Hilbert空間上的g-框架及單位分解

趙云，陶常利

(山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,山東 青島 266590)

摘要：g-框架是對(duì)框架理論進(jìn)一步的補(bǔ)充和豐富，在實(shí)際應(yīng)用上更具有靈活性.利用算子理論和泛函分析的知識(shí)完善g-框架的一些結(jié)果并討論了g-框架的判定和求g-框架下界的方法.其次,給出了單位分解的幾個(gè)性質(zhì),并進(jìn)一步研究了它與g-框架的關(guān)系.

關(guān)鍵詞：g-框架；單位分解；下界

中圖分類(lèi)號(hào)：O177.1 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

收稿日期：2014-12-09

作者簡(jiǎn)介：姜雨萌， 女，594245238@qq.com

文章編號(hào)：1672-6197(2015)05-0033-04

G-frame and resolution of the identity in Hibbert space

ZHAO Yun, TAO Chang-li

(College of Mathematics and Systems Science, Shandong University of Science and Technology, Qingdao 266590, China)

Abstract:g-frame is the supplement and complement of the abstract frame theory,and have more flexibility in practical application. We improved some results of g-frame and discussed the judge of g-frames to provide a method for getting its lower bound.Secondly,some properties of resolution of the identity were given,and the relationship between g-frame and the resolution of the identity was further studied.

Key words:g-frame; resolution of the identity;lower bound

框架具有很多比較好的性質(zhì),使得它在函數(shù)空間、信號(hào)處理等領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用.框架的一個(gè)主要優(yōu)點(diǎn)是給出一個(gè)框架,我們可以?xún)H從它的一列復(fù)的框架系數(shù)就可以得到函數(shù)的特性并且對(duì)其進(jìn)行重建.文獻(xiàn)[1-4]對(duì)框架的理論和應(yīng)用進(jìn)行了詳細(xì)的介紹.由于框架應(yīng)用的廣泛性,人們?cè)絹?lái)越熱衷于對(duì)框架的研究,從而衍生出許多新的概念和應(yīng)用.其中,南開(kāi)大學(xué)的孫文昌教授通過(guò)對(duì)有界準(zhǔn)投射算子族[5]、子空間框架[6-7]、偽逆框架[8]、斜框架[9-10]、外框架[11]等多種框架類(lèi)型的研究,歸納它們的共同性質(zhì),從中提煉出了g-框架的概念[12-13].g-框架是抽象框架的推廣,使得在用框架展開(kāi)系數(shù)來(lái)表征函數(shù)空間方面更具有靈活性.單位分解是一個(gè)重要的研究方向,利用單位分解和g-框架的性質(zhì),可以得到一些有意義的結(jié)果.

1關(guān)于g-框架的一些結(jié)果

首先,我們給出Hilbert空間中有關(guān)g-框架的幾個(gè)概念[12].

?f∈U

(1)

定義2若式(1)只考慮右端不等式,即

由文獻(xiàn)[12]我們知道,S是U上的正定可逆的算子,滿(mǎn)足AId≤S≤BId,且還滿(mǎn)足重構(gòu)公式

下面我們討論g-框架的簡(jiǎn)單性質(zhì).

B1‖Λjf‖2

則

因此,

前面已經(jīng)提到,g-框架是由多種類(lèi)型的框架提煉而出的一種框架,因此,在實(shí)際應(yīng)用方面,g-框架具有更多的選擇和靈活性.我們根據(jù)文獻(xiàn)[7]中有關(guān)子空間框架的研究,給出一種求g-框架下界的方法.

因此,

即

g-框架作為抽象框架的一種推廣,無(wú)論是在理論研究方面,還是在實(shí)際應(yīng)用中,都起到了不可替代的作用.那么,g-框架的判定就顯得尤為重要.

證明?g∈U,有

因此,T是自伴算子.于是有

‖T‖‖f‖2,?f∈U

(2)

即對(duì)一切j∈J,有Λjf=0.因此,f=0.進(jìn)一步,T在U上有閉值域,從而在閉子空間上的限制算子也有閉值域.于是我們有

‖T‖‖f‖

再由Cauchy-Schwartz不等式和式(2)得

所以,

于是,

‖T‖-1‖T-1‖-2‖f‖2

2單位分解與g-框架

本節(jié)我們主要討論單位分解的一些簡(jiǎn)單性質(zhì)及與g-框架的關(guān)系.

2.1　單位分解的概念和簡(jiǎn)單性質(zhì)

且序列無(wú)條件收斂.

我們知道,對(duì)于g-框架有重構(gòu)公式

接下來(lái)我們介紹單位分解的一些性質(zhì).

因此,

?f∈U

則

λ‖f‖

因此,‖Id-S‖≤λ<1,所以S可逆,且對(duì)?f∈U,有

2.2　單位分解和g-框架

利用單位分解,我們又可以得到一種求g-框架下界的方法.

參考文獻(xiàn):

[1] Christensen O.An Introduction to Frames and Riesz Bases[M].Boston:Birkhauser，2003.

[2] Grochenig K.Foundations of Time-Frequency Analysis[M].Boston， Birkhauser，2001.

[3] Han D G, Larson D R.Larson,Frames,bases and group representations[J].Mem Amer Math Soc,2000,147(697)：1-94.

[4] 李登峰,薛明志.Banach空間上的基和框架[M].北京:科學(xué)出版社,2007.

[5] Fornasier M.Quasi-orthogonal decompositions of structured frames[J].J Math Anal Appl,2004,289(1):180-199.

[6] Casazza P G,Kutyniok G.Frames of subspaces[M]// Wavelets,Frames and Operator Theory. Contemporary Mathematics, 2004:87-113.

[7] Asgari M S,Khosravi A.Frames and bases of subspaces in Hilbert spaces[J].J Math Anal Appl,2005,308(2):541-553.

[8] Li S D,Ogawa H.Pseudoframes for subspaces with applications[J].J Fourier Anal Appl,2004,10(4):409-431.

[9] Christensen O.Eldar Y C.Oblique dual frames and shift-invariant spaces[J].Appl Comput Harmon Anal,2004,17(1):48-68.

[10] Eldar Y C.Sampling with arbitrary sampling and reconstruction spaces and oblique dual frame vectors[J].J Fourier Anal Appl,2003,9(1):77-96.

[12] Sun W C.G-frames and g-Riesz bases[J].J Math Anal Appl,2006,322(1):437-452.

[13] Sun W C.Stability of g-frames[J].J Math Anal Appl,2007,326(2):858-868.

(編輯：姚佳良)