唐貴基，龐　彬，劉尚坤

(華北電力大學(xué)機(jī)械工程系，河北　保定　071003)

第一作者唐貴基男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1962年生

基于奇異差分譜和平穩(wěn)子空間分析的滾動(dòng)軸承故障診斷

唐貴基，龐彬，劉尚坤

(華北電力大學(xué)機(jī)械工程系，河北保定071003)

摘要：探究了一種基于奇異差分譜的信號(hào)升維途徑，并將其和平穩(wěn)子空間分析結(jié)合提出基于奇異差分譜和平穩(wěn)子空間分析(Stationary Subspace Analysis, SSA)的滾動(dòng)軸承故障診斷方法。該方法首先對(duì)滾動(dòng)軸承原始故障振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行奇異差分譜分析，根據(jù)奇異差分譜的峰值分布，確定不同的有用分量個(gè)數(shù)進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)實(shí)現(xiàn)信號(hào)升維，然后利用平穩(wěn)子空間分析將高維信號(hào)分解為平穩(wěn)源信號(hào)和非平穩(wěn)源信號(hào)，最后通過(guò)對(duì)峭度值最大的非平穩(wěn)源信號(hào)進(jìn)行包絡(luò)譜分析得到滾動(dòng)軸承故障特征頻率。仿真信號(hào)和滾動(dòng)軸承早期故障信號(hào)分析表明該方法可以實(shí)現(xiàn)滾動(dòng)軸承欠定故障信號(hào)的盲分離，驗(yàn)證了該方法的有效性。

關(guān)鍵詞：奇異差分譜；平穩(wěn)子空間分析；滾動(dòng)軸承；故障診斷

收稿日期：2014-05-04修改稿收到日期：2014-06-17

中圖分類(lèi)號(hào):TH133.3；TH17

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.11.015

Abstract:A thorough inquiry was made for an approach to increase signal dimensions based on difference spectrum of singular value and a new fault diagnosis method for rolling bearings based on difference spectrum of singular value and stationary subspace analysis (SSA) was proposed. The first step was to obtain the singular value difference spectrum of a bearing original vibration signal. According to the peak distribution of the singular value difference spectrum, different amounts useful component signals were used to reconstruct new signal matrices, so that signal dimensions increased. Then the multi-dimensional signals were taken as inputs of SSA to obtain stationary source signals and non-stationary source signals. Finally, the selected non-stationary source signal with the maximum kurtosis value was analyzed using the envelope spectrum to extract characteristic frequency of rolling bearing fault. The analysis of simulated signals and early fault signals of rolling bearings showed that the proposed method can realize the blind source separation of under-determined fault signals of rolling bearings, the effectiveness of the method was verified.

Fault diagnosis of rolling bearings based on difference spectrum of singular value and stationary subspace analysis

TANGGui-ji,PANGBin,LIUShang-kun(School of Mechanical Engineering, North China Electric Power University, Baoding 071003, China)

Key words:difference spectrum of singular value; stationary subspace analysis; rolling bearings; fault diagnosis

滾動(dòng)軸承是旋轉(zhuǎn)機(jī)械設(shè)備的重要組成元部件，其運(yùn)行狀態(tài)好壞直接影響著工業(yè)生產(chǎn)效率和生產(chǎn)安全。同時(shí)滾動(dòng)軸承也是機(jī)械系統(tǒng)中最為脆弱的元件之一，大約30%的機(jī)械設(shè)備故障是由滾動(dòng)軸承局部損傷故障引起[1]。對(duì)于滾動(dòng)軸承的故障診斷，尤其是滾動(dòng)軸承早期故障診斷具有十分重要的意義。

