第一作者 蔣喜 男，碩士生，1987年生

通信作者 劉宏昭 男，教授，博士生導(dǎo)師，1954年生

基于Bayes法的電主軸極小子樣可靠性研究

蔣喜, 劉宏昭，訾佼佼，原大寧，劉麗蘭

(西安理工大學(xué) 機械與精密儀器工程學(xué)院，西安710048)

摘要：針對長壽命的磨削電主軸極小子樣的可靠性評估問題，提出了Bayes結(jié)合虛擬增廣樣本的分析方法。首先，在Bayes法基本流程的指導(dǎo)下，研究了基于Bayes法的磨削電主軸可靠性評估方法。根據(jù)定時截尾試驗的原則對電主軸進行可靠性試驗，應(yīng)用Bayes法結(jié)合磨削電主軸試驗樣本的可靠性試驗數(shù)據(jù)，綜合虛擬增廣樣本法對其可靠性進行評估，最終獲得電主軸的可靠性評估結(jié)果。最后，將基于Bayes法與基于偽壽命分布法的磨削電主軸極小子樣可靠性評估結(jié)果進行比較，以驗證基于Bayes法可靠性評估理論的合理性。

關(guān)鍵詞：電主軸；極小子樣；Bayes；虛擬增廣；可靠性

基金項目：國家科技重大專項計劃資助項目(2010ZX04014-012)；國家自然科學(xué)基金(51275404)；陜西省自然科學(xué)基金(2012JQ7011)；陜西省重點學(xué)科建設(shè)專項資金資助項目

收稿日期：2013-10-21修改稿收到日期：2014-01-28

中圖分類號:TH133.2文獻標(biāo)志碼： A

Extremely small sample’s reliability of a motorized spindle based on Bayes method

JIANGXi,LIUHong-zhao,ZIJiao-jiao,YUANDa-ning,LIULi-lan(School of Mechanical and Precision Instrument Engineering, Xi’an University of Technology, Xi’an 710048, China)

Abstract:Aiming at the reliability evaluation of a long life grinding motorized spindle’s extremely small sample, a Bayes method combined with virtual augmented sample was proposed. Firstly, under the guidance of the basic process of Bayes method, the reliability evaluation method of a grinding motorized spindle based on Bayes method was studied. According to the principle of timing truncation tests, the reliability tests of the motorized spindle were conducted. Then, Bayes method combined with the reliability testing data of the grinding motorized spindle’s testings sample and the virtual augmented sample method was applied to assess the reliability of the spindle. Furthermore, the reliability evaluation results of the motorized spindle were obtained. Finally, the reliability evaluation results of the grinding motorized spindle based on Bayes method and those based on the false life’s distribution method were compared to verify the correctness of the proposed method.

Key words: motorized spindle; extremely small sample; Bayes; virtual augmented; reliability

磨削電主軸已較為普遍地被應(yīng)用于數(shù)控加工中心，以實現(xiàn)機械加工的高速化和超精密化。作為數(shù)控加工中心的核心部件，磨削電主軸可靠性就成為了衡量整個數(shù)控加工中心可靠性的重要指標(biāo)之一。對磨削電主軸的可靠性進行試驗和評估，能夠掌握其在實際使用過程中實現(xiàn)預(yù)定功能的能力，同時可以指導(dǎo)設(shè)計人員對其結(jié)構(gòu)和相關(guān)參數(shù)進行改善，從而不斷提高磨削電主軸的可靠性。由于電主軸屬于高精度、長壽命、高可靠性產(chǎn)品，在短時間內(nèi)對其進行可靠性試驗難以獲得失效壽命數(shù)據(jù)。因此，針對本課題涉及到的這類無故障情形下的磨削電主軸可靠性評估的問題，擬采用基于Bayes法的可靠性分析法進行研究。基于Bayes法的可靠性分析法是一種綜合經(jīng)驗信息進行可靠性評估的方法[1]。該方法的特點在于先驗分布，根據(jù)先驗分布和試驗數(shù)據(jù)導(dǎo)出后驗分布，繼而得到可靠性指標(biāo)的貝葉斯推斷，因此不需要很多的樣本就能得到較好的估計。

