宋野++于廣濱++戴冰++高德軍++葛江華

摘要：為了較好研究面齒輪的傳動系統(tǒng)，本文以正交面齒輪傳動系統(tǒng)為研究對象，基于Bondgragh理論建立了綜合時變嚙合剛度、傳動誤差、齒面摩擦力、嚙合阻尼等因素的耦合非線性動力學(xué)模型.運用Bond gragh理論將面齒輪傳動系統(tǒng)中的激勵和響應(yīng)轉(zhuǎn)化為鍵合圖元，分析系統(tǒng)運動的特性分別建立了面齒輪彈性變形鍵合圖模型、傳動誤差鍵合圖模型和齒面摩擦鍵合圖模型，并分析因果關(guān)系和鍵合圖中的功率流得到面齒輪傳動系統(tǒng)非線性動力學(xué)耦合方程.

關(guān)鍵詞：面齒輪；動力學(xué)；鍵合圖；非線性

DOI： 10.15938/j.jhust.2015.05.010

中圖分類號：TH113

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1007-2683（2015）05-0051-05

0 引言面齒輪除了具有大重合度、強軸間位置適應(yīng)性、大變速比外，面齒輪傳動還具有大傳遞功率、良好的分流效果、優(yōu)良的工作平穩(wěn)性、簡單結(jié)構(gòu)、低噪聲、輕單位質(zhì)量、小空間占用等優(yōu)點，其應(yīng)用領(lǐng)域廣泛覆蓋.經(jīng)過長期的理論研究和技術(shù)實踐，在國內(nèi)外的眾多研究機構(gòu)和學(xué)者的努力下，對面齒輪傳動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的研究也更加深入和細(xì)化，重點研究領(lǐng)域主要有：面齒輪的齒面成形原理及嚙合動態(tài)特性，基于有限元法的面齒輪結(jié)構(gòu)強度、溫度場分布，面齒輪的實際生產(chǎn)加工及制造裝備，動力學(xué)分析與實驗測量方法的研究.

Bond graph理論是由美國麻省理工學(xué)院的H.M.Paynter教授在1959年提出的，其理論基礎(chǔ)是熱力學(xué)第一定律，即熱量可以從一個物體傳遞到另一個物體，也可以與機械能或其他能量互相轉(zhuǎn)換.具體形式是分析機械系統(tǒng)中的多種能量范疇耦合合成的基本物理過程，用四中形式的廣義變量：勢、流、廣義動量和廣義位移描述系統(tǒng)功率的傳輸、轉(zhuǎn)化、貯存、耗散，并按照相互鏈接關(guān)系、能量傳輸情況、變量間因果關(guān)系、系統(tǒng)階次等系統(tǒng)信息將與能量單元相關(guān)的理想元件用鍵連接，因此鍵合圖可以更加形象具體的表現(xiàn)機械系統(tǒng)尤其是面齒輪系統(tǒng)的非線性傳動特性，所用的狀態(tài)變量即為系統(tǒng)的物理變量，在機械系統(tǒng)中各機械元件相互作用綜合，是系統(tǒng)的輸入與輸出保持某種因果關(guān)系，其因果關(guān)系具體表現(xiàn)為各元件之間的功率傳遞，這也是Bond graph理論的根本依據(jù).根據(jù)機械系統(tǒng)的工作原理，按照各元件的因果關(guān)系，即可建立起系統(tǒng)的鍵和圖模型，分析其隱含著的系統(tǒng)動態(tài)性能狀態(tài)方程，增廣后可列寫出相應(yīng)的動力學(xué)方程.

1 面齒輪傳動系統(tǒng)的鍵合圖建模

1.1 彈性變形模型

面齒輪輪齒在嚙合過程中，在齒面載荷的作用下會發(fā)生形變.在輪齒任意位置的彈性變形δ與相應(yīng)受到的載荷W具有如下關(guān)系

W=k_hf（δ）.

（1）式中：k_h即輪齒的綜合嚙合剛度.根據(jù)Bond graph理論，載荷W定義為勢變量e（t），彈性變形δ定義為廣義位移F（t），那么面齒輪輪齒的彈性變形可用基本的一端口元件容性元C來表示，參數(shù)為k_h.

