一類復(fù)雜切換系統(tǒng)的可鎮(zhèn)定性

白鵬

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070)

摘要：針對一類帶有非線性脈沖及擾動的離散切換系統(tǒng)，給出了系統(tǒng)可控時的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣估計.通過狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣估計和在給定切換頻率下任意切換信號，得到了帶有脈沖作用的平面離散切換系統(tǒng)的可鎮(zhèn)定性.同時，當(dāng)系統(tǒng)至少含有一個不可控子系統(tǒng)時，通過滿足一定的切換頻率，整個切換系統(tǒng)仍然是可鎮(zhèn)定的.

關(guān)鍵詞：切換系統(tǒng); 可鎮(zhèn)定性;脈沖作用及擾動

中圖分類號：O322; O324 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

收稿日期：2014-11-08

作者簡介：李強(qiáng)，男，liqiangxin@163.com

文章編號：1672-6197(2015)05-0061-03

Aclassofcomplexswitchingsystemstostabilization

BAIPeng

(SchoolofMathematicsandPhysics,LanzhouJiaotongUniversity,Lanzhou730070,China)

Abstract:We provided the state transition matrix estimation for a class of discrete switched systems with nonlinear pulse and disturbance. Through the state transition matrix estimation and under arbitrary switching signal of a given switching frequency, we got the stability of planar discrete switched systems with pulse function. At the same time when the system contained at least one uncontrolled subsystem, the whole switching system was still stabilizable by satisfying certain switching frequency.

Keywords:switchingsystem;stabilization;impulseeffectsanddisturbance

切換系統(tǒng)[1]是由若干個相互作用相互影響的連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)組成，是混雜系統(tǒng)[2]中應(yīng)用最廣泛的一類系統(tǒng).穩(wěn)定性可以說是系統(tǒng)中的最基本的性質(zhì)，在切換系統(tǒng)的研究中，切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性[3]也是研究最為集中的問題，而且取得了一大批研究成果.1999年，DanielLiberzon和A.StephenMorse在同年10月的控制系統(tǒng)雜志上發(fā)表了第一篇有關(guān)切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其設(shè)計的綜述文章，比較全面地闡述了切換系統(tǒng)穩(wěn)定性研究的基本問題.

本文根據(jù)非線性脈沖及擾動作用的平面離散時間線性切換系統(tǒng)[3-7]，對所有子系統(tǒng)均可控情況，確定了給定切換頻率及有界脈沖條件下系統(tǒng)的可鎮(zhèn)定性；當(dāng)系統(tǒng)至少含有一個不可控子系統(tǒng)時，通過滿足一定的切換頻率，系統(tǒng)仍然是可鎮(zhèn)定的.

1系統(tǒng)描述

考慮如下離散時間切換系統(tǒng)：

(1)

若存在反饋增益K使得u(k)=Kσ(k)x(k),則系統(tǒng)(1)可表示為下面的閉環(huán)系統(tǒng)：

x(k+1)=(Gσ(k)+Hσ(k)Kσ(k))x(k),k≠kj

其中(Gσ(k)+Hσ(k)Kσ(k))表示狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣.

當(dāng)系統(tǒng)(1)可控時，首先對狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(G+HK)進(jìn)行估計.

引理1[8]對于系統(tǒng)(1)若存在G∈R2×2和H∈R2×m常數(shù)矩陣，使得(G,H)是可控的，則存在K∈Rm×2，對任意0<λ<1，有下面的結(jié)論成立:

‖(G+HK)k‖≤Nλk-1,k≥0

其中N>0是常數(shù)，與λ值無關(guān)，并且可以通過G,H和n估計出.

引理2[8]對于系統(tǒng)(1)，如果(G,H)是不可控的，并且閉環(huán)系統(tǒng)是成立的，那么對于任意給定的反饋增益K, 都存在常數(shù)μ>0使得下式成立：

‖x(t)‖≤c‖x(0)‖，c>0，?t>0

則稱切換系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的.

2切換系統(tǒng)的鎮(zhèn)定性

在線性反饋律u(k)=Kσ(k)x(k)(k≠kj,j=1,2,…)下，系統(tǒng)(1)形如如下的閉環(huán)系統(tǒng)：

(2)

定義切換頻率為

(3)

(4)

(Gpi+1+Hpi+1Kpi+1)k-kiF(pi,pi+1)(Gpi+1+Hpi+1Kpi+1)ki-ki-1F(pi-1,pi)(Gpi-1+

由假設(shè)1，我們得

‖F(xiàn)(pj,pj+1)‖·‖x(0)‖≤δiNi+1λk-i-1‖x(0)‖≤(λc)βk‖x(0)‖

由λc<1，β=1-α>0，對任意的f<1的切換信號，系統(tǒng)(1)是漸近穩(wěn)定的.定理1證明完成.

下面考慮系統(tǒng)(1)存在可控子系統(tǒng)，也存在不可控子系統(tǒng)的情況.

假設(shè)2(G1,H1),(G2,H2),…,(Gp,Hp)是不可控子系統(tǒng),

(Gp+1,Hp+1),(Gp+2,Hp+2),…,(GN,HN)是可控子系統(tǒng)，其中1≤p

T(0,k)≥γk，k≥0

(5)

考慮系統(tǒng)不可控的情況，對任意給定的反饋增益Ki(1≤i≤p)，總存在正定對稱矩陣Pi和正常數(shù)μi使得下式成立:

(Gi+HiKi)TPi(Gi+HiKi)-Pi<μiPi，1≤i≤p

(6)

設(shè)

(7)

‖x(k)‖≤‖(Gpi+1+Hpi+1Kpi+1)k-ki‖‖F(xiàn)(pi,pi+1)‖‖x(ki)‖≤δNλk-ki-1 ‖x(ki)‖

(8)

(9)

由式(8)，(9)可得

3數(shù)值計算

考慮切換系統(tǒng)(1)，其中σ(k)=1,2,3,并且

可以看出，對于i=1,2,(Gi,Hi)是可控的, (G3,H3)是不可控的.

4結(jié)束語

本文主要研究了一類帶有非線性脈沖及擾動的切換系統(tǒng)可鎮(zhèn)定性問題，給出了系統(tǒng)全部可控時的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣估計，通過狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣估計得到了在給定切換頻率的任意切換信號下，得到帶有脈沖作用的平面離散切換系統(tǒng)的可鎮(zhèn)定性.同時給出了系統(tǒng)部分可控時系統(tǒng)的鎮(zhèn)定性.

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(編輯：姚佳良)