近些年，國內(nèi)外學(xué)者在這方面也取得了很多成果，使貝葉斯法得到了不斷的改進和完善。如韓明[2]提出了產(chǎn)品無失效數(shù)據(jù)的一種“綜合新Bayes估計法”。劉少剛等[3]針對艦船特種閥門可靠性評估比較困難的問題，提出了將Bayes理論和相似性理論相結(jié)合的評估新方法。此外，針對各類研究對象是小樣本或者極小子樣的情況，也有許多學(xué)者分別提出了不同的方法進行研究。如劉騰騰，劉建等[4]采用Bayes法結(jié)合最小二乘法來分析滾動軸承小樣本無失效數(shù)據(jù)；馮蘊雯等[5]研究了在具有相同驗前概率值的情況下,不同典型驗前概率分布模型對做一次成功試驗后所得的驗后概率值的影響；曹浪等[6]研究了小樣本情況下常見驗前信息分布、驗前信息的獲取方法、驗前信息的可信度確定，進而將Bayes法運用到性能退化模型的建立過程中。此外，文獻[7-16]也對Bayes方法進行了深入地研究、拓展和應(yīng)用。

此外，由于電主軸造價較高，使得試驗成本較大，因此涉及到的電主軸樣本只有兩根。針對這類極小子樣的可靠性研究，為了使電主軸可靠性評估結(jié)果的準(zhǔn)確度更高，擬同時采用虛擬增廣樣本法將試驗樣本的截尾試驗壽命進行虛擬擴展。在此基礎(chǔ)上，對虛擬增廣樣本進行統(tǒng)計分析，以獲得電主軸的一系列可靠性指標(biāo)。因此，應(yīng)用本方法對磨削電主軸進行可靠性評估，既縮短了磨削電主軸可靠性試驗時間，又使得最終的評估結(jié)果不失精確性。

1Bayes法的基本流程

對于試驗樣本的可靠性數(shù)據(jù)所服從的分布函數(shù)中的未知參數(shù)θ，應(yīng)用Bayes法進行估計的基本流程如下：

(1) 根據(jù)未知參數(shù)θ的先驗信息確定θ的先驗分布π(θ)。

(2) 確定依賴于未知參數(shù)θ的密度函數(shù)p(x|θ)。該函數(shù)表示在隨機變量θ給定某個值時，總體指標(biāo)X的條件分布。根據(jù)貝葉斯觀點，可得密度函數(shù)p(x|θ)為：

(1)

此函數(shù)亦稱為似然函數(shù)，記為L(θ)。

(3) 由先驗分布π(θ)和密度函數(shù)p(x|θ)可得到樣本x和參數(shù)θ的聯(lián)合分布為：

(2)

(4) 推斷未知參數(shù)θ的后驗分布。先將h(x,θ)分解為：

(3)

式中:m(x)是x的邊際密度函數(shù)，其表達式為：

(4)

由式(4)可知m(x)中不含θ的任何信息，其中Θ是θ的取值空間。因此只能用條件分布h(θ|x)來對θ作出統(tǒng)計推斷，其計算表達式為：

(5)

式(5)即為貝葉斯公式的密度函數(shù)形式。

在樣本x給定下，θ的條件分布h(θ|x)被稱為θ的后驗分布，其包含了總體、樣本和先驗等三種信息中有關(guān)未知參數(shù)θ的所有信息，同時又排除了所有與θ無關(guān)的信息[17-19]，所以基于后驗分布h(θ|x)對θ進行統(tǒng)計推斷比基于先驗分布的推斷更為有效、更為合理。