由于齒輪在加工、制造與安裝、運轉(zhuǎn)過程中會產(chǎn)生誤差，從而導(dǎo)致嚙合齒廓偏離其理論位置，進而在輪齒嚙合過程中產(chǎn)生位移型激勵，即為誤差激勵.因此可用流源Sf表示面齒輪傳動系統(tǒng)中誤差激勵e_n（t）的導(dǎo)數(shù)，面齒輪傳動誤差激勵的鍵合圖模型如圖1所示，容性元件C表示彈性變形，阻性元件R表示嚙合阻尼，并且流源S，可以定義為

1.2 齒面摩擦模型

圖2所示為一對相互嚙合傳動的面齒輪傳動副，根據(jù)牛頓第三定律可知圓柱齒輪和面齒輪所受的摩擦力大小相等、方向相反.滑動摩擦力產(chǎn)生于主動輪和被動輪的齒面在輪齒嚙合的過程中發(fā)生相對滑動的過程中，因此與嚙合線相垂直的方向是摩擦力的方向，

基于庫倫摩擦定律（Coulomb定律），摩擦力F_f可以定義為式中：μ為摩擦系數(shù)；sign表示符號函數(shù)，F(xiàn)_N為正壓力，

根據(jù)Bond graph理論，齒面摩擦力為耗能元件，且不斷變化，因此可以應(yīng)用一端口元件阻性元MR表示.根據(jù)公式可知由于摩擦力臂Z的變化導(dǎo)致齒廓接觸點間的相對速度V_h發(fā)生變化，進而影響摩擦力F_f改變，因此可以應(yīng)用二端口元件變換器MTF來表示圓柱齒輪和面齒輪的摩擦力臂l變化，可得出面齒輪齒面摩擦的鍵合圖模型如圖3所示.

1.3 包含齒側(cè)間隙的時變剛度模型

齒輪嚙合傳動時，為了在嚙合齒廓之間形成潤滑油膜，避免因輪齒摩檫發(fā)熱膨脹而卡死，齒廓之間必須留有間隙，此間隙稱為齒側(cè)間隙.一般情況下齒側(cè)間隙很小，但由于其誤差的存在，會使得齒輪在嚙合時產(chǎn)生嚙合沖擊，對于齒輪的平穩(wěn)性和嚙合的動態(tài)特性造成很大的影響，甚至降低齒輪系統(tǒng)壽命，影響整個機械系統(tǒng)的正常運轉(zhuǎn).上文公式提到面齒輪系統(tǒng)剛度k_h的定義，其中f（*）即為齒輪嚙合時考慮齒側(cè)間隙的函數(shù)，考慮該函數(shù)對面齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型具有非線性的影響，傳統(tǒng)的基本鍵合圖元件無法詳細(xì)表述，可采用一種非線性元件功率結(jié)型結(jié)構(gòu)來形容.

如圖4所示，齒側(cè)間隙模型可由兩個質(zhì)量元件m₁和m₂、一個間隙非線性彈性元件kf（*）和一個能量耗散元件C所組成.當(dāng)齒輪系統(tǒng)中間隙大小為2b時，可以定義f（*）為非線性分段函數(shù)，表示為

根據(jù)Bond graph理論，由于間隙函數(shù)f（*）是聯(lián)系勢變量e（t）（即載荷W）和廣義位移q（t）（即彈性變形δ的函數(shù)，可以用一端口容性元件C定義，容度參數(shù)即為l/k_h.由于間隙函數(shù)f（*）具有分段性特征，在建立鍵合圖模型時需要引入布爾變量u來表述函數(shù)的時變性.相對于齒側(cè)間隙的3個狀態(tài)，分別用u_i（i=1，2，3）.定義：u₁：w=k_h（δ-b），δ>b；u₂：w=0，-b≤δ≤b；u₃：w=k_h（δ+b），δ<-b.并且當(dāng)3個布爾變量中一個為1，其他兩個即為0，這樣可以用布爾變量u來控制功率結(jié)中的功率通口.

圖5考慮齒側(cè)間隙的時變剛度鍵合圖模型

圖5所示即為根據(jù)齒輪沖擊副模型建立的考慮齒側(cè)間隙的時變剛度鍵合圖模型，定義狀態(tài)變量δ_i（i=1，2，3），可得到該鍵合圖模型的狀態(tài)方程

1.4 齒輪彈性支撐的鍵合圖模型

基于嚙合原理和面齒輪傳動的實際特點可知，主動輪為圓柱齒輪，在其軸向沒有力的作用存在，從動輪為面齒輪，在其徑向沒有力的作用存在，因此面齒輪傳動系統(tǒng)中圓柱齒輪和面齒輪軸承彈性支撐的動力學(xué)模型可分別用兩個彈簧和阻尼器模擬，模型如圖7所示.

模型中m₁，m₁分別為圓柱齒輪和斷齒輪的集中質(zhì)量；根據(jù)Bond graph理論，齒問的載荷力的分量和齒間摩擦力的分量可用一端口勢源元件Se表示，支撐剛度k_x1，k_z1，k_x2，kk_z2，可用一端口容性元件C表示，阻尼C_x1，C_z1，C_x2，C_z2由于造成功率損耗可用一端口阻性元C表示，齒輪集中質(zhì)量m₁，m₂可用一端口慣性件，表示.

