林玉花，陳婉琳，王海娜，張惠英

(1．福州大學數(shù)學與計算機科學學院，福建福州 350116;2．廈門市大同中學，福建廈門 361008)

0 引言

浮游植物是海洋環(huán)境中的初級生產(chǎn)者，在海洋生態(tài)系統(tǒng)的能量傳遞與物質循環(huán)中起重要作用，在海洋生物資源和生態(tài)系統(tǒng)中占有重要地位［1］．由于人類將大量工業(yè)廢水、生活污水等植物營養(yǎng)物質排入湖泊、河口等，導致水域環(huán)境的富營養(yǎng)化，赤潮與水華成為當今社會迫切需要解決的一個極為嚴峻的生態(tài)環(huán)境與社會經(jīng)濟問題［2］，研究表明，在海洋中相對其他浮游藻類，有害藻類取得生長優(yōu)勢的主要原因之一可能是浮游植物的植化相克作用，所以植化相克作用對赤潮與水華的形成具有重要作用．近年來，生物治理方法越來越受到人們的關注，它主要是利用生物間的競爭、抑制和捕食的關系，在赤潮區(qū)引入無害藻類以抑制赤潮藻的繁殖，從而減少赤潮的發(fā)生［3］．因此對浮游植物相克模型進行研究具有很大的現(xiàn)實意義，學者們對具有相克作用的浮游植物模型的動力學行為展開了系列研究，以期可以為赤潮與水華的發(fā)生提供一些早期預警信息［4－7］．Bandyopadhyay［5］提出并研究了如下兩種群浮游生物相克模型:

其中:N1(t)，N2(t)分別代表兩個相互競爭的浮游生物種群在t時刻的種群密度;αi，i=1，2表示兩種群的內凜增長率;βi，i=1，2表示兩種群的種內競爭率;νi，i=1，2表示兩種群的種間競爭率;γN1(t)N22(t)表示兩種群個體相遇時，N2種群釋放的毒素對N1種群的影響．對于該模型，文［5］探討了邊界平衡點局部漸近穩(wěn)定性和內部平衡點的全局吸引性．最近，在文［7］中指出文［5］的證明是不嚴密的，其主要結果是否成立還有待進一步的研究，文［7］已經(jīng)針對非自治情形探討了系統(tǒng)的全局吸引性問題，得到了系統(tǒng)正解全局漸近穩(wěn)定的充分性條件，補充和完善了文［5］的結果．針對文［5］，尚有如下問題有待研究:系統(tǒng)的邊界平衡點是否可能全局漸近穩(wěn)定，毒素對系統(tǒng)邊界平衡點的穩(wěn)定性影響如何;能否在文［5］的工作基礎上，通過克服文［5］分析上的錯誤之處，給出一組合理的保證系統(tǒng)正平衡點全局吸引的充分性條件呢?本文旨在對這兩個問題給出肯定回答．

由生態(tài)學含義知道，系統(tǒng)(1)中的所有系數(shù)均為大于零的常數(shù)，且系統(tǒng)(1)的初值滿足N1(0)＞0，N2(0)＞0．易知，對?t≥0，系統(tǒng)的任意解N1(t)＞0，N2(t)＞0．

1 主要結果及其證明

完全類似于文［7］引理2．2及定理2．1的證明，有定理1 若條件

由文［5］可知系統(tǒng)(1)有三個邊界平衡點 E00(0，0)，E10(α1·β1－1，0)，E01(0，α2·β2－1);同時若條件N2*＜α2·β2－1，α1ν2－β1α2＜0成立，則系統(tǒng)(1)至少有一個正平衡點．且其中N2*滿足下面方程

下面給出系統(tǒng)(1)存在唯一正平衡點的一個充分性條件．

定理2 若條件

成立，則系統(tǒng)(1)存在唯一的正平衡點E*(N*1，N*2)．

證明 令

其中:a= γβ2，b= － γα2，c= β1β2－ ν1ν2，d= α1ν2－ β1α2．由于 N*2＜ α2·β－12是滿足方程 f(x)=0 的一個根，因此要證得系統(tǒng)(1)只有一個正平衡點只需證明方程f(x)=0在x∈(0，α2·β－12)的內只有一個正根．由條件(H2)的第一個條件，有c＞0，d＜0．注意到:f'(x)=3ax2+2bx+c，由條件(H2)有:Δ =4b2－12ac=4γ2α22－12γβ2c ＜ 0．這表明，當x∈(0，α2·β－12)，f'(x)＞ 0即f(x)在(0，α2·β－12)單調增加．注意到f(0)=d＜0，由條件(H2)的第二個條件

可知f(x)在(0，α2·β－12)上有且僅有一個根，因此N*2存在且唯一，即系統(tǒng)(1)存在唯一的正平衡點．定理證畢．

定理3 若E10局部漸近穩(wěn)定，此外，進一步假設條件

成立，則E10全局漸近穩(wěn)定．

證明 令 N10= α1·β－11，則 α1= β1N10，E10=(N10，0)．構造 Lyapunov函數(shù)