滾動(dòng)軸承故障振動(dòng)信號(hào)為非線性非平穩(wěn)信號(hào)，且信噪比較低。因而故障特征頻率極容易淹沒(méi)在轉(zhuǎn)頻等背景環(huán)境中，如何提取滾動(dòng)軸承的微弱故障特征始終是故障診斷領(lǐng)域的熱點(diǎn)和難點(diǎn)問(wèn)題。近些年，學(xué)者們相繼提出一些針對(duì)滾動(dòng)軸承故障特征提取和故障類(lèi)型判斷的有效方法，如Hilbert包絡(luò)解調(diào)，時(shí)頻分析，共振解調(diào)，盲源分離等。陳向民等[2]將共振稀疏分解和包絡(luò)解調(diào)方法結(jié)合進(jìn)行故障診斷，利用共振稀疏分解將軸承故障信號(hào)分解為包含諧振信號(hào)的高共振分量和包含沖擊信號(hào)的低共振分量，再通過(guò)對(duì)低共振分量包絡(luò)譜解調(diào)，提取軸承故障特征。孟宗等[3]聯(lián)合小波閾值降噪和希爾伯特黃變換進(jìn)行滾動(dòng)軸承故障特征提取，通過(guò)對(duì)改進(jìn)小波閾值降噪后的滾動(dòng)軸承故障振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行Hilbert邊際譜分析提取故障特征頻率。王宏超等[4]提出基于快速Kurtogram算法的共振解調(diào)方法，利用快速Kurtogram譜峭度圖確定滾動(dòng)軸承故障振動(dòng)信號(hào)共振解調(diào)時(shí)帶通濾波的最佳中心頻率和帶寬。吳強(qiáng)等[5]結(jié)合連續(xù)小波變換和獨(dú)立分量分析診斷滾動(dòng)軸承早期故障，首先利用小波變換實(shí)現(xiàn)單通道故障信號(hào)升維，以滿(mǎn)足獨(dú)立分量分析的多維信號(hào)要求，然后通過(guò)求ICA處理后信號(hào)的包絡(luò)譜提取軸承故障特征頻率。

奇異值分解技術(shù)由于具有良好的穩(wěn)定性和不變性，被廣泛應(yīng)用于機(jī)械故障振動(dòng)信號(hào)的周期成分提取和降噪處理[6]。學(xué)者們?yōu)槊枋鲂盘?hào)中有用成分和噪聲成分的奇異值差異，進(jìn)一步提出了奇異差分譜理論。利用奇異值差分譜峰值最大突變點(diǎn)位置確定信號(hào)重構(gòu)的有用分量個(gè)數(shù)，在滾動(dòng)軸承故障診斷研究方面得到廣泛應(yīng)用[7-9]。筆者在奇異差分譜的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探究了基于奇異差分譜的信號(hào)升維方法。并將其和一種新的盲信號(hào)分離方法平穩(wěn)子空間分析(Stationary Subspace Analysis，SSA)結(jié)合，提出基于奇異差分譜和平穩(wěn)子空間分析的滾動(dòng)軸承故障診斷方法。平穩(wěn)子空間分析能夠有效地從高維信號(hào)中分解出原信號(hào)的平穩(wěn)部分和非平穩(wěn)部分，本文應(yīng)用該方法對(duì)升維后的滾動(dòng)軸承故障振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行分解，通過(guò)求取峭度值最大的非平穩(wěn)源信號(hào)的包絡(luò)譜，得到軸承故障特征頻率。仿真分析和滾動(dòng)軸承外圈故障診斷實(shí)例驗(yàn)證了該方法的有效性，為滾動(dòng)軸承故障診斷提供一種有效途徑。

1基于奇異差分譜的信號(hào)升維方法

1.1奇異差分譜理論

奇異值分解的本質(zhì)為將原信號(hào)分解為一系列分量信號(hào)的線性疊加，信號(hào)分離出來(lái)的過(guò)程即為從原信號(hào)中簡(jiǎn)單減去，且分離出的分量信號(hào)在原信號(hào)中的相位保持不變，因而該技術(shù)具有零相位偏移特性。奇異差分譜理論旨在實(shí)現(xiàn)對(duì)有效奇異值個(gè)數(shù)的自動(dòng)判斷，確定分量信號(hào)中的有用信號(hào)個(gè)數(shù)實(shí)現(xiàn)信號(hào)最佳重構(gòu)，對(duì)于待分析的離散數(shù)字信號(hào)為X={x(1),x(2),…x(N)}，具體實(shí)現(xiàn)步驟如下[10]；

(1)構(gòu)造X的Hankel矩陣

式中：1

(2)對(duì)上述重構(gòu)吸引子軌道矩陣進(jìn)行奇異值分解，得到從大到小順序形成的奇異值序列σ=(σ1,σ2,…,σq)。

(3)每個(gè)當(dāng)前奇異值減去下一個(gè)奇異值得到

bi=σi-σi+1i=1,2,…,q-1

(2)

(4)奇異差分譜理論認(rèn)為奇異差分譜的峰值最大突變點(diǎn)k處尤為值得關(guān)注。重構(gòu)時(shí)選取前k個(gè)分量，能夠完成信號(hào)消噪和有用信號(hào)的重構(gòu)。

