具有雙參數(shù)的非局部反應(yīng)擴(kuò)散方程非線性奇攝動(dòng)問題

許永紅1， 陳賢峰2， 韓祥臨3， 莫嘉琪4

(1 蚌埠學(xué)院 數(shù)理系, 安徽 蚌埠 233030; 2上海交通大學(xué) 數(shù)學(xué)系, 上海 200240;

3 湖州師范學(xué)院 理學(xué)院, 浙江 湖州 313000; 4 安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)系, 安徽 蕪湖 241003)

摘要：研究了一類具有兩個(gè)小參數(shù)的非局部反應(yīng)擴(kuò)散方程奇攝動(dòng)初始邊值問題。在適當(dāng)?shù)臈l件下求出原問題的外部解,利用伸長變量、合成展開法和冪級(jí)數(shù)展開理論構(gòu)造出解的初始層項(xiàng)和邊界層項(xiàng),得到形式漸近解；利用比較定理討論了原初始邊值問題解的存在性和解的一致有效的漸近展開式。

關(guān)鍵詞:非局部; 反應(yīng)擴(kuò)散; 奇攝動(dòng)

中圖分類號(hào)：O175.29文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號(hào)：1672-4291(2015)01-0013-06

doi:10.15983/j.cnki.jsnu.2015.01.113

收稿日期：2014-06-16

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11271236); 中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金項(xiàng)目(GK201302025,

The nonlocal singularly perturbed problem for nonlinear

reaction diffusion equation with two parameters

XU Yonghong1, CHEN Xianfeng2, HAN Xianglin3, MO Jiaqi4

(1 Department of Mathematics & Physics, Bengbu College, Bengbu 233030, Anhui, China;

2 Department of Mathematics, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240, China;

3 Faculty of Science,Huzhou University, Huzhou 313000, Zhejiang, China;

4 Department of Mathematics, Anhui Normal University, Wuhu 241003, Anhui, China)

Abstract:A class of nonlocal for the singularly perturbed initial boundary value problem of the reaction diffusion equation with two small parameters is considered. Under suitable conditions, the outer solution of the original problem is solved. Using the stretched variables, composing expansion method and expanding theory of power series，the terms of the initial layer and boundary layer are constructed and the formally asymptotic solution is obtained. Finally, using the comparative theorem, the existence of solution for the original problem and the uniformly valid asymptotic expansion are discussed.

Key words: nonlocal; reaction diffusion; singular perturbation

MR subject classification: 35B25

非線性問題的研究一直在國內(nèi)外學(xué)術(shù)界十分活躍，各種近似方法也在不斷創(chuàng)新[1-9]。 文獻(xiàn)[10-23]利用微分不等式、不動(dòng)點(diǎn)定理等理論和方法討論了一類奇攝動(dòng)非線性問題。本文用奇攝動(dòng)理論來討論一類具有雙參數(shù)的非局部奇攝動(dòng)反應(yīng)擴(kuò)散問題的漸近解。

討論如下非局部非線性奇攝動(dòng)反應(yīng)擴(kuò)散方程初始邊值問題：

(t,x)∈(0,T0]×Ω,

(1)

u=g(t,x,ε,μ), (t,x)∈[0,T0]×?Ω,

(2)

u=h(x,Tu,ε,μ),t=0,

(3)

其中ε、μ為正的小參數(shù),x≡(x1,x2,…,xn)∈Ω,Ω為Rn中的有界凸域,T0為足夠大的正常數(shù),?Ω為具有C1+α函數(shù)類的Ω的邊界,α∈(0,1)為H?lder指數(shù),L為一致橢圓型算子：

假設(shè)：

[H2]αjk、βj、a、K及其偏導(dǎo)數(shù)關(guān)于其變量在對(duì)應(yīng)的區(qū)域內(nèi)為H?lder連續(xù)的;

[H3]f(t,x,y,εTy,ε,μ)、g(t,x)、h(x,y)在對(duì)應(yīng)的區(qū)域上關(guān)于t、x為H?lder連續(xù),關(guān)于y為Lipschitz連續(xù),關(guān)于ε、μ為充分光滑的函數(shù)，且

max(fy(t,x,y,z,ε,μ),fz(t,x,y,z,ε,μ))≤

-c1<0,

hz(x,z,ε,μ)≤-c2<0,g(0,x)|x∈Ω=h(x),

其中c1、c2為常數(shù)。

1外部解的構(gòu)造

構(gòu)造問題(1)—(3)解的形式漸近展開式。 問題的退化方程為

f(t,x,u,Tu,0,0)=0, (t,x)∈[0,T0]×Ω。

(4)

