計(jì)偉++劉獻(xiàn)禮++李錄彬++王廣越++范夢(mèng)超

摘要：針對(duì)帶有倒棱切削刃的球頭銑刀的磨制中砂輪軌跡生成問題，首先采用解析幾何的方法通過坐標(biāo)系變換，建立了銑刀頂刃切削刃和倒棱面模型，并通過確定倒棱面方程中長(zhǎng)度和角度參數(shù)的關(guān)系進(jìn)而得到倒棱面磨削軌跡；然后分析了砂輪與倒棱面的接觸關(guān)系，選用了平行砂輪，在此基礎(chǔ)上建立了磨削球頭銑刀倒棱面的砂輪中心軌跡和砂輪軸矢量數(shù)學(xué)模型；最后通過Matlab軟件對(duì)磨削倒棱面的磨削軌跡、砂輪中心軌跡和軸矢量進(jìn)行仿真，并采用Saacke磨床磨制了刀具樣件，結(jié)果表明所建立的數(shù)學(xué)模型的正確性.

關(guān)鍵詞：倒棱切削刃；球頭銑刀；磨削軌跡；砂輪中心；砂輪軸矢量

DOI：10.15938/j.jhust.2015.05.007

中圖分類號(hào)：TG501

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1007-2683（2015）05-0034-05

0 前言

球頭銑刀作為曲面加工刀具被廣泛地應(yīng)用于模具制造、汽車制造及航空航天等領(lǐng)域.汽車覆蓋件模具常采用淬硬鋼材料，硬度可達(dá)到HRC58-63，切削阻力大刀具磨損和破損嚴(yán)重.為了提高模具的性能，部分模具采用鑲塊式淬硬鋼模件拼接后整體銑削加工而成，由于模具淬火表面和鑲塊硬度差一般超過HRC5-15，且型面加工特征多變，加工過程中引發(fā)載荷突變，因此加劇刀具的磨損破損.在加工淬硬鋼硬度拼接模具時(shí)，普通球頭銑刀易出現(xiàn)刀具崩刃和破損，影響模具加工效率.有學(xué)者提出采用帶有倒棱的球頭銑刀可以有效地提高球頭銑刀的切削刃強(qiáng)度，目前，使用一般數(shù)控工具磨床的加T軟件無法磨制帶倒棱刃球頭銑刀.因此，研究帶倒棱刃球頭銑刀的數(shù)學(xué)模型及磨削軌跡對(duì)實(shí)現(xiàn)其刀具的磨制非常重要，

球頭銑刀磨制砂輪的軌跡和姿態(tài)的建模主要有兩種方法：逆向設(shè)計(jì)和正向設(shè)計(jì).采用逆向計(jì)算，兩軸聯(lián)動(dòng)不能對(duì)刀具端刃的磨削過程進(jìn)行很好的控制，從而不能充分滿足刀具的強(qiáng)度要求和刀具排屑性能的要求.而正向計(jì)算采用標(biāo)準(zhǔn)砂輪，雖然砂輪軌跡計(jì)算復(fù)雜且磨床的配置要求較高，但是可以充分的考慮刀具幾何形狀以滿足加工要求，因此本文采用正向計(jì)算的方法求解球頭銑刀的磨削軌跡.

為了實(shí)現(xiàn)帶倒棱刃球頭銑刀的磨制，本文采用正向計(jì)算的方法求解帶有倒棱結(jié)構(gòu)球頭銑刀磨制時(shí)砂輪的中心軌跡和軸矢量數(shù)學(xué)模型.

1 倒棱面及磨削軌跡建模

刀具建模的方法主要是基于微分幾何和基于解析幾何的，本文采用解析幾何的方法建立刀具的幾何模型.

整體硬質(zhì)合金球頭銑刀的切削刃是由半球面與螺旋面相交合成的，根據(jù)螺旋面的屬性，其刃線種類可分為2種，等導(dǎo)程刃線和等螺旋角刃線.等導(dǎo)程刃線的加工性強(qiáng)，多應(yīng)用于實(shí)際生產(chǎn)加工中，等螺旋角的刃線具有較好的切削性能，但其在刀具的頂點(diǎn)沒有意義.下面分別建立等導(dǎo)程切削刃球頭銑刀的切削刃模型、倒棱面模型和倒棱磨削軌跡模型，

圖1為建模坐標(biāo)系，以刀具頂端球球心為原點(diǎn)，以刀具軸線有z軸，建立xyz坐標(biāo)系，

采用半球面和正交螺旋面相交的方式作為切削刃線，其方程如式（1）所示，

其中，R為刀具直徑， 螺旋角， 為角度參數(shù)，并且

倒棱面是復(fù)雜的三維曲面，在如圖1所示的坐標(biāo)系xyz下直接建模比較困難.因此，首先轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系，如圖2所示，包括坐標(biāo)系xyz、xyz₁和xyz₂.其中，切削刃切線T如式（2）所示.

根據(jù)T與坐標(biāo)系之間的關(guān)系，可以求出T與z軸的夾角θ和T與x軸在xoy平面的夾角ρ，分別如式（3）和式（4）所示.

根據(jù)圖2中坐標(biāo)系xyz、xyzi和xyz2之問的變換關(guān)系，可知xyz和xyz₁之間以及xyz₁和xyz₂的坐標(biāo)系變換矩陣，分別見式（5）和（6）.通過這兩個(gè)公式可以計(jì)算xyz與xyz₂之間的變換矩陣，見式（7）.

為了建立倒棱面模型，根據(jù)中的幾何關(guān)系，可知 .因此，在xyz2中，倒棱面上的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，

將式（8）代人式（7）即可得到倒棱面在xyz坐標(biāo)系下的方程.

