孫 杰，李 冬

（中國人民解放軍91550部隊(duì)，遼寧 大連 116023）

0 引言

GEO衛(wèi)星具有相對地球同步的軌道特征，在導(dǎo)航定位、授時、跟蹤與數(shù)據(jù)中繼、導(dǎo)彈預(yù)警等領(lǐng)域的應(yīng)用不斷增多，對非合作的GEO空間目標(biāo)進(jìn)行日常監(jiān)視與定軌，對增強(qiáng)空間態(tài)勢感知能力有重大意義。天基光學(xué)監(jiān)視系統(tǒng)利用天基衛(wèi)星搭載的可見光相機(jī)對GEO空間目標(biāo)進(jìn)行探測成像，不受地域限制和氣象條件限制，只需要一顆衛(wèi)星就可完成對整個地球同步軌道帶的覆蓋。天基衛(wèi)星還能從不同的方位觀測GEO空間目標(biāo)，站星幾何變化大，觀測幾何結(jié)構(gòu)好，定軌精度高，用天基光學(xué)觀測方式對GEO空間目標(biāo)進(jìn)行高精度定軌成為空間目標(biāo)監(jiān)視的一個重要發(fā)展方向［1－4］。

1996年，美國在空間中段實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星（MSX）上搭載可見光傳感器（SBV），開始對天基空間目標(biāo)監(jiān)視技術(shù)展開演示驗(yàn)證［1、5］。SBV的一個重要任務(wù)是確定GEO空間目標(biāo)軌道，完成在編目標(biāo)的編目維持和更新，其定軌過程分為初軌確定和軌道改進(jìn)兩個階段，初軌確定的作用是在目標(biāo)發(fā)現(xiàn)階段識別目標(biāo)和引導(dǎo)傳感器跟蹤目標(biāo)，經(jīng)過數(shù)個觀測弧段的積累，進(jìn)入了軌道改進(jìn)階段，定軌精度迅速提升。文獻(xiàn)［6］提出了初軌計算的單位矢量法，將拉普拉斯初軌計算方法的條件方程組形式作變換，使條件方程組中不再出現(xiàn)兩兩相減的形式，不會損失有效數(shù)字，提高了定軌精度。文獻(xiàn)［7］研究了考慮攝動時的單位矢量法，擴(kuò)展了單位矢量法的使用范圍。文獻(xiàn)［8］給出了一種攝動條件下長弧段初軌計算的單位矢量法，該法既可適于長弧段，也可適于短弧段，計算收斂性較好。與經(jīng)典Laplace法相比，單位矢量法的優(yōu)點(diǎn)有計算精度高、穩(wěn)定性好、收斂速度快等，從而被廣泛用于初軌計算，但該法中條件方程組的求解多采用最小二乘法，忽略了條件方程組噪聲項(xiàng)的統(tǒng)計特性，故不能給出最優(yōu)解。引入約束總體最小二乘法（CTLS）用于求解單位矢量法的條件方程組，能充分利用條件方程組噪聲項(xiàng)的統(tǒng)計特性獲得最優(yōu)解，從而可提高天基光學(xué)觀測條件下的初軌確定精度［9］。軌道改進(jìn)中，天基衛(wèi)星與GEO空間目標(biāo)相對幾何變化較大，觀測量的系統(tǒng)誤差易辨識，可將系統(tǒng)誤差作為待估量而與觀測量分離。本文以SBV為參考，對天基光學(xué)觀測條件下的GEO空間目標(biāo)軌道確定方法（包括初軌確定方法和軌道改進(jìn)方法）進(jìn)行了研究。

1 GEO空間目標(biāo)初軌確定

1.1 初軌確定的單位矢量法

天基衛(wèi)星的可見光傳感器能獲取GEO空間目標(biāo)的赤經(jīng)和赤緯，在地心慣性系中，它們分別為空間目標(biāo)相對天基衛(wèi)星的方位角和俯仰角。設(shè)觀測時刻ti的赤經(jīng)和赤緯為 （αi，δi）；天基衛(wèi)星和空間目標(biāo)在地心慣性系中的位置矢量分別為Ri＝［XiYiZi］T，ri＝ ［xiyizi］T；目標(biāo)相對天基衛(wèi)星的方向

距離為ρi。由圖1所示的幾何關(guān)系，有

圖1 天基衛(wèi)星與GEO空間目標(biāo)的幾何關(guān)系Fig.1 Geometry relation between space－based satellite and GEO object

用文獻(xiàn)［6］的單位矢量法構(gòu)造單位矢量

將式（1）中ri在r0，處作FG級數(shù)展開，得

式中：fi，gi為時刻ti的FG級數(shù)，均為關(guān)于r0，的函數(shù)。用式（2）、（3）分別點(diǎn)乘式（4）兩端，得單位矢量法的條件方程組

設(shè)觀測弧段有觀測量m組，條件方程組式（5）可表示為

式中：

A，b均受噪聲干擾，方程組無解，常用最小二乘法迭代求解X。

1.2 求解條件方程組的約束總體最小二乘法

令C＝［Ab］，則條件方程組式（6）變?yōu)?/p>

設(shè)Y的真值為Y＊，則 ΔY＝Y(jié)－Y＊，令u＝Σ－0.5ΔY，則u服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。C為Y的函數(shù)，記為C（Y），將C（Y＊）在Y處展開得

這樣，方程式（10）的約束總體最小二乘問題為約束優(yōu)化問題

約束條件為

式中：Gj為準(zhǔn)對角陣，且Gj＝diag［Gj1…Gjm］。此處：Gji（j＝1，2，…，7，i＝1，2，…，m）為Gj的第i個對角子塊矩陣。由式（7）、（9）可得