2基于Bayes法的電主軸可靠性評估

2.1理論研究

由于迄今為止對于磨削電主軸的可靠性試驗不夠普遍，開展的相關(guān)工作也不是非常的系統(tǒng)，因此人們對于電主軸的失效所應(yīng)服從的分布也不是很明確。鑒于這種情形，我們致力于在整個電主軸單元中尋求一些對于電主軸綜合性能影響較大的典型零部件，并且該部件在工程中的可靠性試驗應(yīng)已經(jīng)較為完善和普遍，其失效所服從的分布也應(yīng)較為明確。在此基礎(chǔ)上，可將該典型零部件的失效分布函數(shù)近似代替電主軸的失效分布函數(shù)。

在該思想的指導(dǎo)下，電主軸的支承軸承的磨損及疲勞剝落等形式的失效對于電主軸的綜合性能(如電主軸的軸端跳動和主軸振動等)影響較大，也較直接，同時對于軸承的研究技術(shù)已發(fā)展得較為成熟，部分企業(yè)和科研院校都對其開展過長期的可靠性試驗，對所獲得的大量試驗數(shù)據(jù)的分析可獲知其失效所服從的分布為威布爾分布函數(shù)。因此我們最終選擇威布爾分布函數(shù)來近似代替電主軸的失效分布函數(shù)。

針對本研究對象的實際狀況，推斷威布爾分布的Bayes分析方法：

兩參數(shù)威布爾分布的分布函數(shù)為：

(6)

令：λ=(1/η)m，則式(6)轉(zhuǎn)化為：

F(t)=1-exp(-λtm)

(7)

對于參數(shù)λ，可選擇伽瑪分布Γ(σ,τ)作為其共軛先驗分布；對于參數(shù)m則沒有共軛先驗分布，由于電主軸屬于高可靠性、長壽命產(chǎn)品，因此其失效率是遞增的，即m>1,此時可令m1=m-1,則可取m1的先驗分布為伽瑪分布Γ(α,β)。又因為λ和m1是相互獨立的，因此可得λ和m1的先驗分布為：

(8)

由于涉及到的研究對象——電主軸屬于高可靠性產(chǎn)品，在短時間內(nèi)很難得到失效壽命數(shù)據(jù)，因此專門在無失效壽命數(shù)據(jù)的條件下進行研究。在無失效情形下，相應(yīng)的似然函數(shù)為：

(9)

式中:t1,t2,…,tn指的是對n個試驗樣品逐個進行定時截尾試驗的截尾試驗時間。

L(λ,m1)=e-λM

(10)

于是可得樣本t1,…,tn和參數(shù)λ、m1的聯(lián)合分布h(t1,…,tn|λ,m1)為：

h(t1,…,tn|λ,m1)=L(λ,m1)·π(λ,m1)=

(11)

將式(11)代入式(5)可得λ和m1的聯(lián)合后驗分布h(λ,m1|t1,…,tn)為：

(12)

由式(12)可得到m1的后驗分布為：

(13)

而λ的后驗分布為：

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

2.2磨削電主軸可靠性試驗及評估

2.2.1試驗設(shè)備及原理[20]

采用逐次定時截尾試驗的可靠性試驗方法，且均在主軸轉(zhuǎn)速為8 000 r/min，軸端徑向載荷為80 N的試驗條件下，對兩根磨削電主軸進行可靠性試驗，其主要試驗設(shè)備見圖1。

1. 振動速度傳感器　2. 激光位移傳感器感測頭 3.離心式風(fēng)機　4. 恒流源　5.加載盤 6. 電磁加載裝置　7. 磨削電主軸 圖1　電主軸實驗設(shè)備 Fig.1 The electric spindle test equipment