由假設(shè)知,積分方程(4)存在解

u=U00, (t,x)∈[0,T0]×C1+α。

(5)

設(shè)問題(1)—(3)的外部解U的展開式為

(6)

將(6)式代入(1)式,把f按ε、μ展開為雙重冪級(jí)數(shù),合并ε、μ同次冪,且分別使εi、μj同次冪的系數(shù)為零,可得

fy(t,x,U00,TU00,0,0)Uij+

fz(t,x,U00,TU00,0,0)TUij=

i、j=0,1,2,…;i+j=0。

(7)

其中，F(xiàn)ij(i、j=0,1,2,…;i+j≠0)為逐次已知的函數(shù),其結(jié)構(gòu)從略。設(shè)上面和下面的各式中出現(xiàn)負(fù)下標(biāo)的項(xiàng)為零。由積分方程(7),可依次得到Uij(i、j=0,1,2,…;i+j≠0)。

將得到的Uij代入(6)式,可得原問題的外部解U。 但是它未必滿足條件(2)和(3)式,故尚需構(gòu)造初始層校正函數(shù)V和邊界層校正函數(shù)W。

2初始層校正項(xiàng)的構(gòu)造

引入伸長變量[1]:τ=t/ε,并令原問題的解u為

u=U+V。

(8)

將(8)式代入(1)和(3)式,得

(9)

V(0,x,ε,μ)=h(x,T(U+V),ε,μ)-

U(0,TU,ε,μ),τ=0。

(10)

(11)

將(6)、(11)式代入問題(9)—(10),并將非線性項(xiàng)展開為ε、μ的雙重冪級(jí)數(shù),合并ε、μ同次冪,且分別使ε、μ同次冪的系數(shù)為零。對(duì)于ε0μ0的系數(shù),可得

(12)

V00(0,x)=hz(x,T(U00(0,x)+V00(0,x)),0,

0)TV00-U00(0,x)。

(13)

對(duì)于εiμj(i、j=1,2,…,i+j≠0)的系數(shù)為零,有

fz(0,x,U00+V00,T(U00+V00),0,0)TVij+Gij,

(14)

Vij(0,x)=hz(x,T(U00+V00),0,0))TVij+Hij-Uij,

(15)

其中Gij、Hij(i、j=0,1,2,…,i+j≠0)為逐次已知的函數(shù),其結(jié)構(gòu)從略。

由假設(shè)知,微分方程(12)、(14)和積分方程(13)、(15)依次可得解Vij(τ,x)(i、j=0,1,2,…)。

將得到的解Vij(τ,x)(i、j=0,1,…)代入(11)式, 便得到初始層校正函數(shù)V。 但是，這時(shí)(8)式u=U+V未必滿足邊界條件(2), 故尚需構(gòu)造邊界層校正函數(shù)W。

3邊界層校正項(xiàng)的構(gòu)造

首先,在?Ω附近鄰域建立局部坐標(biāo)系(ρ,φ)。定義在?Ω附近的鄰域內(nèi)的每一點(diǎn)P的坐標(biāo)ρ(≤ρ0)為點(diǎn)P到邊界?Ω上的距離,這里ρ0為足夠小的常數(shù),使得在邊界?Ω上的每一點(diǎn)的內(nèi)法線在?Ω的鄰域ρ≤ρ0內(nèi)互不相交。而φ=(φ1,φ2,…,φn-1)為在?Ω上的一個(gè)非奇異坐標(biāo),點(diǎn)P的坐標(biāo)φ為點(diǎn)P?Ω的坐標(biāo)φ，其中點(diǎn)P?Ω為通過點(diǎn)P的內(nèi)法線和邊界?Ω的交點(diǎn)。

在?Ω的鄰域ρ≤ρ0中有

(17)

其中ain、aij、bn、bi為已知函數(shù), 其結(jié)構(gòu)從略。

設(shè)原問題的解u為

u=U+V+W。

(18)

引入伸長變量

(19)

將(18)、(19)式代入問題(1)—(3),有

V+W),ε,μ)-f(ετ,ρ,φ,U+V,T(ετ,U+

V),ε,μ),

(t,ρ)∈(0,T0]×(ρ≤ρ0),

(20)

W=g(ετ,0,φ,ε,μ)-U-V,ρ=0,

(21)

W=h(0,ρ,φ,T(U+V+W),ε,μ)-U-V,

τ=0,

(22)

