鄧　田， 周厚云， 白慶月

(蘭州交通大學數(shù)理學院， 甘肅　蘭州　730070)

?

一類裂紋轉子的非線性動力學特性分析

鄧田， 周厚云， 白慶月

(蘭州交通大學數(shù)理學院， 甘肅蘭州730070)

[摘要]轉子裂紋是旋轉機械最為常見的故障，檢測與識別轉子裂紋，對旋轉機械平穩(wěn)、可靠與高效運行大有裨益.研究裂紋轉子的動力學特性，作為轉子裂紋診斷技術的理論前提和依據(jù)是十分必要的.以Jeffcott轉子模型為基礎，建立了余弦波轉子系統(tǒng)的動力學模型.用標準的Runge-kutta算法對動力學模型進行數(shù)值積分，說明參數(shù)K隨角速度的變化，進而去研究該系統(tǒng)的非線性動力學行為的變化.

[關鍵詞]裂紋轉子；余弦波；非線性動力學

裂紋轉子系統(tǒng)的非線性動態(tài)特性分析對于有效地提高轉子系統(tǒng)的特性和準確地進行故障診斷具有重大意義.因此，為了找出裂紋故障最與眾不同的振動特性，眾多學者對裂紋轉子非線性特性做了研究. Darpe等人分析了呼吸裂紋模型、開閉裂紋模型和開裂紋模型對轉子系統(tǒng)的影響[1].Gasch綜述了帶有橫向裂紋轉子的動態(tài)特性，指出隨著軸的旋轉由于軸的自重會引起裂紋張開和閉合[2].本文研究了余弦波裂紋轉子系統(tǒng)的動力學特性，用標準的Runge-kutta算法對動力學模型進行數(shù)值積分，說明參數(shù)K隨角速度的變化，進而研究該系統(tǒng)的非線性動力學行為的變化[3-7].

1裂紋-系統(tǒng)的非線性動力學模型建立

通過對以往裂紋轉子系統(tǒng)的研究，我們知道裂紋角的開閉實質上反應在裂紋軸的剛度變化上[8-11].這里我們應用Jeffcott轉子為研究對象，而目前裂紋轉子系統(tǒng)的研究模型有3種：方波模型,用一個階躍函數(shù)表示開閉規(guī)律，認為裂紋的開閉是瞬間完成的；余弦波模型,用一個連續(xù)函數(shù)表示開閉規(guī)律；綜合模型,就是方波模型和余弦波模型統(tǒng)一起來表達裂紋開閉及過渡過程的模型.這里我們采用余弦波模型.

圖1　裂紋轉子系統(tǒng)的力學模型

圖2　裂紋截面、轉角示意圖

如圖1所示，轉子兩端由兩個相同的軸承支撐，m為轉子圓盤的質量，K為彈性軸剛度，c1為轉子阻尼系數(shù).設轉子圓盤位移為x、y，則該轉子系統(tǒng)的運動微分方程為

其中，

Φ0為初相位，β為裂紋法向與不平衡之間的夾角，Δk為裂紋引起的剛度變化，ω為角速度.對上式引入無量綱變換：

將上式再化為一階四維的微分方程：

2　裂紋模型動力學分析

用標準的Runge-kutta算法對動力學模型進行數(shù)值積分，說明參數(shù)K隨角速度的變化，進而去研究該系統(tǒng)的非線性動力學行為的變化.

圖3　 裂紋轉子系統(tǒng)分岔圖

結合這個分岔圖可以發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)是由單周期運動、倍周期運動、擬周期運動和混沌運動交替出現(xiàn)組成.

首先，我們?nèi)ˇ亍蔥0.3,0.5]為研究范圍，可以看到當0.3<ω <0.373 8時系統(tǒng)是1周期運動；當ω=0.373 8時系統(tǒng)進入混沌運動和擬周期運動，在0.373 8<ω<0.406 5時，系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌運動；當ω=0.406 5時，系統(tǒng)進入2周期運動，當0.406 5<ω<0.411 6時,系統(tǒng)呈現(xiàn)2周期運動運動；當ω=0.411 6時，系統(tǒng)進入周期混沌運動，在0.419 7<ω<0.422 8時,系統(tǒng)呈現(xiàn)10周期運動；當ω=0.422 8時，系統(tǒng)進入5周期運動，在0.422 8<ω<0.437 2時，系統(tǒng)呈現(xiàn)5周期運動.在0.437 2<ω<0.5時系統(tǒng)再次進入混沌區(qū)域.

下面我們?nèi)D4中各個運動狀態(tài)所對應的區(qū)域中的某一固定數(shù)值，通過這一固定值所對應的時間響應圖、相圖、Poincare映射投影圖等來近一步說明系統(tǒng)在對應區(qū)域的運動行為.

