劉煜琛

摘要：角域?qū)w是指兩個(gè)半無(wú)限大平面沿一定的角度放置，在角域空間中分布有一定的電荷時(shí)，求其電場(chǎng)分布，是靜電場(chǎng)的基本問(wèn)題.但是，由于角域?qū)w的角度不同，其分析方法也不一樣，而且一不小心就容易出錯(cuò).本文對(duì)導(dǎo)體角域靜電場(chǎng)問(wèn)題進(jìn)行了分析和總結(jié).

關(guān)鍵詞：導(dǎo)體角域；靜電場(chǎng)；問(wèn)題；分析

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2016）02-0182-02

一塊無(wú)限大平面導(dǎo)體沿某一條直線折成一定的角度，角域?qū)w的兩個(gè)半無(wú)限大平面是一個(gè)等勢(shì)面，幾何像電荷的空間分布必須滿足該邊界條件；滿足該邊界條件的所有點(diǎn)在角域中任一點(diǎn)P的電勢(shì)即它所滿足的拉普拉斯方程的解[1].但是，此求解過(guò)程一般不簡(jiǎn)單，因此，可以用等效方法[1-3]，例如鏡像法和保角變換法求解某些特殊形狀邊界區(qū)域中的靜電場(chǎng)，直觀簡(jiǎn)潔、可避免大量繁冗運(yùn)算[1-3].但是，鏡像法和保角變換法都有其適用條件，由于角域?qū)w的角度不同，其分析方法也不一樣，而且一不小心就容易出錯(cuò).本文對(duì)導(dǎo)體角域靜電場(chǎng)問(wèn)題進(jìn)行了分析和總結(jié).

一、特殊導(dǎo)體角域內(nèi)靜電場(chǎng)問(wèn)題求解——鏡像法

當(dāng)電荷分布于角域空間時(shí)，因?yàn)殪o電感應(yīng)，在導(dǎo)體表面上會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電荷，此時(shí)，角域空間中任一點(diǎn)的電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度是原電荷和導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)的疊加.但是，導(dǎo)體表面感應(yīng)電荷的分布規(guī)律一般情況下是很難求出，甚至不能求出的.而對(duì)某些具有特殊形狀邊界條件導(dǎo)體的靜電場(chǎng)問(wèn)題，可用鏡像電荷來(lái)代替分界面感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的效果，避免了求解感應(yīng)電荷分布函數(shù)的大量繁冗運(yùn)算，從而使問(wèn)題的求解大為簡(jiǎn)化.

當(dāng)θ=π/n，N∈Z即π/θ為整數(shù)時(shí)，該角域中的場(chǎng)可以用鏡像法求解.

1.特殊導(dǎo)體角域內(nèi)點(diǎn)電荷的靜電問(wèn)題.設(shè)角域?qū)w的夾角為θ，該角域中的電荷有（2n-1）個(gè)鏡像電荷.

以n=3為例，即角域?qū)w的夾角為π/3，設(shè)角域內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)電荷q，則角域外有2n-1=5個(gè)鏡像電荷，大小和位置如圖1所示.所有鏡像電荷都正、負(fù)交替地分布在同一個(gè)圓周（圓心為該角域的頂點(diǎn)，半徑為該點(diǎn)電荷到頂點(diǎn)的距離）上.

因此，角域內(nèi)任一點(diǎn)（點(diǎn)電荷q點(diǎn)所在的點(diǎn)除外）的電位φ為6個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位的疊加.

對(duì)于夾角為θ的點(diǎn)電荷導(dǎo)體角域，設(shè)點(diǎn)電荷的極坐標(biāo)位置為（（r ，θ ）），其鏡像電荷有如下特點(diǎn)：

（1）所有的鏡像電荷（包括點(diǎn)電荷本身）均勻分布在以角域頂點(diǎn)為圓心、半徑為r 的圓上；

（2）任意相鄰兩個(gè)鏡像電荷（包括點(diǎn)電荷本身）都是帶等量電荷的異號(hào)電荷（等值異號(hào)），且相互之間以?shī)A角2θ 和2（θ-θ ）交替分布.

