郭雯婷，盧 山

（1.上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109 2.上海市空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 201109）

0 引言

隨著航天技術(shù)應(yīng)用領(lǐng)域的飛速發(fā)展，航天器的結(jié)構(gòu)和組成日趨復(fù)雜，性能與技術(shù)不斷提高，保證航天器在復(fù)雜的空間環(huán)境中更持久、穩(wěn)定、高質(zhì)量地在軌運(yùn)行，已成為目前亟待解決的重要問題［1］。利用在軌服務(wù)技術(shù)可對復(fù)雜大型航天器進(jìn)行在軌組裝以及對發(fā)生故障失效或燃料耗盡的航天器進(jìn)行在軌捕獲、模塊更換、燃料加注等操作，從而可增強(qiáng)航天器的性能，延長航天器的使用壽命，降低費(fèi)用和風(fēng)險(xiǎn)，在軌服務(wù)與操作技術(shù)有廣泛的應(yīng)用前景。為實(shí)現(xiàn)在軌服務(wù)與操作，航天器常需經(jīng)歷遠(yuǎn)程導(dǎo)引、近程導(dǎo)引、超近程停靠、捕獲等階段，其中超近距離的相對姿態(tài)軌道聯(lián)合控制技術(shù)是實(shí)現(xiàn)在軌服務(wù)的核心，直接關(guān)系任務(wù)的成敗。因此，在軌服務(wù)與操作技術(shù)研究目標(biāo)是解決超近距離自主逼近的相對姿態(tài)和軌道聯(lián)合控制技術(shù)。

超近距離的相對姿態(tài)和軌道聯(lián)合控制一需要設(shè)計(jì)相對姿態(tài)控制律，使服務(wù)航天器對目標(biāo)航天器進(jìn)行姿態(tài)跟蹤，二需要通過設(shè)計(jì)服務(wù)航天器的相對軌道控制律，使服務(wù)航天器沿目標(biāo)航天器的對接端口方向逼近目標(biāo)航天器。

目前，相對姿態(tài)和軌道一體化控制研究多集中于編隊(duì)衛(wèi)星的相對位置姿態(tài)控制和近距離交會控制。文獻(xiàn)［2－4］針對編隊(duì)飛行衛(wèi)星，建立了相對位置姿態(tài)的耦合動力學(xué)模型；文獻(xiàn)［5］針對近距離交會衛(wèi)星的運(yùn)動同步設(shè)計(jì)了相對位置的跟蹤控制律。但對超近距離逼近的相對姿軌聯(lián)合控制研究較少。

本文對在軌服務(wù)與目標(biāo)航天器的超近距離姿軌聯(lián)合控制進(jìn)行了研究。

1 相對動力學(xué)建模

為保證服務(wù)航天器在超近距離能對目標(biāo)航天器特定部位進(jìn)行跟蹤，其姿態(tài)控制需對目標(biāo)部位進(jìn)行姿態(tài)對準(zhǔn)，即相對姿態(tài)的控制，同時(shí)相對位置仍需完成接近、繞飛等操作，因此超近距離的自主逼近和?？靠刂拼嬖谧藨B(tài)軌道耦合，涉及12自由度控制，需對姿態(tài)、軌道相對動力學(xué)進(jìn)行建模，耦合性分析和控制律設(shè)計(jì)。

為描述服務(wù)航天器相對目標(biāo)航天器的位置和姿態(tài)運(yùn)動，定義如下坐標(biāo)系。

a）地心慣性坐標(biāo)系oi－xiyizi：原點(diǎn)在地心；oixi軸指向春分點(diǎn)；oizi軸與地球自旋軸重合；oiyi軸與oixi、oiyi軸形成正交右手坐標(biāo)系。

b）航天器第一軌道坐標(biāo)系：原點(diǎn)在航天器質(zhì)心；x軸沿徑向背離地心；y軸在軌道面內(nèi)垂直于x軸指向前方；z軸與x、y軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系。對主動星和目標(biāo)星，分別有主動星第一軌道坐標(biāo)系oc－xcyczc和目標(biāo)星第一軌道坐標(biāo)系ot－xtytzt。

c）航天器本體坐標(biāo)系：原點(diǎn)在航天器質(zhì)心；三軸與本體固連，x軸與體縱軸重合指向前；z軸指向航天器對地面；y軸與x、z軸構(gòu)成正交右手坐標(biāo)系。對主動星和目標(biāo)星，分別有主動星本體坐標(biāo)系oc－xcbycbzcb和目標(biāo)星本體坐標(biāo)系ot－xtbytbztb。

