劉文輝，戴煥云

（西南交通大學(xué) 牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610031）

0 引言

最近幾十年來(lái)從事鐵路研究的專(zhuān)家們?cè)诿撥壚碚摵驮囼?yàn)方面都有很大的進(jìn)展，著名的Nadal公式［1］定義了車(chē)輪出現(xiàn)爬軌趨勢(shì)所需的最小脫軌系數(shù)Q/P（其中，Q和P分別為作用在車(chē)輪上的橫向力和垂向力）值，但它在小沖角和負(fù)沖角時(shí)比較保守［2］。日本的JNR［3］區(qū)分了動(dòng)態(tài)跳軌脫軌和穩(wěn)態(tài)爬軌脫軌的不同性質(zhì)，考慮了橫向力作用時(shí)間，但對(duì)于脫軌判斷還存在一定的局限性。車(chē)輛在運(yùn)行過(guò)程中由于復(fù)雜的輪軌關(guān)系，使得人們對(duì)車(chē)輛脫軌機(jī)理還沒(méi)有確切了解。突變理論［4］的提出，為我們研究車(chē)輛脫軌的機(jī)理提供了新的思路。文獻(xiàn)［5］運(yùn)用突變理論的尖點(diǎn)突變模型，考慮脫軌系數(shù)和沖角兩個(gè)因素的影響，分析研究車(chē)輛脫軌的機(jī)理。由于尖點(diǎn)突變考慮的控制因素只有兩個(gè)，沒(méi)有考慮脫軌系數(shù)超限時(shí)間，因此還不能完全判斷出車(chē)輛是否脫軌。本文是在前人研究的基礎(chǔ)上，針對(duì)脫軌系數(shù)、沖角和脫軌系數(shù)超限時(shí)間3個(gè)因素對(duì)車(chē)輛脫軌的影響，建立車(chē)輛脫軌事故燕尾突變模型，并根據(jù)這個(gè)模型來(lái)對(duì)脫軌問(wèn)題進(jìn)行分析和描述。

1 車(chē)輛脫軌事故突變模型

1.1 建立車(chē)輛脫軌事故燕尾突變模型

用V＝V（x，c）表示車(chē)輛運(yùn)行過(guò)程中的勢(shì)函數(shù)，其中，V表示維持車(chē)輛在軌穩(wěn)定運(yùn)行的能力；x表示車(chē)輛運(yùn)行狀態(tài)，是一維變量；c表示控制變量，即脫軌系數(shù)、沖角和脫軌系數(shù)超限時(shí)間。系統(tǒng)有1個(gè)狀態(tài)變量、3個(gè)控制變量，可選用燕尾突變模型來(lái)對(duì)車(chē)輛脫軌事故進(jìn)行分析研究。設(shè)車(chē)輛在軌運(yùn)行的狀態(tài)變量為x，脫軌系數(shù)、沖角和脫軌系數(shù)超限時(shí)間分別為u，v和w，用燕尾突變模型描述車(chē)輛在軌運(yùn)行中的突變特征。燕尾突變模型的勢(shì)函數(shù)表達(dá)式為：

對(duì)式（1）求導(dǎo)得到平衡曲面M的方程：

對(duì)式（2）求導(dǎo)得到奇點(diǎn)集S：

聯(lián)立式（2）和式（3）消去x，可得到燕尾突變的分叉集，它是一個(gè)三維控制空間的曲面，如圖1所示。

圖1 燕尾突變模型的分叉集

1.2 燕尾突變模型突變形式分析

根據(jù)突變理論，可能導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生突變的臨界點(diǎn)都位于分叉集上，當(dāng)控制點(diǎn)P（u0，v0，w0）的變化越過(guò)分叉集時(shí)，系統(tǒng)就可能會(huì)發(fā)生突變［6］。許多現(xiàn)象可以認(rèn)為是某種形式的勢(shì)函數(shù)所控制，因此我們對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行突變分析時(shí)可以分析它的勢(shì)函數(shù)，系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)是勢(shì)函數(shù)的最小值對(duì)應(yīng)的狀態(tài)［7］。當(dāng)系統(tǒng)的勢(shì)函數(shù)有至少兩個(gè)最小值時(shí)，系統(tǒng)就處于不穩(wěn)定的狀態(tài)，這時(shí)系統(tǒng)由一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)過(guò)渡到另一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，就可能會(huì)引起系統(tǒng)狀態(tài)的突變。