式中：

G1i，G2i，G3i中的fi換成gi即為G4i，G5i，G6i。

極小化的變量X。由式（13）可求出F（X）關(guān)于X的梯度和二階導(dǎo)數(shù)矩陣，這樣便可用收斂速度較快的牛頓法求F（X）的極值［10］。實(shí)驗(yàn)表明迭代初值的選取嚴(yán)重影響算法的收斂性，如選取不當(dāng)，易造成迭代發(fā)散。經(jīng)實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)，文獻(xiàn)［11］中消除平凡解的初值計算方法能保證約束總體最小二乘法的收斂性。

2 GEO空間目標(biāo)軌道改進(jìn)

軌道改進(jìn)中，GEO空間目標(biāo)需考慮的攝動力主要有J4項(xiàng)地球非球形引力、日月三體引力和太陽光壓攝動力，其它攝動力相對微弱，本文忽略不計。天基衛(wèi)星軌道一般為極地軌道，與GEO空間目標(biāo)的相對幾何變化較大，觀測幾何較好，軌道改進(jìn)易得測角資料中的系統(tǒng)誤差估計，本文對每個觀測弧段估計赤經(jīng)和赤緯的常值系統(tǒng)誤差。

令軌道改進(jìn)中GEO空間目標(biāo)的狀態(tài)變量

式中：Gi（X0，t0，ti）為時刻ti的測量真值；i＝1，…，N。此處：N為軌道改進(jìn)中測量采樣點(diǎn)數(shù)。令

由可得時刻t0空間目標(biāo)的位置和速度估計，從而完成空間目標(biāo)的軌道確定，同時也能獲得光壓系數(shù)和測量系統(tǒng)誤差的估計。本文用高斯牛頓迭代法計算，迭代公式為

3 仿真實(shí)驗(yàn)

取衛(wèi)星軌道根數(shù)半長軸、偏心率、傾角、升交點(diǎn)赤經(jīng)、近地點(diǎn)幅角和平近點(diǎn)角分別為a，e，i，Ω，ω，M，則第二類無奇點(diǎn)軌道根數(shù)為a，i，Ω，ξ，η，λ，其中ξ＝ecosω，η＝－esinω，λ＝M＋ω。仿真中，設(shè)天基衛(wèi)星的軌道為極地軌道，天基衛(wèi)星和GEO空間目標(biāo)初始時刻的第二類無奇點(diǎn)軌道根數(shù)見表1。GEO空間目標(biāo)真實(shí)軌道的動力學(xué)模型采用20×20階地球引力場模型、日月引力模型、太陽光壓模型、固體潮模型和海潮模型，軌道改進(jìn)中的動力學(xué)模型采用4×4階地球引力場模型、日月引力模型和太陽光壓模型，仿真時長為86 400s，蒙特卡羅仿真500次。因地球遮擋和光照條件的影響，天基衛(wèi)星不能對GEO空間目標(biāo)連續(xù)觀測，能觀測空間目標(biāo)的弧段有14個，如圖2所示，總觀測時間61 478s。

圖2 GEO空間目標(biāo)的觀測弧段Fig.2 Observation arcs for GEO object

初軌確定的測角資料選擇第一個觀測弧段，時長35min，采樣間隔5s，在測量噪聲（隨機(jī)誤差）分別為15″，30″條件下仿真，最小二乘法（LS）和約束總體最小二乘法（CTLS）所得軌道根數(shù)均方根（RMS）誤差見表2。由表可知：約束總體最小二乘法的初軌精度相對最小二乘法有所提高，這是因?yàn)樽钚《朔ê雎粤藯l件方程組噪聲項(xiàng)的統(tǒng)計特性，但精度提高幅度較小，這是條件方程間的統(tǒng)計相關(guān)性較弱的緣故。

軌道改進(jìn)的測角選擇全部可觀測弧段，采樣間隔1s，待估參數(shù)35個，即GEO空間目標(biāo)的位置速度矢量、太陽光壓系數(shù)和每個弧段內(nèi)兩個測元的系統(tǒng)誤差，軌道改進(jìn)的迭代初值為初軌確定的結(jié)果。500次蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：初軌確定的結(jié)果能使軌道改進(jìn)收斂，系統(tǒng)誤差的估計誤差不超過2.8%。不同測量誤差條件下位置 （x，y，z）和速度（vx，vy，vz）的均方根誤差見表3。由表可知：隨機(jī)誤差相同時，系統(tǒng)誤差越大，定軌精度越高，這是因?yàn)橄到y(tǒng)誤差較大時，易將系統(tǒng)誤差與其他誤差分離，系統(tǒng)誤差的估計精度較高。

表1 天基衛(wèi)星和GEO空間目標(biāo)的軌道根數(shù)Tab.1 Obit roots of space－based satellite and GEO object

表2 初軌確定軌道根數(shù)的均方根誤差Tab.2 RMS error of obit roots for preliminary orbit

表3 軌道改進(jìn)位置速度的均方根誤差Tab.3 RMS error of position and velocity for orbit improvement

4 結(jié)束語

本文研究了天基光學(xué)觀測條件下的GEO空間目標(biāo)定軌方法。初軌確定時先將單位矢量法的條件方程組求解轉(zhuǎn)為一個約束總體最小二乘問題，再轉(zhuǎn)為無約束優(yōu)化問題，最后用牛頓法迭代求解。仿真結(jié)果表明：與最小二乘法相比，約束總體最小二乘法的初軌計算精度有所提高。軌道改進(jìn)采用非線性最小二乘法同時解算空間目標(biāo)的軌道參數(shù)和測元的系統(tǒng)誤差，仿真結(jié)果表明系統(tǒng)誤差的估計誤差不超過2.8%，軌道改進(jìn)的收斂性能好。

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