球科學與信息物理學院，湖南長沙410083)

摘要：針對大壩安全監(jiān)測數(shù)據存在貧信息、小樣本的問題，通過對原始數(shù)據、初始值以及背景值進行優(yōu)化改進傳統(tǒng)的 GM(1,1) 模型。以某大壩實測徑向水平位移數(shù)據為例，分別用改進前后的模型進行預測，并與實測值進行對比。驗證改進的 GM(1,1) 模型的優(yōu)越性與有效性，相對于傳統(tǒng) GM(1,1) 模型，其預測精度更高。

關鍵詞：大壩監(jiān)測；GM(1,1) 模型；改進 GM(1,1) 模型；預測

中圖分類號：TU196

收稿日期：2014-04-17;修回日期：2014-08-20

作者簡介：任遠軍(1987-)，男,助工.

ApplicationofimprovedGM(1,1)modeltodamdeformationforecastingRENYuan-jun1，LI Long2，SHI Ning3，LUO Yong3

(1.HubeiQingJiangHydroelectricDevelopmentCo.,Ltd，Yichang443000，China；2.ChinaRailwayPortandChannelEngineeringGroupCo.,Ltd，Guangzhou510660，China；3.SchoolofGeoscienceandInfo-physics，CentralSouthUniversity，Changsha410083，China)

Abstract：For dam safety monitoring data,poor information and small sample problem are unavoidable.In this paper,the traditional GM(1,1) model is improved by optimizing the original data,the initial value and the background value.Taking the radial horizontal displacement samples of a dam,the two models are adopted to predict the displacement values respectively,and compared with the measured values.Compared with the traditional GM(1,1) model,the improved GM(1,1) model is effective and practical, of which the prediction accuracy is higher.

Keywords：dammonitoring；GM(1,1)model；improvedGM(1,1)model；forecasting

大壩在供水、能源、航運供給以及防洪等方面起著重大的作用，而大壩的貢獻需建立在良性運行的基礎之上。因此，為保障大壩的安全運行，必須針對大壩開展安全監(jiān)測工作[1-3]。對大壩的外觀變形監(jiān)測可以獲取大量的監(jiān)測數(shù)據，通過對其采用統(tǒng)計分析方法處理，可以初步地掌握大壩的變形特征及規(guī)律，及時了解潛在的危機。在實際中，大壩施工期間及蓄水初期可能導致變形監(jiān)測數(shù)據不足，在貧信息、小樣本的情況下，很難對大壩的實際工作形態(tài)進行準確的預測[4,5]。灰色模型的提出為解決貧信息、小樣本的問題提供了新的思路，傳統(tǒng)灰色模型存在著一定的局限性[6]，如對于非指數(shù)增長趨勢的數(shù)據，傳統(tǒng)GM(1,1) 模型在擬合時，灰度較大，限制其精度[7]。為此，本文分別對原始數(shù)據、初始值以及背景值進行優(yōu)化，改進傳統(tǒng)GM(1,1) 模型，并以某大壩為例，驗證改進模型的有效性與可行性。

1傳統(tǒng)GM(1,1)模型的建模過程及其不足

1.1傳統(tǒng)GM(1,1)模型

假定x(0)(k)為給定的非負數(shù)據序列，其中k=1,2,…,n，即

(1)

對序列x(0)(k)進行一次累加，生成一個新的累加序列

(2)

其中，累加后生成

(3)

通過累加，將無明顯規(guī)律性的數(shù)據序列轉化為遞增變化的數(shù)列。一般來說，認為累加序列x(1)(k)是時間t的連續(xù)函數(shù)，將其用一階微分方程表示

(4)

式中:a為灰發(fā)展系數(shù)，反映數(shù)據序列的增長速度，u為灰色作用量，它反映數(shù)據的內部變化。然后采用最小二乘法求解式(4)的微分方程

(5)

傳統(tǒng)GM(1,1) 模型計算式:

(6)

可解得模型的時間響應函數(shù)

(7)

然后，將時間代入式(7)獲得的數(shù)據進行一次累減，即可得到原始數(shù)據模型

(8)

當k≤n時，得到的值是原始數(shù)據的擬合值；當k>n時，得到的數(shù)據為預測值。

1.2傳統(tǒng)GM(1,1) 模型的不足之處

對上述建模過程進行分析，可以看出，傳統(tǒng)GM(1,1) 模型存在以下不足：

1)傳統(tǒng)GM(1,1) 模型的背景值一般是根據數(shù)值積分的梯形公式構造，當GM(1,1) 模型的灰發(fā)展系數(shù)a≥1時，該背景值構造方法的擬合與預測精度并不高。

2)灰發(fā)展系數(shù)a與灰色作用量u決定著傳統(tǒng)GM(1,1) 模型的擬合與預測精度，而這兩個系數(shù)受原始數(shù)據與背景值構造形式的影響；

2改進的GM(1，1)模型及精度評價

根據傳統(tǒng)GM(1,1) 模型建模存在的不足，本文分別對原始數(shù)據、背景值以及初始值進行優(yōu)化，用優(yōu)化后的數(shù)據替代傳統(tǒng)GM(1,1) 模型中相應的值，從而達到改進GM(1,1) 模型的目的，提高其預測精度。同時，為了比較GM(1,1) 模型改進前后預測結果的可靠性，選擇了多種評價指標對預測結果進行評價。