1.1 相對姿態(tài)運(yùn)動動力學(xué)建模

航天器繞任意點(diǎn)均有3個(gè)轉(zhuǎn)動自由度，需用3個(gè)獨(dú)立變量才能確定航天器在空間的姿態(tài)。本文采用相對四元數(shù)作為相對姿態(tài)的描述參數(shù)，目標(biāo)航天器和服務(wù)航天器姿態(tài)運(yùn)動學(xué)方程為

式中：i＝t，c，分別表示目標(biāo)航天器和服務(wù)航天器；Qi為兩航天器本體系相對慣性系的姿態(tài)四元數(shù)；Ωbi分別為兩航天器本體系相對慣性系的旋轉(zhuǎn)角速度矢量的矢量四元數(shù)在本體系中的表示。定義相對姿態(tài)四元數(shù)Qr為目標(biāo)航天器本體系相對服務(wù)航天器本體系的姿態(tài)四元數(shù)，Qt＝Qr?Qr，則

式中：符號“＊”表示共軛。

兩航天器的絕對姿態(tài)動力學(xué)方程為

式中：ωi為兩航天器相對慣性系的旋轉(zhuǎn)角速度在其本體系中的表示；Ii為兩航天器的轉(zhuǎn)動慣量在其本體系中的表示；Ti為作用于兩航天器的控制力矩；Di為兩航天器的外部干擾力矩；符號“×”表示斜對稱矩陣。

為使相對姿態(tài)與絕對姿態(tài)的運(yùn)動學(xué)方程形式一致，定義相對角速度為目標(biāo)航天器本體相對服務(wù)航天器本體的相對旋轉(zhuǎn)角速度在服務(wù)航天器本體系中的表示，有

式中：Ccb／tb為由目標(biāo)航天器本體系至服務(wù)航天器本體系的轉(zhuǎn)換矩陣。對式（4）求導(dǎo)并以矩陣形式表示，則有

式中：

則有

進(jìn)而有

因此，相對姿態(tài)動力學(xué)方程為：

由式（8）可知：相對姿態(tài)運(yùn)動可通過Tc控制。

1.2 相對軌道動力學(xué)建模

在地心慣性坐標(biāo)系中，兩航天器的絕對軌道動力學(xué)方程可表示為

式中：ri為兩航天器地心距矢量；ui為施加于兩航天器的控制加速度矢量；di為兩航天器攝動加速度；μ為地球引力常數(shù)。

兩航天器絕對軌道動力學(xué)方程相減，并令rcrt＝rct＝l＋ρ，可得精確的相對軌道動力學(xué)方程為

式中：l為目標(biāo)航天器到控制目標(biāo)點(diǎn)的位置矢量，可根據(jù)最終逼近段的要求與約束條件進(jìn)行軌跡設(shè)計(jì)；ρ為控制目標(biāo)點(diǎn)至服務(wù)航天器的相對位置矢量，如圖1所示。

圖1 相對位置矢量Fig.1 Relative position vector

根據(jù)在活動坐標(biāo)系中矢量導(dǎo)數(shù)的規(guī)則，將式（10）在目標(biāo)航天器第一軌道系中投影可得

式中：（ωt）t，）t分別為目標(biāo)航天器軌道坐標(biāo)系的絕對角速度和角加速度，其在ot－xtytzt系中的投影分別為（1＋etcosθt）2。此處：θt為服務(wù)航天器的真近點(diǎn)角，且。其中：pt，et分別為服務(wù)航天器半通徑和偏心率。將式（11）化為狀態(tài)變量形式

則完整的相對軌道動力學(xué)方程為

對服務(wù)航天器和目標(biāo)航天器超近距離的相對運(yùn)動，ρ為小量，對ug項(xiàng)通過取一階近似（線性化）進(jìn)行簡化。由ρ＝［xyz］T，（rt）t＝［0 0 －rt］T，（rc）t＝［xyz－rt］T，將ug項(xiàng)改寫為分量形式

1.3 姿態(tài)軌道耦合性分析

服務(wù)航天器自主逼近與捕獲目標(biāo)航天器過程中，相對姿態(tài)與軌道耦合，主要包括以下耦合。

a）服務(wù)航天器推力器沿本體安裝，相對軌道動力學(xué)建立在目標(biāo)航天器軌道系中，需將控制加速度轉(zhuǎn)換至服務(wù)航天器本體系中，該轉(zhuǎn)換與姿態(tài)相關(guān)，稱為控制輸出耦合。其轉(zhuǎn)換矩陣