圖4　局部放大圖(1)

由圖5可以看出：系統(tǒng)在ω=0.321 1時，相圖中的曲線顯示為1條閉合的曲線，龐加萊截面圖顯示1個孤立的點，仔細分析其時間響應圖，它的波峰之間為1周期循環(huán).可見，此時該系統(tǒng)表現(xiàn)1周期運動.

圖5　ω=0.321 1時系統(tǒng)的相圖、龐加萊截面圖、時間響應圖

由圖6可以看出：系統(tǒng)在ω=0.381 2時，相圖中的曲線顯示為無數(shù)條閉合的曲線，龐加萊截面圖顯示無數(shù)個孤立的點，仔細分析其時間響應圖，它的波峰之間為無周期可循.可見，此時該系統(tǒng)表現(xiàn)混沌運動.

圖6　ω=0.381 2時系統(tǒng)的相圖、龐加萊截面圖、時間響應圖

由圖7可以看出：系統(tǒng)在ω=0.4085時，相圖中的曲線顯示為2條閉合的曲線，龐加萊截面圖顯示2個孤立的點，仔細分析其時間響應圖，它的波峰之間為2周期循環(huán).可見，此時該系統(tǒng)表現(xiàn)為2周期運動.

圖7　ω=0.4085時系統(tǒng)的相圖、龐加萊截面圖、時間響應圖

由圖8可以看出：系統(tǒng)在ω=0.420 6時相圖中的曲線顯示為10條閉合的曲線，龐加萊截面圖顯示10個孤立的點.仔細分析其時間響應圖，它的波峰之間為10周期循環(huán).此時該系統(tǒng)表現(xiàn)10周期運動.

圖8　ω=0.420 6時系統(tǒng)的相圖、龐加萊截面圖、時間響應圖

由圖9可以看出：系統(tǒng)在ω=0.431 2時，相圖中的曲線顯示為5條閉合的曲線，龐加萊截面圖顯示5個孤立的點.仔細分析其時間響應圖，它的波峰之間為5周期循環(huán).此時該系統(tǒng)表現(xiàn)為5周期運動.

圖9　ω=0.431 2時系統(tǒng)的相圖、龐加萊截面圖、時間響應圖

由圖10可以看出：系統(tǒng)在ω=0.466 2時，相圖中的曲線顯示為無數(shù)條閉合的曲線，龐加萊截面圖顯示無數(shù)個孤立的點，仔細分析其時間響應圖，它的波峰之間為無周期循環(huán).可見，此時該系統(tǒng)表現(xiàn)為混沌運動.

圖10　ω=0.466 2時系統(tǒng)的相圖、龐加萊截面圖、時間響應圖

圖11　局部放大圖(2)

我們?nèi)ˇ亍蔥1.2,1.34]為研究范圍，可以看到當1.20<ω<1.218 6 時系統(tǒng)是混沌運動；當ω=1.218 6時系統(tǒng)由混沌運動進入周期運動，在1.216 8<ω<1.226 2時，系統(tǒng)呈現(xiàn)12周期運動；當ω=0.226 2時，系統(tǒng)進入4周期運動，1.226 2<ω<1.257 9時,系統(tǒng)呈現(xiàn)4周期運動；當ω=1.257 9時，系統(tǒng)進入2周期運動，在1.257 9<ω<1.332 6時,系統(tǒng)呈現(xiàn)2周期運動；當ω=1.332 6時，系統(tǒng)進入1周期運動.

我們?nèi)D4中各個運動狀態(tài)所對應的區(qū)域中的某一固定數(shù)值，通過這一固定值所對應的時間響應圖、相圖、Poincare映射投影圖等來近一步說明系統(tǒng)在對應區(qū)域的運動行為.

由圖12可以看出：系統(tǒng)在ω=1.211 1時，相圖中的曲線顯示為無數(shù)條閉合的曲線，龐加萊截面圖顯示無數(shù)個雜亂無規(guī)律的點.仔細分析其時間響應圖，它的波峰之間沒有規(guī)律可循.可見，此時該系統(tǒng)表現(xiàn)為混沌運動.

圖12　ω=1.211 1時的相圖、poincare截面圖、時間響應圖

由圖13可以看出：系統(tǒng)在ω=1.223 1時，相圖中的曲線顯示為12條閉合的曲線，龐加萊截面圖顯示12個雜亂無規(guī)律的點，仔細分析其時間響應圖，它的波峰之間為12周期循環(huán).可見，此時該系統(tǒng)表現(xiàn)為12周期運動.