注意到，對所有的(N1，N2)∈(［0，+∞)，［0，+∞))，且(N1，N2)≠(N10，0)有V1(N1，N2)＞0，V1(N10，0)=0．沿著系統(tǒng)(1)的正解計算V1(N1，N2)關于t的導數(shù)，

則

于是f(N1，N2)＞0．從而有:

所以E10全局漸近穩(wěn)定．

定理4 若E01局部漸近穩(wěn)定，此外，進一步假設條件:

成立，則E01全局漸近穩(wěn)定．

注意到，對所有的(N1，N2)∈(［0，+∞)，［0，+∞))，且(N1，N2)≠ (0，N02)有 V2(N1，N2)＞0，V2(0，N02)=0．沿著系統(tǒng)(1)的正解計算V2(N1，N2)關于t的導數(shù)，

因此α －νN＜0．令:

1102

則

由條件(H4)可知，g(N1，N2)＞0．從而有

所以E01全局漸近穩(wěn)定．

定理5 假設條件(H1)成立，此外，進一步假設

成立，其中m2，M1，M2是定理1中所定義的，則E*(N1*，N2*)全局漸近穩(wěn)定．

證明 由條件(H5)知存在足夠小的ε＞0使得

由條件(H1)成立，可知定理1成立，對上述ε＞0，存在足夠大的T，t＞T時有

成立，從而由(4)知當t＞T時不等式

成立．今構造Lyapunov函數(shù)

由文［5］可知:V'(t)=－XTAX，其中:

由式(5)知t＞T時A正定，從而V'(t)≤0．當且僅當N1=N*1，N2=N*2時取等號，這表明正平衡點是全局吸引的，定理證畢．

注1 文［7］給出系統(tǒng)(1)的正平衡點E*(N*1，N*2)全局漸近穩(wěn)定的充分性條件使系統(tǒng)(1)持久和條件

成立．本文定理5也是在系統(tǒng)(1)滿足持久性條件下，考慮正平衡點的穩(wěn)定性問題．條件(H5)，(H6)都使系統(tǒng)的系數(shù)滿足一定的不等式，但是這兩個條件的表達式不一樣，所給的范圍也是不一樣的，后面將給出例子來說明這一點．

2 數(shù)值模擬

例1

相應于系統(tǒng)(1)，有 α1=1．5，α2=0．8，β1=0．1，β2=0．2，ν1=0．02，ν2=0．06，γ =0．002．由Maple軟件計算可知，系統(tǒng)(6)有邊界平衡點E10=(15，0)，E01=(0，4)，不存在正平衡點且

這表明系統(tǒng)(6)滿足定理3的條件，從而E10全局漸近穩(wěn)定，圖1(a)是它的數(shù)值模擬圖，所有滿足不同初值的解最后都趨于點E10．

例2

相應于系統(tǒng)(1)，有 α1=1，α2=1．2，β1=0．08，β2=0．04，ν1=0．04，ν2=0．01，γ =0．000 8．由Maple軟件計算可知，系統(tǒng)(6)有邊界平衡點E10=(12．5，0)，E01=(0，30)，不存在正平衡點且

因此系統(tǒng)(6)滿足定理4的條件，從而E01全局漸近穩(wěn)定，圖1(b)是它的數(shù)值模擬圖，所有滿足不同初值的解最后都趨于點E01．

圖1 系統(tǒng)(6)，(7)，(8)的模值摸擬圖Fig．1 Simulation diagrams of system(6)，(7)and(8)

例3

相應于系統(tǒng)(1)，有 α1=1，α2=1，β1=0．09，β2=0．1，ν1=0．01，ν2=0．01，γ =0．000 8．由Maple軟件計算可知，系統(tǒng)(7)有邊界平衡點E10=(11．1，0)，E01=(0，10)和唯一的正平衡點E*(N*1，N*2)=(5．615 618 707，9．438 438 129)，且 M1≈11，M2=10，m2≈8．9，從而:

此外，有 β1=0．09= ν2+ γM22=0．09，β2=0．1 ＜ 0．19 ≈ ν1+2γM1M2．

因此，系統(tǒng)(8)滿足定理1和5的條件，但條件(H6)不成立．圖1(c)是它的模擬圖，該模擬圖表明，系統(tǒng)(8)當系統(tǒng)滿足條件(H5)但不滿足條件(H6)時，仍然全局漸近穩(wěn)定．

3 結語

在文［5］的基礎上，通過構造適當?shù)腖yapunov函數(shù)得到保證系統(tǒng)(1)的邊界平衡點全局漸近穩(wěn)定的充分性條件，注意到保證E10全局穩(wěn)定的條件跟表示毒素的系數(shù)γ有關，而保證E01穩(wěn)定的條件跟毒素無關，但是由于這僅是充分性條件，而不是充要條件，目前還無法斷言E01的穩(wěn)定性跟毒素無關，這是一個有趣的有待進一步探索的問題．此外，得到了正平衡點E*(N*1，N*2)全局漸近穩(wěn)定的一組充分性條件，有效補充和完善了文［5］的工作．