式中：Ct／i為慣性系至目標(biāo)航天器軌道系的轉(zhuǎn)換矩陣；Ci／c為服務(wù)航天器軌道系至慣性系的轉(zhuǎn)換矩陣；Cc／cb為服務(wù)航天器本體系至軌道系的轉(zhuǎn)換矩陣。

b）相對位置和相對速度的跟蹤指令（即設(shè)計(jì)的逼近路徑）隨目標(biāo)航天器姿態(tài)而變。此耦合是由控制指令產(chǎn)生的，稱為控制指令耦合。其轉(zhuǎn)換矩陣

式中：Ccb／tb為服務(wù)航天器相對目標(biāo)航天器的姿態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣，可由相對測量獲得的目標(biāo)航天器相對服務(wù)航天器的姿態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣求逆得到。

c）需將相對測量獲得服務(wù)航天器本體系中目標(biāo)航天器相對服務(wù)航天器的位置、速度轉(zhuǎn)換至目標(biāo)航天器軌道系中進(jìn)行控制，該轉(zhuǎn)換與服務(wù)航天器自身姿態(tài)有關(guān)，稱為控制輸入耦合。有

2 超近距離姿軌聯(lián)合控制設(shè)計(jì)

超近距離段一般從服務(wù)航天器與目標(biāo)航天器相距300～100m開始，直至兩航天器零距離接觸，實(shí)現(xiàn)對接或抓捕。該階段具有相對距離近、安全性突出、相對控制精度要求高、控制周期短等特點(diǎn)。近程導(dǎo)引段兩飛行器距離相對較遠(yuǎn)，變軌燃料最少是主要設(shè)計(jì)因素，超近距離段則主要考慮安全性和控制精度。

在超近距離段，服務(wù)航天航天器一般沿視線方向以準(zhǔn)直線軌跡逼近目標(biāo)航天器，根據(jù)飛行軌跡安全性，相對導(dǎo)航視場角，以及捕獲與對接的技術(shù)要求，實(shí)施相對狀態(tài)自主控制［6－7］。相對狀態(tài)及其變化率由相對導(dǎo)航系統(tǒng)獲得。

2.1 相對姿態(tài)控制律

設(shè)目標(biāo)航天器相對自身軌道坐標(biāo)系保持姿態(tài)穩(wěn)定，其控制力矩僅用于穩(wěn)定自身姿態(tài)，為最終平移段的接近創(chuàng)造條件，并不直接參與交會對接相對姿態(tài)機(jī)動；服務(wù)航天器以目標(biāo)航天器姿態(tài)為目標(biāo)姿態(tài)（期望姿態(tài)），根據(jù)相對姿態(tài)四元數(shù)和相對旋轉(zhuǎn)角速度進(jìn)行姿態(tài)控制，實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)的姿態(tài)跟蹤［8］。

根據(jù)相對姿態(tài)動力學(xué)方程，設(shè)計(jì)非線性反饋控制律由非線性反饋項(xiàng)Tc1（用于抵消耦合力矩）和四元數(shù)與角速率線性反饋項(xiàng)Tc2兩部分組成，即

式中：

此處：KP，KD為反饋增益系數(shù)矩陣，且KP＝kpIc；KD＝kdIc。其中：kp，kd為反饋增益系數(shù)。將式（21）代入式（8），則有

根據(jù)q1，qr的簡化，可得

顯而易見，此為典型的線性二階系統(tǒng)方程，根據(jù)系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)要求，選擇適當(dāng)KP，KD便可使控制系統(tǒng)穩(wěn)定。

2.2 相對軌道控制律

2.2.1 基于LQG的實(shí)時(shí)閉環(huán)反饋軌道控制算法

為實(shí)現(xiàn)高精度的相對軌道控制，采用最優(yōu)實(shí)時(shí)閉環(huán)反饋控制方法，以預(yù)先設(shè)計(jì)的路徑作為參考量，確保每個(gè)控制周期內(nèi)航天器都能跟蹤預(yù)期的相對軌跡。

根據(jù)相對軌道動力學(xué)方程，選擇狀態(tài)向量

則可寫成狀態(tài)空間形式

式中：u＝Ct／cb（uc）cb－Ct／cb（ul）tb；

超近距離的相對軌道控制是尋找合適的軌道控制律uc將式（27）中的X控制為0。此為狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題，可用現(xiàn)代控制理論中的線性二次型調(diào)節(jié)器（LQR）進(jìn)行設(shè)計(jì)［9］。

離散化式（27），得

尋找線性系統(tǒng)式（28）的最優(yōu)狀態(tài)反饋控制律uk＝－KXk，使二次型目標(biāo)函數(shù)

