第一作者 郭惠勇 男，博士，副教授，1971年生

基于嶺估計和L曲線的損傷識別技術(shù)研究

郭惠勇1, 羅樂2, 盛懋1, 李正良1

(1. 重慶大學 土木工程學院, 重慶400045; 2. 成都城電電力工程設(shè)計有限公司，成都610041)

摘要：為了解決結(jié)構(gòu)損傷方程求解的可靠性問題，提出了基于嶺估計和L曲線的損傷方程求解方法。首先描述了基于模態(tài)應變能靈敏度的結(jié)構(gòu)損傷方程，然后考慮測量噪聲等因素易造成病態(tài)的損傷方程問題，提出了采用嶺估計求解結(jié)構(gòu)的損傷方程，并利用L曲線確定最優(yōu)的嶺參數(shù)，最后建立了損傷估計值的修正方法。數(shù)值仿真結(jié)果表明，基于修正的嶺估計和L曲線方法可以較為精確地識別出損傷的位置和程度，而且其定量識別結(jié)果明顯好于基本的嶺估計和L曲線方法以及一般的截斷奇異值分解法。

關(guān)鍵詞：損傷識別；損傷方程；嶺估計；L曲線；位移模態(tài)

基金項目：國家自然科學基金(51468058);教育部留學回國人員科研啟動基金(20121707)

收稿日期：2014-02-08修改稿收到日期：2014-04-03

中圖分類號:TB123文獻標志碼： A

Structural damage identification method based on ridge estimation and L-curve

GUOHui-yong1,2,LUOLe2,SHENGMao1,LIZheng-liang1(1. School of Civil Engineering, Chongqing University, Chongqing 400045, China;2. Chengdu Chengdian Electric Power Engineering Design Co., Let., Chengdu 610041, China)

Abstract:In order to solve the reliability problem of structural damage equation, a damage detection method based on ridge estimation and L-curve was presented. Firstly, a structural damage equation based on modal strain energy sensitivity was described. Then, considering measurement noise easily making the damage equation be ill, the ridge estimation was utilized to solve the damage equation and L-curve is utilized to identify optimal ridge parameters. Finally, an improved ridge estimation method was proposed to enhance the identification precision. Simulation results demonstrated that the proposed ridge estimation and L-curve methods can detect structural damage locations and level with good accuracy, their quantitative detection results are obviously better than those of the basic ridge estimation and L-curve methods and the truncated singular value decomposition method.

Key words: damage identification; damage equation; ridge estimation; L-curve; displacement modal shape

工程結(jié)構(gòu)在投入使用后，由于環(huán)境的作用，常會產(chǎn)生各種損傷。結(jié)構(gòu)的嚴重損傷會引起建筑物的倒塌或者失效，從而造成巨大的經(jīng)濟和人員生命的損失。因此，對結(jié)構(gòu)損傷的識別研究一直是國際上的研究熱點[1-3]。利用損傷前后動力特性的改變，建立相應的損傷方程，從而求解出損傷系數(shù)是較為有效的方法[4-5]。但是，在工程實際中，測試數(shù)據(jù)不可避免的會受到測量噪聲、環(huán)境因素等的干擾，常會使損傷方程產(chǎn)生病態(tài)問題，從而給直接求解帶來困難，造成損傷的解極不穩(wěn)定，與真實值相差較遠。這樣，損傷方程組的求解和精度成為問題的癥結(jié)。采用截斷奇異值分解算法(TSVD)能夠減少方程的參數(shù)空間，使損傷方程組變的數(shù)值穩(wěn)定[6-7]。但是，該方法需要人為的選擇截斷誤差或者截斷水平，不同的截斷誤差或截斷水平會產(chǎn)生不同的識別結(jié)果，故選擇恰當?shù)慕財嗾`差或者截斷水平?jīng)Q定了方程求解的精度。而結(jié)構(gòu)的改變，甚至同一結(jié)構(gòu)單元劃分不同，都會影響截斷誤差或者截斷水平的選取。嶺估計(RE)法[8]可以較好的處理病態(tài)問題，而L曲線方法[9]可以較好地處理優(yōu)化參數(shù)的選取問題，故本文擬采用嶺估計和L曲線法相結(jié)合，來解決損傷方程的病態(tài)問題以及優(yōu)化參數(shù)的選取問題。