倒棱面與前刀面的交線即為倒棱面磨削軌跡.倒棱面所在曲面已求得，可通過確定式中長(zhǎng)度參數(shù)2與角度參數(shù)φ的關(guān)系，來計(jì)算軌跡線.現(xiàn)已知l和φ的的范圍，因此這兩個(gè)參數(shù)可以用平面直角坐標(biāo)系表示，如圖3所示，從點(diǎn) 到點(diǎn) 的連線即可表示l和φ的關(guān)系，圖中，不同的區(qū)域有不同刀具倒棱面的幾何特征，在L₂區(qū)域中，倒棱面的整體面積大，但在近刀具頂點(diǎn)區(qū)域倒棱寬度的變化大；相反地，在厶區(qū)域中，倒棱面面積小，但在近刀具頂點(diǎn)區(qū)域倒棱寬度變化小；而在L₁區(qū)域中，倒棱面面積和倒棱寬度變化適中.

本文以圖3中L₃區(qū)域中的一條拋物線為例說明建模過程，此拋物線頂點(diǎn)為 ，并且過點(diǎn) ，開口向上，故可得其方程，

通過將式（9）代入倒棱面方程即可得到倒棱面磨削軌跡.

2 砂輪中心軌跡及軸矢量建模

在刀具模型和磨削軌跡的基礎(chǔ)上，為了磨制球頭銑刀倒棱面，確定砂輪的軌跡和空間姿態(tài).

2.1 砂輪刀位點(diǎn)軌跡建模

砂輪刀位點(diǎn)軌跡是指砂輪定位基準(zhǔn)點(diǎn)在磨削加工時(shí)的軌跡線.砂輪的刀位點(diǎn)軌跡線與刃磨軌跡線、砂輪的尺寸以及砂輪與磨削面的位置關(guān)系有關(guān)，本文采用平行砂輪的外圓周磨削倒棱面，圖4為球頭銑刀頂刃刃磨示意圖，其中砂輪刀位點(diǎn)為M.則砂輪的刀位點(diǎn)軌跡M在xyz₂坐標(biāo)系下的坐標(biāo)如式（10）所示，

將點(diǎn)M在xyz₂下的坐標(biāo)代人式（7），即可得到M點(diǎn)在xyz坐標(biāo)系下的坐標(biāo).

2.2 砂輪軸矢量建模

砂輪軸矢量是砂輪的軸線的方向向量T_w，如圖4所示.砂輪軸矢量與刃磨軌跡、砂輪尺寸及砂輪和倒棱面接觸關(guān)系有關(guān)，根據(jù)圖4中頂刃磨削過程中

砂輪面與倒棱面的關(guān)系，則有可得到砂輪軸矢量T_w在xyz₂下的坐標(biāo)，見式（11），將其代入式（7）即可得到T_w在xyz下的表達(dá)式.

3 砂輪軌跡和軸矢量仿真與刀具磨制

為了驗(yàn)證模型球頭銑刀倒棱面的磨削軌跡，砂輪中心軌跡及砂輪軸矢量的正確性，本文采用Matlab軟件對(duì)以上模型進(jìn)行仿真.

設(shè)定刀具和砂輪的參數(shù)，刀具的倒棱參數(shù)為： 砂輪參數(shù)：砂輪半徑R_w=10mm（為了清晰的觀察倒棱面磨削仿真圖，仿真中砂輪直徑的設(shè)置比實(shí)際小）.

圖5為刀具頂刃刃磨削軌跡、砂輪中心點(diǎn)軌跡及砂輪軸矢量仿真圖.砂輪中心軌跡及軸矢量可以確定砂輪的運(yùn)動(dòng)和空間姿態(tài)，并且通過與刀具的相對(duì)運(yùn)動(dòng)進(jìn)而形成刀具的倒棱面.然后根據(jù)球頭銑刀倒棱刃磨削的砂輪中心軌跡和砂輪軸矢量，使用Saccke UWIF CNC刀具磨削加工中心，經(jīng)過刀具工件坐標(biāo)系和機(jī)床坐標(biāo)系的變換，將砂輪中心軌跡的X、y和Z坐標(biāo)及A和B旋轉(zhuǎn)軸的數(shù)據(jù)輸入機(jī)床，即磨制出帶有倒棱刃的球頭銑刀，如圖6所示.

結(jié)合砂輪軌跡與軸矢量仿真結(jié)果，證明本文所建立的刀具倒棱面磨削中所涉及到的數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性.通過刀具樣件的磨制結(jié)果，證明本文建立的砂輪中心軌跡模型可用于球頭銑刀倒棱刃的磨制.

4 結(jié)論

本文通過對(duì)帶有倒棱刃球頭銑刀磨制過程中砂輪姿態(tài)的分析，得到如下結(jié)論：

1）建立了帶倒棱刃球頭銑刀的切削刃、倒棱面和磨削軌跡模型，并且通過正向計(jì)算建立了磨削球頭銑刀倒棱面時(shí)砂輪中心軌跡及砂輪軸矢量的數(shù)學(xué)模型，為帶有倒棱面的球頭銑刀的磨制提供r基礎(chǔ)模型；

2）通過對(duì)倒棱面磨制的磨削軌跡、砂輪中心軌跡和軸矢量模型進(jìn)行仿真，驗(yàn)證了所建立的數(shù)學(xué)模型的正確性；

3）通過帶有倒棱刃的球頭刀的磨制，證明本文所建立的砂輪軌跡和軸矢量模型可用于加工球頭銑刀的倒棱刃.