該試驗平臺的主要工作原理是：在接通所有設(shè)備電源之后，先啟動水冷機給電主軸通循環(huán)冷卻水，再通過調(diào)節(jié)變頻器控制電主軸的轉(zhuǎn)速達到8 000 r/min，接著啟動恒流源給電磁加載裝置供電，以實現(xiàn)對電主軸軸端加載盤施加電磁力，并根據(jù)磨削電主軸的載荷譜控制電磁加載力的大小，由此模擬電主軸在實際磨削加工過程中的磨削力。然后，在電主軸運行穩(wěn)定后，每隔一段時間通過激光位移傳感器和振動速度傳感器分別測量電主軸軸端徑向跳動量和振動速度值，檢查各項指標(biāo)是否超過允許值。在截尾試驗時間內(nèi)，若各指標(biāo)均未超出允許值，則試驗至設(shè)定的截尾時間時停止試驗；若某指標(biāo)超出允許值，則即刻終止試驗。

2.2.2磨削電主軸可靠性評估

在開展整個試驗前，將兩個試驗樣品逐個進行定時截尾試驗的截尾試驗時間分別設(shè)定為955 h、1 452 h，最終各試驗樣品在各自的可靠性截尾試驗時間內(nèi)均未出現(xiàn)失效。在此基礎(chǔ)上，首先根據(jù)虛擬增廣樣本法的基本原理，即虛擬增廣后的虛擬樣本的均值應(yīng)與原始試驗樣本的均值相等，而且其標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)與類似件的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相等[21]，選取虛擬增廣樣本數(shù)為13，即將原始的2個擴展為13個。根據(jù)威布爾分布密度函數(shù)的偏態(tài)性，可得截尾試驗壽命的虛擬增廣樣本為T1=120.35 h，T2=361.05 h，T3=481.40 h，T4=601.75 h，T5=722.10 h，T6=842.45 h，T7=962.80 h，T8=1 083.2h，T9=1 203.5 h，T10=1 444.2 h，T11=1 684.9 h，T12=1 925.6 h，T13=2 482 h。

然后采用“2.1’所闡述的理論對磨削電主軸的可靠性進行評估，具體過程如下：

由文獻[22]可知球軸承的形狀參數(shù)一般取為1.5，因此擬取電主軸的疲勞失效壽命所符合的威布爾分布形狀參數(shù)m的初值為1.5。在此基礎(chǔ)上，結(jié)合文獻[1]介紹的先驗分布中超參數(shù)的確定方法，確定m1(m1=m-1)的先驗分布——伽瑪分布Γ(α,β)和λ的先驗分布——伽瑪分布Γ(σ,τ)中的超參數(shù)α，β，σ和τ。

根據(jù)先驗信息只能獲得m1的先驗均值為：

(19)

由于本研究的磨削電主軸的應(yīng)用場合是數(shù)控加工中心或者數(shù)控磨床，對于此類應(yīng)用場合而言，電主軸的主要失效形式是加工精度的喪失，而不是其內(nèi)部材料的疲勞失效。而相對疲勞失效的壽命而言，加工精度的喪失失效壽命較短，并且很難精確獲得。此外，精度壽命與電主軸的實際工況和用戶的維護情況關(guān)系較大。因此，考慮到所研究的磨削電主軸的實際狀況，結(jié)合蔣喜等[20]的分析結(jié)果，初選電主軸的特征壽命為2 500h，即威布爾分布中的真尺度參數(shù)η=2 500，則參數(shù)λ的先驗均值為：

(20)

表1　伽瑪分布Γ(α,β)中超參數(shù)與方差的關(guān)系

表2　伽瑪分布Γ(σ,τ)中超參數(shù)與方差的關(guān)系

由Bayes法所獲得的磨削電主軸可靠度函數(shù)曲線可知：隨著磨削電主軸使用時間的延長，磨削電主軸的可靠度也隨之不斷降低。

(21)

將上述相關(guān)參數(shù)的貝葉斯估計值分別代入兩參數(shù)威布爾分布的相關(guān)函數(shù)表達式，可得磨削電主軸的可靠性指標(biāo)如下：

(1) 平均壽命的估計值E(T)為：

(22)