圖13　ω=1.223 1時對應的相圖、龐加萊截面、時間響應圖

由圖14可以看出：系統(tǒng)在ω=1.247 8時，相圖中的曲線顯示為4條閉合的曲線，龐加萊截面圖顯示4個雜亂無規(guī)律的點，仔細分析其時間響應圖，它的波峰之間為4周期循環(huán).可見，此時該系統(tǒng)表現(xiàn)4周期運動.

圖14　ω=1.247 8時系統(tǒng)的相圖、龐加萊截面圖、時間響應圖

由圖15可以看出：系統(tǒng)在ω=1.285 9時，相圖中的曲線顯示為2條閉合的曲線，龐加萊截面圖顯示2個雜亂無規(guī)律的點，仔細分析其時間響應圖，它的波峰之間為2周期循環(huán).可見，此時該系統(tǒng)表現(xiàn)2周期運動.

圖15　ω=1.285 9時系統(tǒng)的相圖、龐加萊截面圖、時間響應圖

由圖16可以看出：系統(tǒng)在ω=1.334 6時，相圖中的曲線顯示為1條閉合的曲線，龐加萊截面圖顯示為1個孤立的點.仔細分析其時間響應圖，它的波峰之間為1周期循環(huán).可見，此時該系統(tǒng)表現(xiàn)為1周期運動.

圖16　ω=1.334 6時系統(tǒng)的相圖、龐加萊截面圖、時間響應圖

3結論

本文研究了余弦波裂紋轉子模型的非線性動態(tài)特性，以Jeffcott轉子模型為基礎，建立了余弦波轉子系統(tǒng)的動力學模型.用標準的Runge-kutta算法對動力學模型進行數(shù)值積分，說明參數(shù)K隨角速度的變化，進而研究該系統(tǒng)的非線性動力學行為的變化.研究結果表明：系統(tǒng)是由單周期運動、倍周期運動、擬周期運動和混沌運動交替出現(xiàn)組成.

[參考文獻]

[1]Darpe A K,Chawla A. Analysis of the response of a cracked Jeffcott rotor to axial excitation [J]. Journal of Sound and Vibration,2002,249(4):29-45.

[2]Gasch R. A survey of the dynamic behavior of a simple rotating shaft with a transverse crack[J]. Journal of Sound and Vibration,1993,160(2):313-332.

[3]Dimarogonas A D. Vibration of cracked structures:a state of the art review[J]. Engineering Fracture Mechanics,1996,55(5)：831-875.

[4]高建民，朱曉梅. 轉軸上裂紋開閉模型的研究[J].應用力學學報,1992,19(1):108-112.

[5]聞邦春,顧家柳,夏松波,等. 高等轉子動力學理論、技術與應用[M].北京:機械工業(yè)出版社,1999.

[6]趙玫. 具有橫向裂紋軸系振動特性及其診斷方法的研究[D].上海:上海交通大學,1986.

[7]Mayes I W,Davies W G R. Analysis of the response of a multi-rotor-bearing system containing a transverse crack in a rotor[J]. Journal of Vibration and Acou sties,Transactions of the ASME,1984,106:139-145.

[8]林言麗，褚福磊.裂紋轉子的剛度模型[J].機械工程學報,2008,44(1):114-120.

[9]王宗勇,林偉,聞邦春. 開閉裂紋轉軸剛度的解析研究[J].振動與沖擊,2010,29(9):69-72.

[10]鄒劍,陳進,蒲亞鵬,等. 開閉裂紋轉軸的建模與彎曲剛度特性研究[J].振動與沖擊,2001,20(4):47-49.

[11]劉鴻文. 材料力學[M].北京:高等教育出版社,2004.

(責任編輯穆剛)

Nonlinear dynamic analysis of a class of cracked rotor

DENG Tian, ZHOU Houyun, BAI Qingyue

(School of Mathematics and Physics, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou Gansu 730070, China)

Abstract：As the most common failure, rotor cracks would cause catastrophic accidents. Therefore, it may take a good benefit for crack monitoring and diagnosis on rotating shafts. Hence, it is necessary to study the dynamic behavior of a rotor with cracks since it may supply theoretic support for crack detection and identification. Nonlinear dynamics of cracked rotor system with cosine wave is investigated. The Runge-Kutta method is introduced to simulate the proposed system equation of cosine wave cracked rotors. The along with the change of the angular velocity parameter k, and then to study the change of the nonlinear dynamic behavior of the system.

Key words：cracked rotor system; cosine wave; nonlinear dynamics

[中圖分類號]O322

[文獻標志碼]A

[文章編號]1673-8004(2015)05-0033-06

[作者簡介]鄧田(1990—)，女，甘肅慶陽人，碩士，主要從事線性動力系統(tǒng)方面的研究.

[收稿日期]2015-04-10