達(dá)到最小。此處：Q，R分別為狀態(tài)量和控制量的加權(quán)矩陣。

根據(jù)極小值原理，可得LQR最優(yōu)控制律的狀態(tài)反饋增益矩陣

式中：P為對稱非負(fù)定矩陣，滿足離散Riccati方程

由uk反解出作用在服務(wù)航天器本體系上的控制加速度

2.2.2 相對運(yùn)動軌跡

由自主閉環(huán)軌控可知，LQG控制算法使服務(wù)航天器在逼近目標(biāo)航天器時(shí)，控制目標(biāo)點(diǎn)存在一個(gè)突變過程，速度量（ul）t及相對狀態(tài)量發(fā)生突變會直接導(dǎo)致控制加速度發(fā)生突變，進(jìn)而易造成控制超調(diào)，因此需進(jìn)行軌跡設(shè)計(jì)。逼近軌跡設(shè)計(jì)主要用于接近目標(biāo)特征部位，為最后在軌操作或?qū)觿?chuàng)造條件。傳統(tǒng)的逼近軌跡在相對軌道動力學(xué)影響下為曲線，故在逼近過程中會造成視場角變化，不利于相對跟瞄設(shè)備持續(xù)跟蹤目標(biāo)，在超近距離內(nèi)可能會造成目標(biāo)丟失發(fā)生碰撞的危險(xiǎn)。采用直線逼近方式，給定逼近的時(shí)間與目標(biāo)點(diǎn)，按某種函數(shù)規(guī)律平滑變化，可設(shè)計(jì)出一條直線逼近軌跡，在逼近的起始點(diǎn)和終端點(diǎn)滿足邊值條件，軌跡上每點(diǎn)都可得到期望的相對位置和相對速度，將其輸入控制系統(tǒng)進(jìn)行相對軌跡控制，可使每一時(shí)刻服務(wù)航天器均在期望的位置，并具期望的相對速度，避免與目標(biāo)發(fā)生碰撞。同時(shí)，直線逼近可保證目標(biāo)始終處于服務(wù)航天器的某一方向，利于相對跟瞄設(shè)備對目標(biāo)的穩(wěn)定跟蹤，提高任務(wù)的可靠性。

先設(shè)計(jì)l的y、z分量為

則在目標(biāo)飛行器軌道坐標(biāo)系中，控制目標(biāo)點(diǎn)在y、z向的坐標(biāo)始終保持為0，服務(wù)航天器相對目標(biāo)的運(yùn)動軌跡始終保持在x軸附近。

其次合理設(shè)計(jì)控制目標(biāo)點(diǎn)l的x分量，使其按某種函數(shù)規(guī)律平滑變化，同時(shí)在逼近的起始點(diǎn)和終端點(diǎn)滿足邊值條件。x分量的設(shè)計(jì)可歸為一個(gè)兩個(gè)邊值條件問題，此兩點(diǎn)邊值問題有無窮多解。設(shè)lx劃分為下列4個(gè)階段。

a）加速段，采用等加速度進(jìn)行加速逼近；

b）等速逼近段，利于服務(wù)航天器快速安全地逼近目標(biāo)航天器；

c）速度衰減段，在短時(shí)間內(nèi)速度衰減到較小的量值，為停靠或?qū)幼鰷?zhǔn)備；

d）慢速靠攏段，在對接前的最后數(shù)米，以較小的速度靠攏，利于在軌操作［10－11］。

設(shè)計(jì)靠攏速度為：在最后靠攏階段，無論制導(dǎo)機(jī)動正常與否，服務(wù)航天器與目標(biāo)航天器的接觸速度在安全范圍內(nèi)，不會造成危險(xiǎn)。設(shè)計(jì)的逼近軌跡如圖2所示。

圖2 逼近軌跡設(shè)計(jì)Fig.2 Trajectory design for proximity relative motion

將設(shè)計(jì)的軌跡作為控制系統(tǒng)的參考輸入，通過自主閉環(huán)反饋控制律對服務(wù)航天器軌道狀態(tài)施加反饋控制，使其始終保持在目標(biāo)軌道系中的設(shè)計(jì)點(diǎn)處。因該軌道控制作用為連續(xù)狀態(tài)反饋，故其精度較高。

2.2.3 脈寬調(diào)制

因LQG算法獲得的軌道控制加速度為連續(xù)的，但服務(wù)航天器配置的推力器只能提供恒定推力，為此本文采用脈沖調(diào)寬算法。脈沖調(diào)寬本質(zhì)是通過控制定常推力發(fā)動機(jī)在每個(gè)控制周期內(nèi)的工作時(shí)間，以保證發(fā)動機(jī)實(shí)際作用沖量與控制律在該控制周期內(nèi)的所需沖量相等。具體的實(shí)現(xiàn)方法為：根據(jù)LQG軌道控制算法求出作用于服務(wù)航天器的控制力加速度為（uc）cb，則在采樣周期內(nèi)，3個(gè)方向上作用于服務(wù)航天器的沖量分別為