(2) 失效分布函數(shù)F(t)和分布密度函數(shù)f(t)分別為:

1-exp(-7.264×10-6×t1.459 4)

(23)

(24)

則由式(24)可得磨削電主軸的失效分布密度函數(shù)曲線，如圖3所示。同時可得，當(dāng)t≈1 510 h時，f(t)max=2.230 2×10-4。這表示在本課題設(shè)定的工況下，該型號電主軸的試驗樣本中大約運行到1 510h時失效的個體總數(shù)占整個試驗樣本的比例是最大的，約為0.022 3%。

(3) 由上述分析易得，電主軸的可靠度函數(shù)為：

(4) 電主軸失效率函數(shù)為：

(26)

由此可得電主軸失效率函數(shù)曲線如圖4所示。

由圖4可知：磨削電主軸的失效率函數(shù)為遞增型，在運行約8 000h的時候，其失效率達到6.585 2×10-4(個)/h，該值表示每10 000根該型號磨削電主軸在本課題設(shè)定的工況下工作8 000h后只有約7根電主軸失效。而在此時間點之前，各個時刻電主軸的失效率均低于6.585 2×10-4(個)/h。由此可見，該電主軸的可靠性較高。

圖2 磨削電主軸可靠度函數(shù)曲線Fig.2Reliabilityfunctioncurveofgrindingmotorizedspindle圖3 磨削電主軸分布密度函數(shù)曲線Fig.3Distributiondensityfunctioncurveofgrindingmotorizedspindle圖4 磨削電主軸失效率函數(shù)曲線Fig.4Failureratefunctioncurveofgrindingmotorizedspindle

(5) 該電主軸的可靠壽命為：

(27)

則其中位壽命為：

(28)

特征壽命為：

(29)

3評估結(jié)果的比較

采用Bayes法結(jié)合虛擬增廣樣本法對磨削電主軸極小子樣的可靠性進行評估，將其評估結(jié)果與蔣喜[20]采用基于偽壽命分布法結(jié)合虛擬增廣樣本法的磨削電主軸極小子樣可靠性評估方法的評估結(jié)果進行比較，各個可靠性指標(biāo)的對比圖表分別見圖5～圖7和表3。

圖5 磨削電主軸的分布密度函數(shù)曲線對比圖Fig.5Contrastingofdistributiondensityfunctioncurveofgrindingmotorizedspindle圖6 磨削電主軸的可靠度函數(shù)曲線對比圖Fig.6Contrastingofreliabilityfunctioncurveofgrindingmotorizedspindle圖7 磨削電主軸的失效率函數(shù)曲線對比圖Fig.7ContrastingofFailureratefunctioncurveofgrindingmotorizedspindle

表3　磨削電主軸部分可靠性指標(biāo)匯總表

由圖5～圖7及表3易知：由兩種不同可靠性評估方法獲得的關(guān)于磨削電主軸的一系列可靠性指標(biāo)不同，存在一定的差異。造成這種差異主要是因為影響上述兩種方法分析結(jié)果的因素不同，偽壽命分布法的主要影響因素是退化軌跡模型的選取和失效閾值的確定，Bayes法的主要影響因素是先驗分布的確定以及先驗分布中超參數(shù)的確定。其中失效閾值的確定主要是由電主軸在實際工況下所需達到的加工精度等條件決定的，而先驗分布是根據(jù)經(jīng)驗和歷史資料來確定的。

對于本課題的研究對象而言，由于其可靠性指標(biāo)暫無統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，因此無法衡量兩種可靠性評估方法的優(yōu)劣。但其中兩者的分布密度函數(shù)、可靠度函數(shù)和失效率函數(shù)的變化趨勢基本一致，在一定范圍內(nèi)也處于同一數(shù)量級的水平，并且兩者的平均壽命、中位壽命及特征壽命等指標(biāo)也較為接近，因而在一定程度上體現(xiàn)出兩種可靠性評估方法對磨削電主軸的可靠性進行評估均有一定的合理性。