2.1優(yōu)化原始數(shù)據

原始數(shù)據是否滿足指數(shù)增長的規(guī)律直接影響傳統(tǒng)GM(1,1) 模型的預測結果，因此，當原始數(shù)據波動較大時，需對其進行處理以提高其光滑性，使其滿足指數(shù)增長的規(guī)律，從而改善GM(1,1) 模型的預測精度。因此，本文采用滑動平均法對原始數(shù)據x(0)(k)進行預處理，生成新的序列

(9)

左右端點的計算式為

(10)

(11)

2.2優(yōu)化背景值

由于灰色模型是指數(shù)預測模型，因此ea對模型的精度產生很大的影響，當a值較小時，預測曲線相對平穩(wěn)，產生的誤差也較??；若a值較大時，指數(shù)函數(shù)的結果會劇增，因此，將會產生較大的誤差。根據指數(shù)函數(shù)自身的特性，采用下式改進背景值[8]。

(12)

(13)

其中，k=1,2,…,n-2.

2.3優(yōu)化初始值

(14)

其中，ck=e-a(k-1)，

分別將改進方法后結果替代傳統(tǒng)GM(1,1)模型中各計算值。

2.4精度檢驗

為驗證模型預測的有效性，分別選用相對誤差E、絕對誤差Δ、均方差比值C以及小誤差概率P四種指標來評價擬合及預測的效果。

1)相對誤差E，反映預測殘差占原始數(shù)據的比例，因此，E越小越好,

(15)

2)絕對誤差Δ，表示擬合值、預測值與原始數(shù)據的接近程度，因此，Δ越小越好,

(16)

3)后驗差比值C，越小越好，因為指標C反映原始數(shù)據離散程度大，而殘差離散程度小，

(17)

其中，原始序列與預測序列的差值稱為殘差序列，S1是原始序列的標準差，S2是殘差序列的標準差。

4)小誤差概率P，指標P越大越好，由于殘差與殘差均值之差小于給定值，定義：

(18)

其中，e(0)(k)為殘差序列。指標C與指標P的具體評定標準如表1所示[10]。

表1　模型精度評定標準

3實例分析

以2007-02-19～2011-06-19湖北省某大壩13期某測點徑向水平位移數(shù)據為例，來驗證改進后GM(1,1) 模型的可行性與有效性。其實測數(shù)據如表2所示。

選用前10期的實測數(shù)據分別用傳統(tǒng) GM(1,1) 模型與改進的 GM(1,1) 模型建立模型，剩下的3期數(shù)據作為預測比較數(shù)據。

1)對傳統(tǒng) GM(1,1) 模型進行預測求解，

(19)

然后，將預測時間代入式(17)，即可得到其預測值。

表2　某測點實測徑向水平位移

2)對改進 GM(1,1) 模型進行建模預測。首先，確定原始數(shù)據序列進行滑動平均處理，得到優(yōu)化后的數(shù)據序列X(0)(k)，然后，用式(13)、式(14)替代式(6)，對背景值序列進行優(yōu)化，接著，利用優(yōu)化后的背景值，按照式(14)對初始值進行優(yōu)化，最后，將所有優(yōu)化處理后的數(shù)據，按照傳統(tǒng) GM(1,1) 模型的步驟進行求解，得到的優(yōu)化序列、優(yōu)化背景值、優(yōu)化初始值以及原始數(shù)據模型：

X(0)=[5.592,5.786,6.316,6.889,7.340,7.734,

8.006,8.206,8.430,8.607,8.737,8.969,9.244].

z(1)=[-8.441,-14.488,-21.101,-28.220,

-35.767,-43.643,-51.747,-60.069,-77.900].

(20)

兩種模型的擬合精度結果如表3所示。

表3　兩種模型擬合精度的比較結果

從表3中可以看出，傳統(tǒng) GM(1,1) 模型的相對誤差與改進的 GM(1,1) 模型相差不大，這說明，改進的 GM(1,1) 模型相對于傳統(tǒng) GM(1,1) 模型并沒有提高其擬合精度。兩種模型預測精度的比較結果見表4。

表4　兩種模型預測精度的比較結果

盡管改進的 GM(1,1) 模型并沒有提高擬合精度，但從表4的預測結果中可以看出，改進 GM(1,1) 模型的預測精度有明顯改善，無論是相對誤差還是絕對誤差，都比傳統(tǒng) GM(1,1) 模型提高了1倍，這充分說明了改進的 GM(1,1) 模型的有效性。兩種模型分別所在的精度等級見表5所示。

表5　兩種模型分別所在的精度等級

然后，將兩種模型的精度等級進行對比，從表4可以看出，盡管傳統(tǒng) GM(1,1) 模型的小誤差概率P為1，位于1級，但其后驗差比值C處于2級，而改進的 GM(1,1) 模型無論是后驗差比值C還是小誤差概率P都是1級，由此可以看出，改進的 GM(1,1) 模型要優(yōu)于傳統(tǒng)的 GM(1,1) 模型。

4結束語

本文通過對初始值、背景值以及原始數(shù)據進行優(yōu)化處理，對傳統(tǒng) GM(1,1) 模型進行改進，通過對某大壩進行實證分析，改進的 GM(1,1) 模型預測精度有較為明顯的改善，相對于傳統(tǒng)的 GM(1,1) 模型，驗證改進的 GM(1,1) 模型的有效性與優(yōu)越性。對于受各種因素影響，導致大壩安全監(jiān)測出現(xiàn)貧信息小樣本的數(shù)據，采用改進的 GM(1,1) 模型相對于傳統(tǒng) GM(1,1) 模型具有一定的實用價值。

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[責任編輯：李銘娜]