二、特殊導(dǎo)體角域內(nèi)線電荷的靜電問(wèn)題

設(shè)由兩個(gè)接地導(dǎo)體平面組成的夾角為θ的角域，有一電荷線密度為τ的無(wú)限長(zhǎng)直線置于二面角內(nèi)部，當(dāng)θ=π/n，N∈Z，即π/θ為整數(shù)時(shí)，可以用鏡像法求解.例如，線電荷τ對(duì)無(wú)限大接地平面及其鏡像電荷如圖2所示.

任取Q點(diǎn)為電位參考點(diǎn)，則P點(diǎn)電位為

φ = dρ- dρ

=C+ ln

由于導(dǎo)體平面接地，所以C=0.因此場(chǎng)中任意點(diǎn)p電位為

φ = ln = ln ，但是π/θ，不為整數(shù)或者角域夾角為鈍角時(shí)，鏡像法不再適用.采用保角變換法求解.

二、一般導(dǎo)體角域的線電荷靜電場(chǎng)問(wèn)題求解——保角變換法

設(shè)接地導(dǎo)體θ角域內(nèi)置無(wú)限長(zhǎng)線電荷，為使表達(dá)簡(jiǎn)潔，采用極坐標(biāo)系.設(shè)線電荷τ的極坐標(biāo)位置為（r ，θ ），做保角變換W=z ，n=π/θ，設(shè)變換后的線電荷位置為（ρ ，φ ），有ρ e =（r e ）

除Z=0（W=0）點(diǎn)外，保角變換將Z平面上的θ導(dǎo)體角域變?yōu)閃平面的上半平面，線電荷密度變換后保持不變，其位置為w （r ，nθ ）處.因此，其鏡像電荷位于W平面的下半平面，位置為w （ρ ，-φ ）.故上半平面任意一點(diǎn)w（ρ，φ）的電勢(shì)為

φ = ln .

還原到Z平面，將變換函數(shù)：n=π/θw=（re ） ，w =（r e ） ，w =（r e ） 代入上式中，有

φ = ln .

三、一般導(dǎo)體角域的點(diǎn)電荷靜電場(chǎng)問(wèn)題求解——分離變量法

當(dāng)點(diǎn)電荷位于任意導(dǎo)體角域時(shí)，如果運(yùn)用保角變換和鏡像法求解，過(guò)程和第2節(jié)類似，有

φ = （ - ）.

很顯然，上述表達(dá)式錯(cuò)誤.其原因是保角變換在二維平面靜電場(chǎng)問(wèn)題時(shí)確實(shí)具有保角性，而三維變換與反演不具保角性.且點(diǎn)電荷明顯是三維問(wèn)題，因此，采用保角變換求解三維點(diǎn)電荷問(wèn)題會(huì)出錯(cuò).須采用分離變量法[4]進(jìn)行求解，任意一點(diǎn)p（r，α，z）的電勢(shì)為φ = φ coskzdk

其中，

φ = K （kr ）I （kr）sin（iθ ）sin（iθ） rr 式中n=π/θ，k ，I 為柱函數(shù).

參考文獻(xiàn)：

[1]王福謙.基于保角映射的鏡像法的應(yīng)用[J].大學(xué)物理，2015，34（3）：14-16，24.

[2]王福謙.求解靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的一種方法[J].大學(xué)物理，2013，32（10）：24—26.

[3]梁昌洪，陳曦.平面鏡像法與有源保角變換[J].電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào)，2010，32（2）：2-5.

[4]尼蒂盒，扎普蒂金.電動(dòng)力學(xué)習(xí)題集[M].北京：人民教育出版社，1978：45-46，230-231.