4結(jié)論

針對采用傳統(tǒng)基于壽命數(shù)據(jù)的可靠性分析方法對磨削電主軸的可靠性進行評估較為困難的問題，提出了將Bayes與虛擬增廣樣本相結(jié)合的可靠性分析方法來解決磨削電主軸的極小子樣可靠性問題，主要研究工作為：

(1) 研究了Bayes法的基本原理和流程，并對基于Bayes法的磨削電主軸可靠性評估方法進行了理論分析。

(2) 結(jié)合磨削電主軸試驗數(shù)據(jù)，應(yīng)用基于Bayes法的磨削電主軸可靠性分析方法對磨削電主軸進行可靠性評估，獲得一系列可靠性指標(biāo)。

(3) 將基于Bayes法的磨削電主軸極小子樣可靠性評估結(jié)果與基于偽壽命分布法的磨削電主軸極小子樣可靠性評估結(jié)果進行比較，以驗證本文研究的合理性。

評估結(jié)果表明，該電主軸的可靠度隨時間的變化趨勢基本符合機械產(chǎn)品的性能退化規(guī)律，同時其平均失效壽命基本符合正常工況下的一般范圍。

參 考 文 獻

[1] 趙宇.可靠性數(shù)據(jù)分析[M].北京：國防工業(yè)出版社，2011.

[2] 韓明.產(chǎn)品無失效數(shù)據(jù)的綜合處理[J].機械工程學(xué)報，2003,39(2):129-132.

HAN Ming. Synthesized process for zero-failure data of the products[J].Journal of Mechanical Engineering，2003,39(2):129-132.

[3] 劉少剛，李少杰，舒海生，等.小子樣狀態(tài)下艦船特種閥門可靠性評估方法研究[J].哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報, 2012,33(4):1-5.

LIU Shao-gang，LI Shao-jie，SHU Hai-sheng,et al. Research on reliability assessment of vessel special valve in small sample condition[J].Journal of Harbin Engineering University, 2012,33(4):1-5.

[4] 劉騰騰,劉建亭,崔鳳奎,等.滾動軸承小樣本無失效數(shù)據(jù)的Bayes可靠性分析[J].河南科技大學(xué)學(xué)報,2009,30(6):20-22.

LIU Teng-teng，LIU Jian-ting，CUI Feng-Kui,et al. Reliability analysis about small sample zero failure data of rolling bearing[J].Journal of Henan University of Science and Technology,2009,30(6):20-22.

[5] 馮蘊雯,馮元生.極小子樣高可靠性成敗型產(chǎn)品試驗的貝葉斯評估方法研究[J].機械科學(xué)與技術(shù),1999,18(2): 198-200.

FENG Yun-weng, FENG Yuan-sheng. Study of Bayes’ estimation for product test of extreme small-sample high-reliability safe-or-failure pattern[J].Mechanical Science and Technology,1999,18(2): 198-200.

[6] 曹浪,李銀軍,李獻鋒,等. 基于小樣本Bayes理論的可靠性評估方法[J].電子質(zhì)量,2010(10):25-27.

CAO Lang，LI Yin-jun，LI Xian-feng,et al. Research on reliability evaluation method based on Bayes theory of small-sample[J].Electronic Quality,2010(10):25-27.

[7] 張曉冉,胡文杰,夏茂輝.分組定時截尾無失效數(shù)據(jù)的迭代Bayes分析[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報,2009,26(2): 267-272.

ZHANG Xiao-ran, HU Wen-jie, XIA Mao-hui. Iterative bayes analysis of the grouped, timing terminated and zero-failure data[J].Chinese Journal of Engineering Mathematics,2009,26(2): 267-272.

[8] Wu H C. Bayesian system reliability assessment under fuzzy environments[J].Reliability Engineering & System Safety,2004,83(3):277-286.

[9] Sarhan A. Non-parametric empirical Bayes procedure[J].Reliability Engineering & System Safety, 2003,80(2):115-122.

