考慮表面效應(yīng)的納米矩形薄板撓度解析解*

姜禮鑫，曹高峰，林浩

(中國石油大學(xué)(華東)儲運與建筑工程學(xué)院，山東 青島 266580)

摘要：將表面彈性理論引入到納米薄板承受外載荷的變形分析之中，根據(jù)薄板的小變形理論建立考慮表面效應(yīng)的納米薄板彈性微分方程.采用級數(shù)展開法，求出承受均布載荷的四邊簡支板、兩對邊承受正對稱分布彎矩的四邊簡支板和兩對邊承受反對稱分布彎矩的四邊簡支板的撓度解析解.

關(guān)鍵詞：表面效應(yīng)；Young-Laplace方程；表面殘余應(yīng)力；表面彈性；撓度

文章編號：1007-2985(2015)06-0040-04

中圖分類號：O48文獻標(biāo)志碼：A

DOI:10.3969/j.cnki.jdxb.2015.06.010

收稿日期：*2015-08-26

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(11272357)

作者簡介：姜禮鑫(1981—)，男，山東黃島人，中國石油大學(xué)(華東)儲運與建筑工程學(xué)院碩士生，主要從事微納米力學(xué)研究.

為了成功地設(shè)計和開發(fā)出滿足需要的納米器件，需要更深入地了解材料和結(jié)構(gòu)在納米級尺寸下的力學(xué)行為.研究納米結(jié)構(gòu)的本質(zhì)特征最直觀、最有效的方法是納米尺度下的力學(xué)實驗.相關(guān)研究結(jié)果表明，納米結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為與一般結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為有明顯的不同.宏觀尺度下，材料和結(jié)構(gòu)的表面積與體積比較小，表面積效應(yīng)對材料和結(jié)構(gòu)變形的影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于體積效應(yīng)的影響.因此，大尺寸的材料和結(jié)構(gòu)只考慮體積效應(yīng)就能滿足精度要求，但對尺寸達(dá)到納米級的材料和結(jié)構(gòu)，其表面效應(yīng)的影響不可忽略[3-4].

只考慮體積效應(yīng)建立起來的經(jīng)典彈性力學(xué)理論必須加以修正后才能應(yīng)用到納米結(jié)構(gòu)中.基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)，Gurtin等提出了考慮表面積效應(yīng)的彈性理論，與實驗結(jié)果非常吻合，該理論目前已得到廣泛采用.HE Jin等基于梁的表面層模型對納米線發(fā)生靜態(tài)彎曲時的變形進行了深入研究.JIANG L Y等將此理論推廣到了Timoshenko梁，并綜合討論了表面彈性和殘余表面應(yīng)力對于梁的影響.ZHAO D M等基于經(jīng)典的Euler-Bernoulli梁理論，考慮表面效應(yīng)之后對梁的本構(gòu)關(guān)系進行修正，畫出了新的彎矩圖和剪力圖.LIU J L等提到了納米尺度下表面彈性理論應(yīng)用的新進展.LIU J L等[9-10]在考慮了表面效應(yīng)之后，討論了不同邊界條件下納米線的大變形行為，并對梁的粘附問題也作了深入研究.

筆者以Gurtin等提出的表面彈性理論為基礎(chǔ)，建立考慮表面效應(yīng)的彈性微分方程，在此基礎(chǔ)上分析納米級薄板在各種邊界條件下的彎曲變形.

1納米級矩形薄板撓度理論解析解

1.1 兩對邊簡支納米矩形厚板

圖1　考慮表面效應(yīng)的納米矩形薄板

承受均布載荷q的納米矩形板(圖1)，長邊為a，短邊為b，qs為考慮表面效應(yīng)引起的壓力.基于Gurtin的表面彈性理論，可以得到納米矩形薄板的控制方程為

(1)

1.2 四邊簡支納米矩形薄板

對于兩邊受正對稱分布彎矩的納米矩形薄板，當(dāng)α2≠0，即τ0≠0時，(1)式的解為

對于兩邊受反對稱分布彎矩的納米矩形薄板，其求解方法與對稱情況完全相同，當(dāng)α2≠0，即τ0≠0時，(1)式的解為

2仿真結(jié)果

設(shè)參數(shù)E=177.3 GPa，υ=0.27，a=6 μm，b=2 μm，h=100 nm，λs=-8 N/m，μs=2.5 N/m，τ0=1.7，0，-1.7 N/m，q=100 μPa，y=±b/2，邊界上對稱均勻的彎矩M0=1×10-15N·m.畫出以上各種情況下的撓曲面，用y=0和x=a/2這2個特殊平面去截?fù)锨妫玫剿倪吅喼О?、四邊簡支板兩對邊受正對稱彎矩和四邊簡支板兩對邊受反對稱彎矩對應(yīng)的撓度曲線(圖2—4).

由圖2—4可知，殘余表面應(yīng)力為負(fù)值時，矩形薄板的變形大于殘余表面應(yīng)力為0時矩形薄板的變形，并且隨著殘余表面應(yīng)力的增加，板的變形逐漸減??；當(dāng)殘余表面應(yīng)力增加到正值時，板的變形小于殘余表面應(yīng)力為0時板的變形.這說明正的殘余表面應(yīng)力增強了薄板的抗彎剛度，抑制了薄板的變形；負(fù)的殘余表面應(yīng)力減小了薄板的抗彎剛度，促進了薄板的變形.

a w(x,0)

b w(a/2,y)

a w(x,0)

b w(a/2,y)

圖4　兩對邊受反對稱分布彎矩四邊簡支板的撓度曲線w(a/2,y)

3結(jié)語

基于Gurtin的表面彈性理論，考慮固體表面自由能對矩形薄板彎曲變形的影響，得到考慮表面效應(yīng)的薄板小撓度彎曲彈性微分方程.筆者對承受均布載荷四邊簡支、兩對邊承受分布彎矩四邊簡支板進行了詳細(xì)討論，分別求得其撓度表達(dá)式，并將計算結(jié)果與經(jīng)典彈性理論所得結(jié)果進行對比.仿真結(jié)果表明：殘余表面應(yīng)力為正值時，對薄板的抗彎剛度有增強作用，可以幫助薄板抵御變形；殘余表面應(yīng)力為負(fù)值時，對薄板的抗彎剛度有抵消作用，從而增加了薄板的變形.

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AnalyticalSolutionofRectangularPlateDeflectionwith

SurfaceEffectsatNanoscale

JIANGLixin,CAOGaofeng,LINHao

(CollegeofPipeline&CivilEngineering，ChinaUniversityofPetroleum，Qingdao266580,ShandongChina)

Abstract：Gurtin’s theory on surface elasticity was introduced into the deformation analysis of a thin plate at nanoscale under external loads.With small deformation theory，the differential equation of the nanometer-sized thin plate with surface effects was established.Analytical solutions of the deflection of a plate were obtained through series expansions，including the quadrilateral simply supported plate under uniformly distributed load，the quadrilateral simply supported plate with symmetrically distributed bending moment on the two opposite sides,and the quadrilateral simply supported plate with dissymmetrically distributed bending moment on the two opposite sides. The influence of the surface effects on the deformation of the plate was demonstrated.

Keywords:surfaceeffect;young-laplaceequation;surfaceresidualstress;surfaceelasticity;deflection

(責(zé)任編輯陳炳權(quán))