為了清楚地了解燕尾突變模型的突變形式和機(jī)理，我們將3個(gè)控制變量中的一個(gè)保持不變，改變其他兩個(gè)控制變量再討論系統(tǒng)狀態(tài)的變化。保持u為常數(shù)，討論v－w平面。從圖1中可以看出模型的分叉集圖形在u≥0和u＜0時(shí)是不同的，因此對(duì)這兩種情況分別進(jìn)行討論。

（1）當(dāng)u≥0時(shí)，v－w平面被分叉集分成了兩個(gè)區(qū)域，Ⅰ區(qū)和Ⅱ區(qū)（如圖2所示）。式（4）確定了這兩個(gè)區(qū)域的分界線(xiàn)：

考慮v＝0時(shí)的特殊情況，由式（4）可得到平衡曲面有：

當(dāng)w＞0時(shí)，對(duì)應(yīng)圖2中的Ⅰ區(qū)，此時(shí)式（5）沒(méi)有實(shí)數(shù)解，對(duì)應(yīng)的勢(shì)函數(shù)也無(wú)奇點(diǎn)。當(dāng)w＜0時(shí)，對(duì)應(yīng)圖2中的Ⅱ區(qū)，平衡曲面有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，勢(shì)函數(shù)有一個(gè)極大值一個(gè)極小值，其中極大值為不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，極小值為穩(wěn)定平衡點(diǎn)。各區(qū)勢(shì)函數(shù)形式如圖2所示。

圖2 當(dāng)u為常數(shù)（u≥0）時(shí)的分叉集截線(xiàn)及各區(qū)勢(shì)函數(shù)形式

圖3 當(dāng)u為常數(shù)（u＜0）時(shí)的分叉集截線(xiàn)及各區(qū)勢(shì)函數(shù)形式

同樣地分別保持v和w為常數(shù)，討論系統(tǒng)其他平面分叉集勢(shì)函數(shù)及平衡點(diǎn)的變化，得到的圖1中幾個(gè)區(qū)域的勢(shì)函數(shù)和平衡點(diǎn)情況如下：Ⅰ區(qū)勢(shì)函數(shù)無(wú)奇點(diǎn)；Ⅱ區(qū)有4個(gè)平衡點(diǎn)，兩個(gè)穩(wěn)定兩個(gè)不穩(wěn)定，不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)和穩(wěn)定的平衡點(diǎn)是相間排列的；Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ區(qū)有兩個(gè)平衡點(diǎn)，一個(gè)穩(wěn)定一個(gè)不穩(wěn)定。

1.3 模型的應(yīng)用

不同摩擦因素下沖角對(duì)脫軌系數(shù)臨界值的影響［8］如圖4所示，隨著沖角的增大，脫軌系數(shù)將逐漸減小，在大約1°沖角時(shí)脫軌系數(shù)接近于Nadal脫軌系數(shù)限制?；诖_定的摩擦因數(shù)μ＝0.3以及輪緣接觸角δ＝60°，參照Nadal公式求得的脫軌系數(shù)值為0.95，考慮1.2的安全系數(shù)后定為0.8，脫軌系數(shù)超限時(shí)間為脫軌系數(shù)超過(guò)0.8的持續(xù)作用時(shí)間。由燕尾突變的分叉集可以得到受脫軌系數(shù)、沖角和脫軌系數(shù)超限時(shí)間作用下的車(chē)輛脫軌燕尾突變模型的分叉集，如圖5所示。當(dāng)3個(gè)控制變量——脫軌系數(shù)、沖角和脫軌系數(shù)超限時(shí)間落在Ⅱ區(qū)時(shí)，由之前的分析得到Ⅱ區(qū)有兩個(gè)穩(wěn)定兩個(gè)不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，這兩個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)一個(gè)是車(chē)輛安全運(yùn)行狀態(tài)，另一個(gè)是車(chē)輛脫軌狀態(tài)，當(dāng)控制變量在Ⅱ區(qū)內(nèi)變化時(shí)，兩個(gè)不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)會(huì)導(dǎo)致車(chē)輛在兩個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)之間跳動(dòng)。當(dāng)脫軌系數(shù)、沖角和脫軌系數(shù)超限時(shí)間持續(xù)增大落入Ⅴ區(qū)時(shí)，車(chē)輛在3個(gè)參數(shù)的共同作用下已處于脫軌狀態(tài)。因此分叉集Ⅱ區(qū)為引發(fā)突變導(dǎo)致車(chē)輛脫軌事故發(fā)生的臨界區(qū)，Ⅴ區(qū)為脫軌區(qū)，我們應(yīng)避免控制變量落入脫軌區(qū)。