[10] Taheri S M，Zarei R. Bayesian system reliability assessment under the vague environment[J].Applied Soft Computing,2011,11(2):1614-1622.

[11] 劉永峰,鄭海鷹.無失效數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析[J].浙江大學(xué)學(xué)報:理學(xué)版,2012,39(3):273-277.

LIU Yong-feng，ZHENG Hai-ying. Statistical analysis about zero-failure data[J].Journal of Zhejiang University：Science Edition,2012,39(3):273-277.

[12] 韓芳,鐘冬望,汪君.基于貝葉斯法的復(fù)雜有限元模型修正研究[J].振動與沖擊,2012,31(1):39-43.

HAN Fang，ZHONG Dong-wang，WANG Jun. Complicated finite element model updating based on Bayesian method [J]. Journal of Vibration and Shock, 2012,31(1):39-43.

[13] 郝騰飛,陳果.基于貝葉斯最優(yōu)核判別分析的機械故障診斷[J].振動與沖擊,2012,31(13):26-30.

HAO Teng-fei，CHEN Guo. Machinery fault diagnosis based on Bayes optimal kernel discriminant analysis[J].Journal of Vibration and Shock,2012,31(13): 26-30.

[14] 邱金水,李少杰,劉少剛,等.艦船特種閥門極少失效條件下可靠性壽命研究[J].哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報,2012,33(9):1086-1090.

QIU Jin-shui，LI Shao-jie，LIU Shao-gang,et al. Research on the reliability life of a vessel special valve based on few-failure data[J].Journal of Harbin Engineering University,2012,33(9):1086-1090.

[15] 張建軍,謝敬芝,劉征宇. 基于置信分布和K-L信息距離的成敗型產(chǎn)品可靠性分析[J].電子測量與儀器學(xué)報,2011,25(4):320-324.

ZHANG Jian-jun，XIE Jing-zhi，LIU Zheng-yu. Bayesian analysis for reliability of success-failure products based on confidence distribution and K-L information distance[J].Journal of Electronic Measurement and Instrument, 2011,25(4):320-324.

[16] 陳振珩,劉雨時. 基于 Bayes 可靠性評估驗前信息檢驗方法的研究[J].電子測量與儀器學(xué)報,2008(S1):41-44.

CHEN Zhen-heng，LIU Yu-shi. Test method of prior information based on bayes reliability evaluation[J].Journal of Electronic Measurement and Instrument,2008(S1):41-44.

[17] 馬彥輝.基于GLM的非正態(tài)響應(yīng)穩(wěn)健設(shè)計研究[D].天津：天津大學(xué),2008.

[18] 孟利鋒.隨機波動模型及其建模方法研究[D].天津：天津大學(xué),2004.

[19] 任楓.非對稱雙指數(shù)跳躍擴散模型的貝葉斯分析[D].天津：天津大學(xué),2007.

[20] 蔣喜,劉宏昭,劉麗蘭,等.基于偽壽命分布的電主軸極小子樣可靠性研究[J].振動與沖擊,2013,32(19):80-85.

JIANG Xi，LIU Hong-zhao，LIU Li-lan，et al. Research on extremely small-scale sample’s reliability of electric spindle based on distribution of false life[J].Journal of Vibration and Shock,2013,32(19):80-85.

[21] 黃瑋，馮蘊雯，呂震宙.極小子樣實驗的虛擬增廣樣本評估方法[J].西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2005，23( 3)： 384-387．

HUANG Wei，F(xiàn)ENG Yun-wen，Lü Zhen-zhou. Virtually expanded sample estimation method for extremely small-scale sample test[J].Journal of Northwestern Polytechnical University，2005，23(3)： 384-387．

[22] 楊曉蔚. 滾動軸承疲勞壽命威布爾分布三參數(shù)的研究[D].合肥：合肥工業(yè)大學(xué),2003.