設(shè)

(23)

將(6)、(11)、(23)式代入問題(20)—(22)式,并將非線性項(xiàng)展開為ε、μ的冪級(jí)數(shù),合并ε、μ同次冪,且分別使ε、μ同次冪的系數(shù)為零。對(duì)于ε0μ0的系數(shù),可得

V00),0,0)W00+fz(0,0,φ,U00+V00,

T(U00+V00),0,0)TW00-f(0,0,φ,U00+

(24)

W00(t,0,φ)=g(0,0,φ,0,0)-U00(0,0,φ)-V00(0,0,φ)，

(25)

W00=hy(0,ρ,φ,T[U00+V00],0,0)W00+

hz(0,ρ,φ,T[U00+V00],0,0)TW00,τ=0。

(26)

對(duì)于εiμj(i、j=0,1,2,…,i+j≠0)的系數(shù)，依次可得

(27)

Wij(t,0,φ)=-(Uij(t,0,φ)+Vij(t,0,φ)),

(28)

(29)

由問題(24)—(26)式和問題(27)—(29)式和假設(shè)知,能夠依次得到解Wij(t,ρ,φ)(i、j=0,1,2,…)。再將其代入(23)式,便得到具有邊界層校正函數(shù)W。

于是，由(18)式, 便得到非線性反應(yīng)擴(kuò)散方程奇攝動(dòng)初始邊值問題(1)—(3)解u的形式漸近展開式為

(t,x)∈(0,T0]×Ω,0<ε,μ?1。

(30)

4解的合成展開式

現(xiàn)在證明(30)式為問題(1)—(3)解的一致有效的漸近展開式。

定理1在假設(shè)[H1]-[H3]下,具有兩個(gè)小參數(shù)的奇攝動(dòng)非線性非局部反應(yīng)擴(kuò)散方程初始邊值問題(1)-(3)存在一個(gè)解u,并在(t,x)∈[0,T]×(Ω+?Ω)上, 關(guān)于小參數(shù)ε、μ成立一致有效的漸近展開式(30)。

證明首先, 構(gòu)造輔助函數(shù)α和β，

α=Ymn-rζ,β=Ymn+rζ,

(31)

其中ζ=max(εm+1μn,εmμn+1),r為足夠大的正常數(shù), 它將由后文決定,而

由假設(shè),不難證明

α≤β, (t,x)∈[0,T]×(Ω+?Ω)，

(32)

α≤g(t,x,ε,μ)≤β,

(t,x)∈[0,T0]×?Ω,

(33)

α(0,x,ε，μ)≤h(x,Tα,ε,μ)≤β(0,x,ε,μ),

x∈Ω。

(34)

以下證明

(t,x)∈(0,T0]×Ω,

(36)

(t,x)∈(0,T0]×Ω。

(37)

由假設(shè),存在正常數(shù)M,使得

fy(0,x,U00+V00,T(U00+V00),0,0)V00+fz(0,x,U00+V00,T(U00+V00),0,0)TV00+

選擇r≥M/c1,則不等式(37)成立。同理可證不等式(36)成立。

所以,由(32)-(36)式及比較定理[4]知,問題(1)-(3)存在解μ,并存在足夠小的正常數(shù)ε1>0,成立關(guān)系式

a(t,x,ε,μ)≤u(t,x,ε,μ)≤β(t,x,ε,μ),

(t,x,ε)∈[0,T]×(Ω+?Ω)×[0,ε1]。

再由(31)式,得到

0<ε,μ?1。

因此,在(t,x)∈[0,T]×(Ω+?Ω)上,關(guān)于小參數(shù)ε、μ成立一致有效的漸近展開式(30)。定理證畢。

5結(jié)語

本文討論的是非線性奇攝動(dòng)問題,利用一個(gè)近似方法得到問題的近似解析解。它不同于一般的數(shù)值方法和單純的模擬方法,用該方法得到的解的表示式能夠繼續(xù)進(jìn)行解析運(yùn)算。于是，由相應(yīng)的近似解的表示式，我們還能夠用微分、積分等解析方法來進(jìn)一步研究方程解的定性和定量方面的性態(tài)。

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〔責(zé)任編輯宋軼文〕

GK201303008,GK201401004)

第一作者： 楊文彬, 男, 博士研究生, 研究方向?yàn)閼?yīng)用偏微分方程。E-mail:yangwenbin-007@163.com

*通信作者： 李艷玲, 女, 教授,博士。E-mail: yanlingl@snnu.edu.cn