1基于模態(tài)應變能靈敏度的損傷方程

基于模態(tài)應變能的損傷識別方法是較為有效的一種方法[10]，可以根據(jù)模態(tài)應變能的靈敏度建立相應的損傷方程。

第j個單元和第r階模態(tài)的模態(tài)應變能

(1)

式中:Erj是模態(tài)應變能；Φr為第r階質(zhì)量歸一化位移模態(tài)；Kj為第j個單元的剛度矩陣。則第j個單元和第r階模態(tài)的模態(tài)應變能對任意設(shè)計參數(shù)p的敏感性為[6]

(2)

式中:λr是第r階特征值； K和M是整體剛度矩陣和質(zhì)量矩陣；p為設(shè)計參數(shù)。

當結(jié)構(gòu)損傷時，其第j個單元損傷后的剛度矩陣

Kjd=Kj-cjKj

(3)

SΔC=ΔR

(4)

式中：S是系數(shù)矩陣；ΔR是殘余向量；ΔC是損傷系數(shù)向量。其組成具體如下：

(5)

(6)

通過求解該方程可以同時識別結(jié)構(gòu)的損傷位置和程度。但是，由于結(jié)構(gòu)損傷常常出現(xiàn)在結(jié)構(gòu)的局部某些位置或單元，而大部分結(jié)構(gòu)單元未發(fā)生損傷，因此，在系數(shù)矩陣中常會出現(xiàn)幾乎線性相關(guān)的列，特別是模態(tài)參數(shù)在測試時會出現(xiàn)噪聲的干擾，故方程組的求解和精度往往成為問題的關(guān)鍵癥結(jié)。采用截斷奇異值分解法可以較為有效的處理該問題，但是，由于在現(xiàn)實中，損傷的位置和程度是未知的，截斷奇異值分解法選擇不同的截斷誤差或者截斷水平，所得計算結(jié)果往往差別很大，從而對損傷識別結(jié)果造成較大的干擾[7]。故本文采取嶺估計和L曲線法相結(jié)合，來求解損傷方程，以獲取更具有可靠性的計算結(jié)果。

2嶺估計和L曲線法及其改進

2.1損傷的嶺估計

可以采用嶺估計法求解損傷方程，以避免因測量噪聲等引起的損傷方程病態(tài)問題。嶺估計方法是一種在均方誤差意義下優(yōu)于最小二乘估計的有偏估計方法，是從Tikhonov正則化原理推導出來，該方法可以克服矩陣方程的病態(tài)性。根據(jù)Tikhonov正則化原理，對應于損傷方程嶺估計的估計準則為：

(7)

(8)

式中：I為單位陣。αI項的參與，可以有效的抑制方程的病態(tài)性，從而可以得到可靠的損傷估計值。嶺估計的核心是如何確定嶺參數(shù)，這里選擇采用L曲線法來選取恰當?shù)膸X參數(shù)。

2.2L曲線法

令

(9)

兩邊取對數(shù)，可得

(10)

(11)

2.3估計值的修正

由于嶺估計是有偏估計，而L曲線法求解的也是近似最優(yōu)解，故損傷的估計值需要修正。由嶺估計的估計準則方程式(7)可知，該準則是用來確定損傷系數(shù)的2-范數(shù)項最小，這樣，該嶺估計的解會造成近似線性的偏差，故采用簡單的線性修正方式來提高識別精度。另外，損傷系數(shù)值應大于0，當損傷系數(shù)估計值小于0時，則認為是無損傷，而該項本身是由于嶺估計的有偏估計造成的，故可根據(jù)所有無損單元的估計值平均偏移量來確定線性修正的幅值。這樣，就可以對可能損傷單元的損傷系數(shù)估計值進行修正，修正公式如下

(12)

3數(shù)值算例

考慮如圖1所示的一個Euler-Bernoulli簡支梁。梁總長為6 m，劃分為20個單元，假設(shè)未損傷結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)和物理參數(shù)如下：梁的橫截面積A為0.005 m2，慣性矩I=1.67 m4，彈性模量E=32 GPa，密度ρ=2 500kg/m3，基準參數(shù)為0.25。假設(shè)有三種損傷情況，第一種情況，在單元3和12發(fā)生損傷，剛度分別降低15%和20%；第二種情況，在單元2、10、14發(fā)生損傷，剛度分別降低25%，15%和20%；第三種情況，在單元5、11、19發(fā)生損傷，剛度分別降低20%，20%和30%。分別采用截斷奇異值分解 (TSVD)法和嶺估計(RE)法求解損傷方程。由于低階模態(tài)比高階模態(tài)更能反映結(jié)構(gòu)的損傷，其抗噪能力更強，而且更易被測量和獲取[11]。因此，本文僅采用第1階位移模態(tài)進行結(jié)構(gòu)的損傷識別研究。嶺參數(shù)的確定主要是通過對式(11)求最大值κmax，κmax所對應的點就是L曲線的所求的點。這樣就定位了L曲線上曲率最大的點，這個點所對應的α值就是所求的嶺參數(shù)。