齒輪瞬時傳動比會因為齒輪加工誤差和安裝誤差等誤差因素的存在發(fā)生變化，產(chǎn)生輪齒間碰撞沖擊現(xiàn)象，誤差在鍵合圖中可以用一端口勢源Se表述.根據(jù)Bond graph理論，結(jié)合如圖6所示的面齒輪非線性動力學(xué)模型，可以得到面齒輪非線性嚙合的鍵合圖模型如圖7所示.

2 鍵合圖模型方程推導(dǎo)

上文分析面齒輪傳動系統(tǒng)中圓柱齒輪和面齒輪只在x軸和z軸存在彈性支撐，因此存在四個彈性支撐的鍵合圖模型，根據(jù)嚙合理論彈性支撐的存在是由于輪齒嚙合時齒輪副間碰撞沖擊，產(chǎn)生動載荷和摩擦.齒輪彈性支撐鍵合圖模型中的容性元C、慣性元，和阻性元R的線性形式因果關(guān)系分別是

其中k為齒輪的支撐剛度；m為齒輪的質(zhì)量；c為阻尼，利用1結(jié)約束條件和按照已指定的因果關(guān)系，就可得到該系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

由于彈性支撐方向與動載荷方向相關(guān)，分析可知圓柱齒輪和面齒輪受到的彈性支撐沿各自軸向且方向不同，當(dāng)通過彈性支撐鍵合圖模型推導(dǎo)動力學(xué)方程時，應(yīng)該考慮輸入變量勢源Se的不同，即F_k+F_n不同.齒嚙合時齒輪副受到的法向動載荷F_n及其沿x，z坐標(biāo)軸上的分量為

圓柱齒輪在沿x軸的橫向振動是受到嚙合齒面的法向載荷F_n沿x軸正方向的分力和摩擦力f_x的共同作用即變量勢源Se分別表示為

面齒輪同理，因此根據(jù)圖6所建立的面齒輪傳動系統(tǒng)中彈性支撐的非線性動力學(xué)方程為式中λ為摩擦力方向函數(shù)；l_p為時變摩擦力臂.已知齒輪副重合度ε，小齒輪基圓半徑r_b1，小齒輪齒頂圓半徑r_a1，小齒輪基圓齒距P_b1，小齒輪轉(zhuǎn)速n₁，則摩擦力臂l_p及摩擦力方向函數(shù) 可表示為：

根據(jù)Bond graph理論，面齒輪嚙合鍵合圖列寫動力學(xué)方程需確定系統(tǒng)的輸入變量和狀態(tài)變量，分別選定，元的廣義動量P₂，p₉和C元的廣義位移δ為狀態(tài)變量，勢源SeT₁，T₂為輸入變量，鍵合圖模型中的容性元C、慣性元I和阻性元R的線性形式因果關(guān)系分別是

其中：k_h為兩齒輪的嚙合剛度；I₁，I₂為兩齒輪的轉(zhuǎn)動慣量；c_h為兩齒輪的嚙合阻尼.利用1結(jié)約束條件和按照已指定的因果關(guān)系，就可得到該系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

對鍵合圖中功率傳輸方向進行分析，可得出系統(tǒng)中勢變量和流變量如下

3 結(jié)論

本文應(yīng)用Bond graph理論建立了正交面齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型，并推導(dǎo)了面齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)方程，與傳統(tǒng)動力學(xué)研究方法相比具有以下優(yōu)點：

1）基于Bond graph理論建立的面齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)方程，綜合考慮了系統(tǒng)的時變嚙合剛度、嚙合誤差、嚙合阻尼、齒間摩擦等非線性因素，對于齒輪系統(tǒng)變化狀態(tài)的描述具有較好的準(zhǔn)確性.

2）基于Bond graph理論建立的面齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型，由于只用四種形式的廣義變量皆可以把面齒輪傳動系統(tǒng)中物理過程表述出來，對于系統(tǒng)中各個物理量的關(guān)系和能量變化情況比較直觀，并且靈活性和拓展性較高，可根據(jù)實際情況在模型中添加或是減少影響系統(tǒng)的激勵因素.

3）根據(jù)已建立的鍵合圖模型推導(dǎo)面齒輪動力學(xué)方程，不但符合齒輪嚙合的實際情況，而且由于其清晰的因果關(guān)系，對于方程的推導(dǎo)效率和準(zhǔn)確程度也較滿意.