式中：m為服務(wù)航天器質(zhì)量；ΔT為軌控周期。根據(jù)確定的控制加速度，按采樣周期內(nèi)沖量相等原則，3個(gè)方向上發(fā)動機(jī)推力作用時(shí)間分別為

式中：Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z為三個(gè)方向的軌控推力。若發(fā)動機(jī)能提供的最小脈沖寬度為ΔTmin，采樣周期為ΔT，則對tx，ty，tz進(jìn)行處理

此即為用恒定推力模擬連續(xù)軌控加速度的脈沖調(diào)寬算法。

3 數(shù)學(xué)仿真

仿真中航天器初始軌道要素見表1，服務(wù)航天器從目標(biāo)航天器正后方200m接近至目標(biāo)0.5m。取仿真時(shí)間1 000s，仿真步長0.1s，用本文方法所得超近距離段姿態(tài)軌道聯(lián)合控制的仿真結(jié)果如圖3～7所示。

表1 兩航天器初始參數(shù)Tab.1 Initial elements of two spacecraft

圖3 相對位置Fig.3 Relative position

圖4 相對速度Fig.4 Relative velocity

圖5 相對姿態(tài)角控制誤差Fig.5 Relative attitude angular position error

由圖可知：經(jīng)約800s服務(wù)航天器從目標(biāo)航天器正后方200m直線逼近至0.5m處，相對位置控制精度優(yōu)于0.15m，相對速度也逐漸趨于零；目標(biāo)航天器相對服務(wù)航天器的三軸姿態(tài)角控制精度優(yōu)于0.5°，三軸姿態(tài)角速度控制精度優(yōu)于0.02 （°）／s。仿真表明，本文的相對軌道和姿態(tài)聯(lián)合控制算法可行，且控制性能較好，滿足高精度交會對接的需求。

圖6 相對姿態(tài)角速度控制誤差Fig.6 Relative attitude angular velocity error

圖7 軌道平面內(nèi)相對運(yùn)動軌跡Fig.7 Trajectory of relative motion

4 半物理仿真

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文超近距離姿軌聯(lián)合控制方法的正確性，用地面半物理仿真試驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。超近距離姿軌聯(lián)合控制試驗(yàn)系統(tǒng)所用的仿真平臺由零重力氣浮臺、目標(biāo)星模擬器、追蹤星模擬器、目標(biāo)與測量定位系統(tǒng)、地面控制臺、動力學(xué)宿主機(jī)、動力學(xué)目標(biāo)機(jī)和視景仿真計(jì)算機(jī)等組成。其中：氣浮平臺上的衛(wèi)星模擬器模擬失重環(huán)境中的動力學(xué)；仿真計(jì)算機(jī)根據(jù)相對狀態(tài)量和逼近、懸停的任務(wù)規(guī)劃，解算控制律，并控制追蹤星模擬器按指定路徑運(yùn)行；視景仿真系統(tǒng)演示在軌飛行器的運(yùn)行狀態(tài)。在與數(shù)學(xué)仿真參數(shù)相同的條件下，半物理仿真結(jié)果如圖8所示。分析試驗(yàn)數(shù)據(jù)可知：模擬器的相對位置控制精度最終優(yōu)于1cm，相對姿態(tài)控制精度優(yōu)于0.1°，滿足最終的對接、捕獲控制精度的需求。

圖8 主動星模擬器相對距離Fig.8 Relative distance

5 結(jié)束語

本文對在軌服務(wù)的超近距離姿軌聯(lián)合控制方法進(jìn)行了研究。建立了兩航天器超近距離相對運(yùn)動中，兩航天器基于相對四元數(shù)的相對姿態(tài)運(yùn)動動力學(xué)方程和基于相對運(yùn)動軌跡設(shè)計(jì)的相對軌道動力學(xué)模型，根據(jù)動力學(xué)模型耦合特性，設(shè)計(jì)非線性相對姿態(tài)控制律，并考慮姿態(tài)運(yùn)動的耦合作用，設(shè)計(jì)了具有姿態(tài)信息反饋的較強(qiáng)魯棒性的控制律，以獲得高精度的交會對接控制。數(shù)學(xué)仿真和半物理仿真結(jié)果驗(yàn)證了方法的有效性和可行性。

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