本文簡介了二面角大小的幾種求法，并針對法向量法求二面角時存在的兩法向量的夾角與二面角的大小的關系判定問題提出了一種改良解法——指向向量法.

常見的二面角的求法以幾何法和向量法為主. 其中幾何法有定義法、垂面法、三垂線法和射影面積法等；向量法通常是指法向量法. 在運用法向量法求二面角的大小中的難點是兩個平面的法向量的夾角與二面角的大小相等或互補的判定，教材和眾多資料上的處理大多數(shù)是通過觀察立體圖形，主觀判斷二面角的大小，這樣處理學生總感覺很難把握，教師們也十分擔心，進而思考得出了很多很好的解決辦法，如：共面定理判定法、一進一出法以及輔助向量法等.

這里“一進一出法”筆者是這樣跟學生闡述的，二面角可以看做一個張開的嘴巴，兩個半平面的法向量的方向分別為嘴巴里和嘴巴外時，這兩個法向量的夾角就是二面角的大小.

而輔助向量法是指在二面角的棱上和二面角的內(nèi)部各任取一點構成一個向量，將該向量分別與兩個平面的法向量求數(shù)量積，所得的兩個數(shù)量積同號時，這兩個法向量的夾角與二面角互補，異號時相等.

上述方法都是建立在法向量法的基礎上來研究二面角的求法的，然而能否繞開法向量法來通過向量求二面角的大小呢？筆者在教授“向量的應用——點到直線的距離”時偶得二面角的一個簡單求法.

■直線的單向法向量

問題：已知直線AB及其外一點P，過P作PC⊥AB，垂足為C，試用向量■和■表示向量■.

■

圖1

解：■在■上的投影為

■cos〈■，■〉=■

則■=■cos〈■，■〉·■=■，

所以■=■-■=■-■.？搖？搖？搖？搖①

為了便于后續(xù)計算，去分母，得

■·■2=■·■2-（■·■）·■.？搖？搖？搖 ②

這里將②稱為直線AB關于點P的單向法向量n，記作

■

■二面角的求法

結論：已知二面角A-BC-D，直線BC關于點A，D的單向法向量分別為m，n，則二面角A-BC-D的大小為〈m，n〉.

結合二面角的平面角的定義不難證明.

■運用舉例

下面我們應用單向法向量法來求二面角的大小.

例題：如圖2，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=1，PD=2.

（1）求證：平面PQC⊥平面DCQ；

（2）求二面角Q-BP-C的余弦值.

■

圖2

解答：（1）證明略.

（2）如圖2所示，以D為原點建立空間直角坐標系，則A（1，0，0），P（0，2，0），C（0，0，1），Q（1，1，0），B（1，0，1）.

所以■=（-1，2，-1），■=（-1，0，0），■=（0，1，-1），所以■2=6，■·■=1，■·■=3.

設直線BP關于點C的單向法向量為m，則m=■·■2-（■·■）·■=（-6，0，0）-（-1，2，-1）=（-5，-2，1）.設直線BP關于點Q的單向法向量為n，則n=■·■2-（■·■）·■=（0，6，-6）-3（-1，2，-1）=（3，0，-3）. 所以cos〈m，n〉=■= -■. 即二面角Q-BP-C的余弦值為-■.

■解法評析

直線AB關于點P的單向法向量法可以直接求得二面角的大小，并且可以有效地規(guī)避利用兩個平面的法向量法求二面角大小時的定角問題，該方法適用于有棱二面角大小的計算問題，只需確定了4個點的坐標，后續(xù)計算也較為容易. ■endprint