圖1Euler-Bernoulli梁
Fig.1 Euler-Bernoulli beam

3.1例1

當單元3和單元12發(fā)生損傷時，其損傷系數(shù)的計算結(jié)果如圖2所示。采用了四種方案，即截斷誤差0.01的TSVD法、截斷誤差0.05的TSVD法、基本RE和L曲線法，修正RE和L曲線法。其中L曲線法求得的嶺參數(shù)為25.616 3。從圖2中可以發(fā)現(xiàn)，截斷誤差0.01的TSVD法的損傷定位結(jié)果不理想，易對單元1和單元20產(chǎn)生誤判，其余三種方法定位識別較好，而從定量角度分析，可以較為明顯地發(fā)現(xiàn)修正RE和L曲線法的定量識別結(jié)果最好。將單元3和單元12的損傷系數(shù)單獨提取分析，結(jié)果如表1所示。從表1可以觀察到，修正RE和L曲線法的平均誤差最小，識別結(jié)果最好。

圖2　單元3、單元12損傷時四種損傷識別方案的識別結(jié)果 Fig.2 Identification results of four damage methods when multiple damages occur in the 3rd and 12th elements

識別方案單元3單元12計算結(jié)果計算結(jié)果總的平均誤差/%TSVD法(截斷誤差0.01)0.13520.18927.6TSVD法(截斷誤差0.05)0.16330.21498.2基本RE法+L曲線0.13540.19526.1修正RE法+L曲線0.14710.20081.2

圖3　單元3、單元12損傷時四種損傷識別方案的 識別結(jié)果(考慮3%的測量噪聲) Fig.3 Identification results of four damage methods when multiple damages occur in the 3rd and 12th elements(considering 3% noise)

當考慮位移模態(tài)有3%的測量噪聲干擾時，則四種損傷識別方案的一次計算結(jié)果如圖3所示。首先從損傷定位角度分析，截斷誤差0.01的TSVD法已經(jīng)喪失了損傷定位功能，截斷誤差0.05的TSVD法則具有一定的損傷定位效果，但是易對單元2和單元19產(chǎn)生誤判，而兩種RE和L曲線法的損傷定位效果較好。然后從損傷定量角度分析，從圖3可知，本建議的修正RE和L曲線法相對較好。故修正RE和L曲線法不僅具有較好的定位能力，具有一定的定量分析能力。由于測量噪聲具有一定的隨機性，則每次考慮隨機噪聲的計算結(jié)果都會產(chǎn)生一些小的變化，故未列出定量結(jié)果的平均誤差表。

3.2例2

當單元2、單元10和單元14發(fā)生損傷時，其損傷系數(shù)的計算結(jié)果如圖4所示。L曲線法求得的嶺參數(shù)為469.226 6。從圖4中可以發(fā)現(xiàn)，截斷誤差0.01的TSVD法的損傷定位結(jié)果不理想，易對單元1、單元19、單元20產(chǎn)生誤判，其余三種方法的定位識別結(jié)果較好，再從定量角度分析，可以較為明顯地發(fā)現(xiàn)修正RE和L曲線法的定量識別結(jié)果最好。將單元2、單元10和單元14的損傷系數(shù)單獨提取分析結(jié)果見表2。從表2可知，修正RE和L曲線法的平均誤差最小，識別結(jié)果最好。

圖4　單元2、單元10和單元14損傷時 四種損傷識別方案的識別結(jié)果 Fig.4 Identification results of four damage methods when multiple damages occur in the 2nd, 10th and 14th elements

識別方案單元2單元10單元14計算結(jié)果計算結(jié)果計算結(jié)果總的平均誤差/%TSVD法(截斷誤差0.01)0.28610.15590.21348.4TSVD法(截斷誤差0.05)0.26290.12700.18659.3基本RE法+L曲線0.24260.12530.18499.0修正RE法+L曲線0.24360.14260.19393.5