1.2奇異差分譜信號(hào)升維方法

由奇異差分譜理論可知奇異差分譜的峰值突變點(diǎn)通常攜帶有重要的信息，根據(jù)奇異差分譜峰值突變點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的有效奇異值個(gè)數(shù)來(lái)進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)可得到原信號(hào)中具有一定物理意義的信號(hào)分量。在此基礎(chǔ)之上提出一種基于奇異差分譜的信號(hào)升維途徑，分別選取奇異差分譜的最大峰值點(diǎn)位置和次峰值最大值點(diǎn)位置對(duì)應(yīng)的有效奇異值個(gè)數(shù)進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)，并求得重構(gòu)后對(duì)應(yīng)的信號(hào)余量，實(shí)現(xiàn)信號(hào)升維，具體步驟為：

(4)確定奇異差分譜最大峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的奇異值序號(hào)m，選取前m個(gè)奇異值對(duì)應(yīng)的分量進(jìn)行重構(gòu)得到重構(gòu)信號(hào)y1和信號(hào)余量r1=X-y1。

(5)確定奇異差分譜次最大峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的奇異值序號(hào)n，選取前n個(gè)奇異值對(duì)應(yīng)的分量進(jìn)行重構(gòu)得到重構(gòu)信號(hào)y2和信號(hào)余量r2=X-y2。

(6)y1、r1、y2、r2組成四維待分析信號(hào)，實(shí)現(xiàn)對(duì)原信號(hào)X的升維。

2平穩(wěn)子空間分析法

平穩(wěn)子空間分析作為一種新的盲信號(hào)分離方法，能夠?qū)⒁粋€(gè)多維時(shí)間序列分解為平穩(wěn)部分和非平穩(wěn)部分[11]。假設(shè)D維觀測(cè)信號(hào)x(t)包含m維平穩(wěn)源信號(hào)ss(t)=[s1(t),…,sm(t)]T和n維非平穩(wěn)源信號(hào)sn(t)=[sm+1(t),…,sD(t)]T，則存在一個(gè)可逆時(shí)間矩陣A，使得

(3)

(4)

(5)

再利用公式(6)最小化目標(biāo)函數(shù)

(6)

(7)

(8)

SSA算法對(duì)高維信號(hào)進(jìn)行分析時(shí)需要對(duì)高維信號(hào)中的平穩(wěn)源信號(hào)和非平穩(wěn)源信號(hào)數(shù)目進(jìn)行預(yù)先設(shè)定，然后根據(jù)步驟(1)～(3)對(duì)平穩(wěn)源信號(hào)和非平穩(wěn)源信號(hào)進(jìn)行估計(jì)。平穩(wěn)源信號(hào)和非平穩(wěn)源信號(hào)的數(shù)目選取需要根據(jù)待分析信號(hào)的具體情況，目前，如何對(duì)高維信號(hào)中的平穩(wěn)源信號(hào)和非平穩(wěn)源信號(hào)的數(shù)目進(jìn)行自適應(yīng)確定仍在討論之中。本文對(duì)于平穩(wěn)源信號(hào)和非平穩(wěn)源信號(hào)數(shù)目的選取參考了不同選取方式下SSA的分析效果，選取效果最優(yōu)的作為平穩(wěn)源信號(hào)和非平穩(wěn)源信號(hào)數(shù)目的最佳設(shè)定方式。

3仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證基于奇異差分譜的信號(hào)升維方法的合理性和SSA算法提取非平穩(wěn)源信號(hào)的有效性，構(gòu)造如下仿真信號(hào)作為分析對(duì)象：

仿真信號(hào)x(t)是由滾動(dòng)軸承外圈故障模擬信號(hào)x1(t)、調(diào)幅調(diào)頻信號(hào)x2(t)、正弦信號(hào)x3(t)、噪聲模擬信號(hào)x4(t)組成的多源合成信號(hào)，式中f1=4 000 Hz, 外圈故障特征頻率fo=45 Hz。x(t)的時(shí)域波形見(jiàn)圖1，圖2為各個(gè)分信號(hào)的時(shí)域波形。

圖1　仿真信號(hào)x(t)的時(shí)域波形Fig.1 Time domain waveform of x(t)