圖4 不同摩擦因數(shù)下沖角對(duì)脫軌系數(shù)臨界值的影響

2 實(shí)例仿真分析

本文選用某車(chē)輛的各項(xiàng)基本參數(shù)如車(chē)體質(zhì)量、輪對(duì)質(zhì)量、質(zhì)心位置、懸掛參數(shù)等，利用Simpack軟件建立車(chē)輛動(dòng)力學(xué)仿真模型，見(jiàn)圖6。

圖5 車(chē)輛脫軌燕尾突變模型的分叉集

施加標(biāo)準(zhǔn)的軌道激勵(lì)譜，設(shè)置不同的工況進(jìn)行計(jì)算。工況一對(duì)應(yīng)速度等級(jí)為250km/h；工況二對(duì)應(yīng)速度等級(jí)為350km/h；工況三為無(wú)抗蛇行減振器下速度等級(jí)250km/h。在Simpack軟件中仿真計(jì)算得到各工況下車(chē)輛的脫軌系數(shù)時(shí)間歷程和沖角時(shí)間歷程。見(jiàn)圖7～圖12。

圖6 車(chē)輛動(dòng)力學(xué)仿真模型

圖7 工況一下脫軌系數(shù)時(shí)間歷程

圖8 工況一下沖角時(shí)間歷程

圖9 工況二下脫軌系數(shù)時(shí)間歷程

圖10 工況二下沖角時(shí)間歷程

圖11 工況三下脫軌系數(shù)時(shí)間歷程

圖12 工況三下沖角時(shí)間歷程

由圖7、圖9和圖11可以看出，該車(chē)在三個(gè)工況下的脫軌系數(shù)都有部分超過(guò)Nadal脫軌系數(shù)臨界值，此時(shí)用車(chē)輛脫軌事故燕尾突變模型進(jìn)行判斷。先對(duì)三個(gè)工況的脫軌系數(shù)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到脫軌系數(shù)超過(guò)0.8的超限時(shí)間以及這段時(shí)間內(nèi)最大的脫軌系數(shù)和沖角，將這些數(shù)據(jù)放入燕尾突變模型的分叉集中進(jìn)行判斷。

圖13～圖15分別為三種工況下車(chē)輛脫軌燕尾突變計(jì)算結(jié)果。由圖13分析可得：用燕尾突變模型計(jì)算的結(jié)果表明沒(méi)有落入脫軌區(qū)域內(nèi)（圖1中的Ⅴ區(qū)），說(shuō)明此時(shí)車(chē)輛是正常運(yùn)行狀態(tài)，這與現(xiàn)實(shí)中車(chē)輛運(yùn)行狀況相符。由圖14和圖15分析可得：脫軌系數(shù)值都有部分超過(guò)了Nadal脫軌系數(shù)臨界值，并且用燕尾突變模型計(jì)算也表明有部分值落入到Ⅴ區(qū)，說(shuō)明此時(shí)車(chē)輛已經(jīng)處于脫軌狀態(tài)。

圖13 工況一車(chē)輛脫軌燕尾突變計(jì)算結(jié)果

圖14 工況二車(chē)輛脫軌燕尾突變計(jì)算結(jié)果

圖15 工況三車(chē)輛脫軌燕尾突變計(jì)算結(jié)果

3 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)建立車(chē)輛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)仿真模型，計(jì)算分析在不同工況下車(chē)輛脫軌系數(shù)、沖角和脫軌系數(shù)超限時(shí)間分布情況，用燕尾突變模型對(duì)車(chē)輛脫軌事故進(jìn)行描述說(shuō)明，驗(yàn)證突變分析結(jié)果。仿真結(jié)果表明，車(chē)輛脫軌區(qū)域主要集中在正沖角區(qū)域內(nèi)，在沖角為零的附近區(qū)域，車(chē)輛脫軌系數(shù)雖然超過(guò)臨界脫軌系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)，但用燕尾突變模型計(jì)算的結(jié)果表明并沒(méi)有落入脫軌區(qū)域內(nèi)，說(shuō)明此時(shí)Nadal評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)偏保守。只有當(dāng)脫軌系數(shù)、沖角和脫軌系數(shù)超限時(shí)間3個(gè)控制變量同時(shí)滿(mǎn)足條件時(shí)，車(chē)輛才會(huì)發(fā)生脫軌。

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