圖5　單元2、單元10和單元14損傷時四種損傷識別 方案的識別結(jié)果(考慮3%的測量噪聲) Fig.5 Identification results of four damage methods when multiple damages occur in the 2nd, 10th and 14th elements(considering 3% noise)

當考慮位移模態(tài)有3%的測量噪聲干擾時，計算結(jié)果如圖5所示。首先從損傷定位角度分析，截斷誤差0.01的TSVD法已經(jīng)喪失了損傷定位功能，截斷誤差0.05的TSVD法則具有一定的損傷定位效果，但是易對單元3、單元18和單元19產(chǎn)生誤判，而兩種RE和L曲線法的損傷定位效果較好。然后從損傷定量角度分析，從圖3可知，本建議的修正RE和L曲線法相對較好。由于測量噪聲具有一定的隨機性，故未列出定量結(jié)果的平均誤差表。

3.3例3

當單元5、單元11和單元19發(fā)生損傷時，其損傷系數(shù)的計算結(jié)果如圖6所示。L曲線法求得的嶺參數(shù)為500.58。從圖6中依然可以發(fā)現(xiàn)，截斷誤差0.01的TSVD法的損傷定位結(jié)果仍不理想，易對單元1、2和20產(chǎn)生誤判，其余三種方法的定位識別結(jié)果較好，再從定量角度分析，可以較為明顯地發(fā)現(xiàn)修正RE和L曲線法的定量識別結(jié)果最好。將單元5、單元11和單元19的損傷系數(shù)單獨提取分析結(jié)果見表3。從表3可知，本建議的修正RE和L曲線法的平均誤差最小，識別結(jié)果最好。

圖6　單元5、單元11和單元19損傷時 四種損傷識別方案的識別結(jié)果 Fig.6 Identification results of four damage methods when multiple damages occur in the 5th, 11th and 19th elements

當考慮位移模態(tài)有3%的測量噪聲干擾時，計算結(jié)果見圖7。首先從損傷定位角度分析，截斷誤差0.01的TSVD法已經(jīng)基本喪失了損傷定位功能，截斷誤差0.05的TSVD法則具有一定的損傷定位效果，但是易對單元2、3和18產(chǎn)生誤判，而基本和修正的RE和L曲線法的損傷定位效果較好。然后從損傷定量角度分析，從圖7可知，本建議的修正RE和L曲線法相對較好。由于測量噪聲具有一定的隨機性，故未列出定量結(jié)果的平均誤差表。

表3　例3的損傷定量識別結(jié)果

圖7　單元5、單元11和單元19損傷時四種損傷識別 方案的識別結(jié)果(考慮3%的測量噪聲) Fig.7 Identification results of four damage methods when multiple damages occur in the 5th, 11th and 19th elements(considering 3% noise)

從以上三個例子可以觀察到，當僅采用第一階位移模態(tài)進行損傷識別時，截斷誤差為0.01時，TSVD法的識別效果較差，截斷誤差為0.05時，TSVD法的識別效果相對較好，故TSVD法的關(guān)鍵是選取恰當?shù)慕財嗾`差值。由于結(jié)構(gòu)損傷是未知的，故截斷誤差的選擇也應存在一個優(yōu)化問題。當采用基本嶺估計和L曲線法，其定位和定量結(jié)果相對更好，這是因為L曲線可以選擇近似最優(yōu)的嶺參數(shù)，從而解決了參數(shù)優(yōu)化問題。修正嶺估計和L曲線法的識別效果最好，這是由于該方法采用了未損單元的有偏估計均值對損傷系數(shù)估計值進行了修正和改進。

4結(jié)論

提出了基于L曲線和嶺估計的方法來求解損傷方程。該方法首先建立基于模態(tài)應變能的損傷方程，然后利用嶺估計和L曲線法相結(jié)合來求解該方程。嶺估計可以較好的處理測量噪聲等引起的方程病態(tài)問題，L曲線法可以選擇近似最優(yōu)的嶺參數(shù)，使嶺估計計算結(jié)果更為可靠。最后利用未損單元的有偏估計均值對嶺估計方法進行了修正和改進。數(shù)值分析結(jié)果表明，基本嶺估計和L曲線法可以較可靠地求解出損傷方程，并較好地識別出結(jié)構(gòu)的損傷，而修正的嶺估計和L曲線法可以更可靠地進行進行損傷的定性和定量識別，該方法優(yōu)于基本嶺估計和L曲線法和未經(jīng)過優(yōu)化的截斷奇異值分解法。

參 考 文 獻

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