對(duì)仿真信號(hào)進(jìn)行奇異差分譜分析，圖3為奇異差分譜前50個(gè)點(diǎn)結(jié)果。奇異差分譜的最大峰值和次最大峰值分別發(fā)生在第2和第4個(gè)坐標(biāo)處。由于奇異值差分譜峰值突變點(diǎn)處包含原信號(hào)的關(guān)鍵信息，所以選取前2個(gè)分量進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)，得到重構(gòu)信號(hào)y1，并與原信號(hào)相減得到余量信號(hào)r1。同時(shí)選取前4個(gè)分量進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)，得到重構(gòu)信號(hào)y2和余量信號(hào)r2，重構(gòu)結(jié)果見(jiàn)圖4。觀察后發(fā)現(xiàn)重構(gòu)信號(hào)y1和y2分別近似對(duì)應(yīng)x(t)中的x3(t)、x2(t)，而外圈故障模擬信號(hào)成分則被認(rèn)為存在于余量信號(hào)中。y1、r1、y2、r2組成包含原信號(hào)特征信息的4維信號(hào)，實(shí)現(xiàn)了信號(hào)的合理升維。對(duì)上述高維信號(hào)進(jìn)行平穩(wěn)子空間分析，設(shè)置待分解的平穩(wěn)源個(gè)數(shù)為3，非平穩(wěn)源個(gè)數(shù)為1時(shí)為最佳設(shè)定，分析結(jié)果見(jiàn)圖5。分解得到的非平穩(wěn)源信號(hào)與外圈故障模擬信號(hào)的沖擊性一致， SSA算法將x(t)的非平穩(wěn)源信號(hào)分量和平穩(wěn)源信號(hào)分量有效區(qū)分開(kāi)來(lái)。

圖3　x(t)的奇異差分譜的前50個(gè)點(diǎn)Fig.3 The former 50 points of singular value difference spectrum

圖4　x(t)的奇異差分譜分析結(jié)果Fig.4 Singular value difference spectrum analysis results of x(t)

圖5　升維信號(hào)的SSA分析結(jié)果Fig.5 SSA analysis results of multi-dimension signal

4實(shí)驗(yàn)分析

圖6　實(shí)驗(yàn)臺(tái)示意圖Fig.6 Schematic diagram of experiment platform

分析數(shù)據(jù)為美國(guó)辛辛提那智能維護(hù)中心的滾動(dòng)軸承全壽命實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。試驗(yàn)臺(tái)布置見(jiàn)圖6。實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)軸上裝有4個(gè)相同的軸承，由交流電動(dòng)機(jī)通過(guò)皮帶牽引。同時(shí)通過(guò)彈性系統(tǒng)給轉(zhuǎn)軸和軸承施加約26 671 N的徑向載荷。每個(gè)軸承的水平和垂直方向各布置一個(gè)加速度傳感器，并采用NI公司生產(chǎn)的6062E型采集卡對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行采集。滾動(dòng)軸承型號(hào)為ZA-2115雙列滾子軸承。軸承節(jié)圓直徑D=71.5 mm，滾子直徑d=8.4 mm，接觸角α=15.17°。

本文選用該實(shí)驗(yàn)的第2次測(cè)試數(shù)據(jù)。該次實(shí)驗(yàn)持續(xù)164 h，每10min記錄一個(gè)文件，共采集了984個(gè)文件，信號(hào)采樣頻率fs=20 kHz。實(shí)驗(yàn)結(jié)束時(shí)，軸承1出現(xiàn)外圈磨損失效。圖7為軸承1垂直方向傳感器采得的各個(gè)文件數(shù)據(jù)方均根值Xrms的趨勢(shì)圖。在7 020min時(shí)軸承振動(dòng)信號(hào)的方均根值出現(xiàn)明顯波動(dòng)，表明軸承出現(xiàn)故障。利用方均根值大致描述了滾動(dòng)軸承的全壽命過(guò)程，但滾動(dòng)軸承早期故障數(shù)據(jù)特征信號(hào)較為微弱，容易淹沒(méi)在噪聲等背景環(huán)境中。方均根值對(duì)早期故障并不敏感。

圖7　軸承 1 垂直方向振動(dòng)信號(hào)方均根值趨勢(shì)圖Fig.7 Xrms trend for vertical vibration signal of bearing 1

為驗(yàn)證本文方法對(duì)滾動(dòng)軸承早期故障特征提取的有效性，選取5200min時(shí)刻的軸承數(shù)據(jù)作為分析對(duì)象。圖8(a)為振動(dòng)信號(hào)的時(shí)域波形。該時(shí)刻軸承轉(zhuǎn)軸實(shí)際轉(zhuǎn)速為1 948r/min，經(jīng)計(jì)算可得軸承外圈故障特征頻率fo=230 Hz。圖8(b)為對(duì)應(yīng)的包絡(luò)譜，其譜線較為雜亂，未能發(fā)現(xiàn)軸承故障特征頻率。對(duì)5 200 min時(shí)刻的軸承數(shù)據(jù)進(jìn)行奇異差分譜分析，圖9為將奇異差分譜前50個(gè)點(diǎn)繪在一起的圖形。奇異差分譜在第2、第5個(gè)坐標(biāo)處存在明顯峰值，按照本文提出方法分別選取前2個(gè)分量和前5個(gè)分量進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)，重構(gòu)信號(hào)和余量信號(hào)構(gòu)成4維觀測(cè)信號(hào)，然后利用SSA算法對(duì)升維后的信號(hào)進(jìn)行分析，設(shè)置待分解出的平穩(wěn)源信號(hào)和非平穩(wěn)源信號(hào)個(gè)數(shù)為2時(shí)為最佳設(shè)定。圖10為奇異差分譜SSA分析結(jié)果。選取峭度值較大的非平穩(wěn)源信號(hào)1進(jìn)行包絡(luò)譜分析(見(jiàn)圖11)。在軸承外圈故障特征頻率230 Hz及其2倍頻460 Hz處出現(xiàn)明顯峰值，表明軸承出現(xiàn)外圈故障。為體現(xiàn)本文方法的有效性，同基于EMD的包絡(luò)譜分析方法進(jìn)行了對(duì)比分析。對(duì)軸承故障信號(hào)進(jìn)行EMD分解，并選取峭度值最大的IMF分量進(jìn)行包絡(luò)譜分析(見(jiàn)圖12)。雖然在軸承外圈故障特征頻率230 Hz處存在譜線，但階數(shù)僅為1階，本文方法對(duì)滾動(dòng)軸承外圈早期故障的診斷效果優(yōu)于基于EMD的包絡(luò)譜分析方法。

圖8　t=5 200 min時(shí)刻軸承信號(hào)的時(shí)域波形和包絡(luò)譜Fig.8 Signal time domain waveform and envelope spectra at t=5 200 min

圖9　t=5 200 min時(shí)刻軸承信號(hào)奇異差分譜的前50個(gè)點(diǎn)Fig.9 The former 50 points of singular value difference spectrum at t=5 200 min

圖10　軸承信號(hào)的奇異差分譜-SSA分析結(jié)果Fig.10 Singular value difference spectrum-SSA analysis results of bearing signal

圖11　非平穩(wěn)源信號(hào)1的包絡(luò)譜Fig.11 Envelope spectrum of non-stationary component 1

圖12　軸承信號(hào)基于EMD的包絡(luò)譜分析結(jié)果Fig.12 EMD-envelope spectrum analysis results

5結(jié)論

探究了一種基于奇異差分譜的信號(hào)升維方法，并結(jié)合平穩(wěn)子空間分析提出基于奇異差分譜和平穩(wěn)子空間分析的滾動(dòng)軸承故障診斷方法。仿真分析和滾動(dòng)軸承外圈早期故障診斷實(shí)例分析結(jié)果表明：利用奇異差分譜的最大峰值和次最大峰值確定不同的有用分量個(gè)數(shù)進(jìn)行重構(gòu)，可以生成包含原信號(hào)故障特征信息的高信噪比重構(gòu)信號(hào)和對(duì)應(yīng)的余量信號(hào)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)升維。基于奇異差分譜和平穩(wěn)子空間分析的滾動(dòng)軸承故障診斷方法能夠有效分解出滾動(dòng)軸承故障信號(hào)中的平穩(wěn)源信號(hào)和非平穩(wěn)源信號(hào)。通過(guò)分析峭度值最大的非平穩(wěn)源信號(hào)的包絡(luò)譜，能夠提取滾動(dòng)軸承故障特征頻率。故障診斷實(shí)例分析效果優(yōu)于傳統(tǒng)的包絡(luò)譜分析和基于EMD的包絡(luò)譜分析方法，為滾動(dòng)軸承故障診斷提供一種新的途徑。

參考文獻(xiàn)

[1]陳進(jìn)．機(jī)械設(shè)備振動(dòng)監(jiān)測(cè)與故障診斷[M]. 上海：上海交通大學(xué)出版社，1999.

[2]陳向民，于德介，羅潔思．基于信號(hào)共振稀疏分解包絡(luò)解調(diào)方法及其在軸承故障診中的應(yīng)用[J]. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào), 2012, 25(26)：628-636．

CHEN Xiang-min, YU De-jie, LUO Jie-si. Envelope demodulation method based on resonance-based sparse signal decomposition and its application in roller bearing fault diagnosis [J]. Journal of Vibration Engineering, 2012, 25(26)：628-636．

[3]孟宗，李珊珊．基于小波改進(jìn)閾值去噪和 HHT的滾動(dòng)軸承故障診斷[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2013, 32(14)：204-208．

MENG Zong, LI Shan-shan. Rolling bearing fault diagnosis based on improved wavelet threshold de-nosing method and HHT[J]. Journal of Vibration and Shock, 2013, 32(14)：204-208．

[4]王宏超，陳進(jìn)，董廣明，等． 基于快速Kurtogram算法的共振解調(diào)方法在滾動(dòng)軸承故障特征提取中的應(yīng)用[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2013, 32(1)：35-38．

WANG Hong-chao, CHEN Jin, DONG Guang-ming,et al. Application of resonance demodulation in rolling bearing fault feature extraction based on fast computation of kutrogram[J]. Journal of Vibration and Shock, 2013, 32(1)：35-38．

[5]吳強(qiáng)，孔凡讓?zhuān)吻宀?，等．基于小波變換和ICA的滾動(dòng)軸承早期故障診斷[J]. 中國(guó)機(jī)械工程, 2012, 23(7)：835-839．

WU Qiang, KONG Fan-rang, HE Qing-bo, et al. Early fault diagnosis of rolling element bearings based on wavelet transform and independent component analysis[J]. China Mechanical Engineering, 2012, 23(7)：835-839．

[6]陳恩利，張璽，申永軍，等．基于 SVD降噪和盲信號(hào)分離的滾動(dòng)軸承故障診斷[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2012, 31(23)：185-190．

CHEN En-li, ZHANG Xi, SHEN Yong-jun, et al. Fault diagnosis of rolling bearings based on SVD de-noising and blind signals seperation[J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(23)：185-190．

[7]張超，陳建軍，徐亞蘭．基于EMD分解和奇異差分譜理論的軸承故障診斷方法[J]. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào), 2011, 24(5)：539-545．

ZHANG Chao, CHEN Jian-jun, XU Yalan. A bearing fault diagnosis method based on EMD and difference spectrum theory of singular value [J]. Journal of Vibration Engineering, 2011, 24(5)：539-545．

[8]趙學(xué)智，葉邦彥，陳統(tǒng)堅(jiān)．基于小波奇異值差分譜的若故障特征提取方法[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào), 2012, 48(7)：37-48．

ZHAO Xue-zhi, YE Bang-yan, CHEN Tong-jian. Extraction method of faint fault feature based on wavelet-svd difference spectrum[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2012, 48(7)：37-48．

[9]胥永剛，孟志鵬，陸明，等．雙樹(shù)復(fù)小波和奇異差分譜在滾動(dòng)軸承故障診斷中的應(yīng)用[J]. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào), 2013, 26(6)：965-973．

XU Yong-gang, MENG Zhi-peng, LU Ming, et al. Application of dual-tree complex wavelet transform and singular value difference spectrum in rolling bearing fault diagnosis[J]. Journal of Vibration Engineering, 2013, 26(6)：965-973．

[10]趙學(xué)智，葉邦彥，陳統(tǒng)堅(jiān)．奇異值差分譜理論及其在車(chē)床主軸箱故障診斷中的應(yīng)用[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào), 2010, 46(1)：100-108．

ZHAO Xue-zhi, YE Bang-yan, CHEN Tong-jian. Difference spectrum theory of singular value and its application to the fault diagnosis of headstock of lathe[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2010, 46(1)：100-108．

[11]嚴(yán)如強(qiáng)，錢(qián)宇寧，胡世杰，等．基于小波域平穩(wěn)子空間分析的風(fēng)力發(fā)電機(jī)齒輪箱故障診斷[EB/OL].[2014-01-16]. http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2187.TH.20140116.1047.009.html.

[12]Von Bunau P，Meinecke F C，Kiraly F，et al. Finding stationary sub-spaces in multivariate time series[J]. Physical Review Letters， 2009， 103(21) ：214101.